数学九年级下册5.3 用待定系数法确定二次函数的表达式课时训练

这是一份数学九年级下册5.3 用待定系数法确定二次函数的表达式课时训练，文件包含53用待定系数法确定二次函数表达式五大题型原卷版docx、53用待定系数法确定二次函数表达式五大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。


考察题型一 直接代入法
1．已知二次函数的图象经过点和，求这个二次函数的表达式．
【详解】解：把和代入得：，解得：，
这个二次函数的表达式为：．
2．如图，若抛物线经过原点，则抛物线的解析式为 ．
【详解】解：把代入得：，
，
抛物线开口向下，
，
抛物线的解析式为：．
故本题答案为：．
3．已知二次函数（其中是自变量），当时，，则的值为
A．1B．2C．D．
【详解】解：当时，；时，，则，解得：；
当时，；时，，则，解得：，
的值为．
故本题选：．
考察题型二 待定系数法——设一般式
1．已知一个二次函数的图象过、、，求这个二次函数的解析式．
【详解】解：设过、、的二次函数的解析式为：，
将、、代入得：，解得：，
这个二次函数的解析式为：．
2．已知点，在同一条抛物线上，与轴交点的纵坐标为9，且经过点，求这个抛物线的解析式．
【详解】解：设抛物线解析式为：，
根据题意得：，解得：，
这个抛物线解析式为：．
3．一个二次函数的图象经过，，三点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若另外三点，，，，，也在该二次函数图象上，求的值．
【详解】解：（1）设二次函数的解析式为：，
二次函数的图象经过点，，三点，
，解得：，
二次函数的解析式为：；
（2）二次函数为，
对称轴为直线，
点，，，，，也在该二次函数图象上，
，
，
．
考察题型三 待定系数法——设顶点式
1．已知抛物线顶点坐标为，则抛物线的解析式可能为
A．B．C．D．
【详解】解：．，顶点坐标为，不合题意；
．，顶点坐标为，不合题意；
．，顶点坐标为，不合题意；
．，顶点坐标为，符合题意．
故本题选：．
2．已知一个二次函数的图象形状和开口方向与抛物线相同，且顶点坐标为，则这个二次函数的解析式为 ．
【详解】解：图象顶点坐标为，
可以设函数解析式是，
又抛物线形状及开口方向与抛物线相同，
，
这个二次函数的解析式为：．
故本题答案为：．
3．已知二次函数的图象经过点，且当，有最大值，求该二次函数的解析式．
【详解】解：由题意可知：该二次函数的顶点坐标为，
设该二次函数的解析式为：，
将点代入得：，解得：，
该二次函数的解析式为：．
4．二次函数图象的顶点为，图象经过．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）结合图象，直接写出当时的取值范围．
【详解】解：（1）设该二次函数的表达式为：，
把代入得：，解得：，
该二次函数的表达式为：；
（2）如图，
当，，
当，，
而时，有最大值2，
时，．
考察题型四 待定系数法——设交点式
1．已知抛物线经过点，，，求抛物线的解析式．
【详解】解：抛物线过点，，
可设抛物线的解析式为：，
把点代入上式得：，
抛物线的解析式为：．
2．已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点在该二次函数上．
①当时，求的值；
②当时，的最小值为，求的取值范围．
【详解】解：（1）设二次函数的解析式为，
把点代入得：，解得：，
，
该二次函数的解析式为；
（2）①当时，则，
解得：，；
的值为1或5；
②，
当时，函数有最小值，
当时，即时，有最小值，
的取值范围是．
3．如图，抛物线经过点，点，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点是抛物线的顶点，求的面积．
【详解】解：（1）抛物线经过点，点，且，
，
，
设抛物线的解析式为：，
将代入得：，
，
抛物线的解析式为：；
（2），
，
如图，过点作于点，交于点，
设直线的解析式为，
将代入得：，
，
直线的解析式为，
当时，，
，
，
．
4．已知：二次函数中的和满足如表：
（1）可求得的值为 ；
（2）求出这个二次函数的解析式；
（3）画出函数图象；
（4）当时，则的取值范围为 ．
【详解】解：（1）抛物线经过点和，
抛物线的对称轴为直线，
当和所对应的函数值相等，
，
故本题答案为：3；
（2）设这个二次函数的解析式为：，
把代入得：，解得：，
，
即这个二次函数的解析式为：；
（3）函数图象如图所示：
（4）当时，，
当时，有最小值，
当时，，
当时，则的取值范围为，
故本题答案为：．
考察题型五 综合题
1．已知二次函数的图象经过点．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）当时，的取值范围为 ；
（3）已知点，点在该二次函数的图象上若，直接写出的取值范围．
【详解】解：（1）二次函数的图象经过点，
，解得：，
该二次函数的表达式为：；
（2），
抛物线的对称轴为直线，
当时，的最小值为2，
当时，，
当时，，
时，的取值范围为，
