苏科版九年级下册5.1 二次函数课后测评

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1 .存在二次函数，与的部分对应值如表：
则下列说法：
图象经过原点；
图象开口向下；
图象经过点；
当时，随的增大而增大；
方程有两个不相等的实数根．
其中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
2 .抛物线经过和两点，则的值为（ ）．
A.
B.
C.
D.
二、填空
1 .已知二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如下表：
则关于的一元二次方程的根是 ．
2 .二次函数 的部分对应值如下表：
则二次函数 在时， ．
3 .已知抛物线经过点，，那么的值为 ，的值为 ．
4 .如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为轴，建立平面直角坐标系，若选取点为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点为坐标原点时的抛物线解析式是 ．
三、解答题
1 .年月华为瓦特实验室试验一种新型快充电池，充电时电池的电量是充电时间（分）的一次函数，其中．已知充电前电量为，测得充电分钟后电量达到，充满电后手机马上开始连续工作，工作阶段电池电量是工作时间的二次函数，如图所示，是该二次函数顶点，又测得充满电后连续工作了分钟，这时电量降为，厂商规定手机充电时不能工作，电量小于时手机部分功能将被限制，不能正常工作．
( 1 )求充电时和充电后使用阶段关于的函数表达式（不用写出取值范围）．
( 2 )为获得更多实验数据，实验室计划在首次充满电并使用分钟后停止工作再次充电，充电分钟后再次工作，假定所有的实验条件不变请问第二次工作的时间多长（电量到就停止工作）？
2 .若二次函数的图象与轴有两个交点，（），且经过点，过点的直线与轴交于点，与该函数的图象交于点（异于点）．满足是等腰直角三角形，记的面积为，的面积为，且．
( 1 )抛物线的开口方向 （填“上”或“下”）．
( 2 )求直线相应的函数表达式．
( 3 )求该二次函数的表达式．
3 .如图，抛物线与轴交于点，，若点的坐标为．
( 1 )求抛物线的解析式及顶点坐标．
( 2 )若是轴上一点，，将点绕着点逆时针方向旋转得到点．
① 用含的式子表示点的坐标．
② 当点恰好在该抛物线上时，求的值．
4 .如图，抛物线交轴于点和点．
( 1 )求该抛物线所对应的函数解析式．
( 2 )如图，该抛物线与轴交于点，顶点为，点在该抛物线上．
① 求四边形的面积．
② 点是线段上的动点（点不与点、重合），过点作轴交抛物线于点，连接、，当是直角三角形时，求出所有满足条件的点的坐标．
5 .如图，抛物线 交轴于、两点，其中点坐标为 ，与轴交于点 ．
( 1 )求抛物线的函数表达式．
( 2 )如图，连接，点在抛物线上，且满足 ．求点的坐标．
( 3 )如图，点为轴下方抛物线上任意一点，点是抛物线对称轴与轴的交点，直线、分别交抛物线的对称轴于点、．请问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
6 .如图，已知二次函数的图象交轴于、两点（、分别位于坐标原点的左、右两侧），交轴于点，且的面积为．
( 1 )求这个二次函数的表达式．
( 2 )若为平面内一点，且，试求当的面积取得最大值时点的坐标，并求此时直线将分成的两部分的面积之比．
7 .如图，已知抛物线与轴交于点、（点位于点的右侧），与轴负半轴交于点，顶点为．
( 1 )点的坐标为 ．点的坐标 ．（用含的代数式表示）
( 2 )当时等腰直角三角形时，
① 在抛物线上找一点，使得，求出符合条件的点坐标．
② 若点是轴下方的抛物线上一点，记的面积为，试确定使得的值为整数的点的个数．
8 .在平面直角坐标系中，抛物线的最高点的纵坐标是．
( 1 )求抛物线的对称轴及抛物线的表达式．
( 2 )将抛物线在之间的部分记为图象，将图象沿直线翻折，翻折后的图象记为，图象和组成图象，过作与轴垂直的直线，当直线和图象只有两个公共点时，将这两个公共点分别记为，，求的取值范围和的值．
9 .将一矩形纸片放在直角坐标系中，为原点，在轴上，，．
( 1 )如图，在上取一点，将沿折叠，使点落在边上的点，求直线的解析式．
( 2 )如图，在、边上选取适当的点、，将沿折叠，使点落在边上的点，过作于点，交于点．
① 求证：．
② 设，探求：与满足的等量关系式，并将用含的代数式表示（指出变量的取值范围）．
( 3 )在（）的条件下，当时，点在直线上，问在坐标轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由．
10 .如图，直线对应的函数关系式为，与抛物线交于点（在轴上），点．抛物线与轴另一交点为，抛物线与轴交点．
( 1 )求抛物线的解析式．