故本题答案为：；
（3）点，点且，对称轴为直线，
，解得：，
的取值范围为．
2．如图，抛物线与轴正半轴，轴负半轴分别相交于点，，且，点为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点的坐标；
（2）点，为抛物线上两点（点在点的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和4个单位长度，点为抛物线上点，之间（不含点，）的一个动点，求点的纵坐标的取值范围．
【详解】解：（1）取，则，
，
，
把点代入抛物线的解析式得：，
解得：（舍去）或，
抛物线的解析式为：，
，
；
（2）点到对称轴的距离为3个单位，
或，
，
或，
点到对称轴的距离为4个单位，
或，
，
或，
又在的左侧，
，的坐标为，或，，
①若，的坐标为，，
则，
②若，的坐标为，，
则．
3．已知二次函数．
（1）当，时，
①求该函数图象的顶点坐标；
②当时，求的取值范围；
（2）当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式．
【详解】解：（1）①， 时，
，
顶点坐标为；
②中含有顶点，
当 时，有最大值7，
，
当 时，有最小值为，
当时，；
（2）时，的最大值为2；时，的最大值为3，
抛物线的对称轴在轴的右侧，
，
抛物线开口向下，
时，=2；时，=3，
，
，
，
，
二次函数的表达式为．
4．已知二次函数（为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点，求函数的表达式．
（2）在（1）的条件下，当时，求函数的最大值和最小值．
（3）若二次函数在时有最大值8，求的值．
【详解】解：（1）二次函数的图象经过点，
，
，
函数的表达式为：；
（2），
抛物线开口向上，顶点为，
时，，
当时，，
当时，函数的最大值是3，最小值0；
（3），
抛物线的对称轴为直线，
二次函数在时有最大值8，
时，或，
，
或，
的值是1或．
5．已知二次函数．
（1）二次函数的图象的对称轴是直线 ；
（2）当时，的最大值与最小值的差为8，求该二次函数的表达式；
（3）若，对于二次函数图象上的两点，，，，当，时，均满足，请结合函数图象，直接写出的取值范围．
【详解】解：（1）由题意可得：对称轴是直线，
故本题答案为：1；
（2）①当时，
对称轴为直线，
当时，有最小值为，
当时，有最大值为，
，
，
二次函数的表达式为：，
②当时，同理可得有最大值为，有最小值为，
，
，
二次函数的表达式为：，
综上，二次函数的表达式为：或；
（3），对称轴为直线，
时，随的增大而增大，时，随的增大而减小，
和时的函数值相等，
，时，均满足，
，，
．
1．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知二次函数，为矩形，，在抛物线上，当，运动时，点也在另一个二次函数图象上运动，设，则关于的函数表达式为 ．
【详解】解：如图，过作轴于，过作轴于，连接、，
设，，又，
四边形是矩形，
与中点重合，，
而，
，
消去、得：，
，
（舍去）或．
故本题答案为：．
2．如图，已知抛物线经过，，三点，直线是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设点是直线上的一个动点，当点到点，点的距离之和最短时，求点的坐标．
【详解】解：（1）抛物线经过点，点，，
可以设抛物线的解析式为：，
将代入得：，
，
抛物线的函数解析式为：；
（2）如图，点是关于直线成轴对称，，
当且仅当点、、三点共线时，取到最小值，即为点到点，点的距离之和最短，
设直线的解析式为：，
直线经过点，点，
，解得：，
直线的解析式为：，
，
直线为：，
联立方程，解得：，
点的坐标为．
3．已知抛物线经过点，当时，的最小值为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，的取值范围是，求的值．
【详解】解：（1）抛物线经过点，
，
，
，
该抛物线的对称轴为直线，
当时，的最小值为，
当时，，
解得：，
；
（2）由（1）知：抛物线为，
当时，的取值范围是，
不能取最小值，即，在对称轴的同侧，
分两种情况讨论：
①，即时，
在对称轴左侧随的增大而减小，
当时，，
解得：或，
当时，，
解得：或，
，
；
②时，在对称轴右侧随的增大而增大，
当时，
，
整理得：．
当时，
，
整理得：，
与不一致，
不合题意，舍去；
综上，．
4．已知抛物线，抛物线的顶点的为．
（1）若函数图象经过，对称轴是过且垂直于轴的直线，求、的值和顶点坐标；
（2）若，，求关于的函数表达式，并直接写出的取值范围；
（3）若，直接写出抛物线的顶点与原点的距离的最小值．
【详解】解：（1）函数图象经过，对称轴是过且垂直于轴的直线，
，解得：，
抛物线为，
，
顶点坐标为；
（2），
抛物线为，
抛物线的顶点的为，
，，
，
，
，
，
，
时，；时，，
的取值范围是；
（3），
抛物线为，
，
，
，
，
的最小值为，
顶点与原点的距离的最小值为．0
1
2
3
4
5
3
0
0
8