( 2 )如图，连接，过点作轴的垂线，垂足为点，直线与轴交点为，若点由点出发以每秒个单位的速度沿边向点移动，秒后点也由点出发以每秒个单位的速度沿，，边向点移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点的移动时间为秒，当时，求的值．（图为备用图）
( 3 )如果点是直线上的动点，是否存在一个点，使中有一个角为？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标．如果不存在，请说明理由．
5.3 用待定系数法确定二次函数表达式练习
一、单选
1 .存在二次函数，与的部分对应值如表：
则下列说法：
图象经过原点；
图象开口向下；
图象经过点；
当时，随的增大而增大；
方程有两个不相等的实数根．
其中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】 解：由题中表格可以得出当或时，，当时，，
，
解得：，
，
，图象经过原点，故正确；
，
抛物线开口向上，故错误；
把代入得，，
图象经过点，故正确；
抛物线的对称轴是，
时，随的增大而增大，时，随的增大而减小，故错误；
抛物线与轴有两个交点、，
有两个不相等的实数根，故正确．
故选：B．
2 .抛物线经过和两点，则的值为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】 由抛物线经过和两点，
可知抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
将点代入函数解析式，可得．
故选．
二、填空
1 .已知二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如下表：
则关于的一元二次方程的根是 ．
【答案】 ，
【解析】 由表格知对称轴为，
且的一个根为，
则另一个根为．
2 .二次函数 的部分对应值如下表：
则二次函数 在时， ．
【答案】
【解析】 ∵时，；时，，
∴二次函数图象的对称轴为直线，
∴和时的函数值相等，
∴时，．
3 .已知抛物线经过点，，那么的值为 ，的值为 ．
【答案】
【解析】 ∵抛物线经过点，，
∴，
解得，
，
即的值是，的值是．
4 .如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为轴，建立平面直角坐标系，若选取点为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点为坐标原点时的抛物线解析式是 ．
【答案】
【解析】 由题意可得出：，
将代入得出，，
解得：，
∴选取点为坐标原点时的抛物线解析式是：．
三、解答题
1 .年月华为瓦特实验室试验一种新型快充电池，充电时电池的电量是充电时间（分）的一次函数，其中．已知充电前电量为，测得充电分钟后电量达到，充满电后手机马上开始连续工作，工作阶段电池电量是工作时间的二次函数，如图所示，是该二次函数顶点，又测得充满电后连续工作了分钟，这时电量降为，厂商规定手机充电时不能工作，电量小于时手机部分功能将被限制，不能正常工作．
( 1 )求充电时和充电后使用阶段关于的函数表达式（不用写出取值范围）．
( 2 )为获得更多实验数据，实验室计划在首次充满电并使用分钟后停止工作再次充电，充电分钟后再次工作，假定所有的实验条件不变请问第二次工作的时间多长（电量到就停止工作）？
【答案】 (1)，．
(2)第二次工作的时间为分钟．
【解析】 (1)设充电时的函数表达式为，
将代入
得：，
即充电时函数表达式为：，
因为二次函数顶点为，且过点，
设，
再将代入
得：，
所以．
(2)开始充电时，电量为，充电速率不变，充电分钟，
此时电量，
当时，
解得：（舍去）或，
把代入二次函数解析式得：
，
解得：（舍去）或，
即：第二次工作的时间为，
答：第二次工作的时间为分钟．
2 .若二次函数的图象与轴有两个交点，（），且经过点，过点的直线与轴交于点，与该函数的图象交于点（异于点）．满足是等腰直角三角形，记的面积为，的面积为，且．
( 1 )抛物线的开口方向 （填“上”或“下”）．
( 2 )求直线相应的函数表达式．
( 3 )求该二次函数的表达式．
【答案】 (1)上
(2)直线：．
(3)抛物线解析式为：．
【解析】 (1)∵二次函数的图象与轴交于点、（），
，如图：
∴抛物线开口向上．
(2)①若，则与重合，直线与二次函数图象交于点，
因为直线与该函数的图象交于点（异于点），所以不合符题意，舍去；
②若，则在轴下方，因为点在轴上，所以不合符题意，舍去；
③若，
则，
∴，，
设直线：
将，代入：
，
解得：，
∴直线：．
(3)过点作轴，垂足为，
，，
又，
∴，
又∵，
∴，
即点纵坐标为，将代入中，得，
∴，
将、、三点坐标代入中，
得，
解得，
∴抛物线解析式为．
3 .如图，抛物线与轴交于点，，若点的坐标为．
( 1 )求抛物线的解析式及顶点坐标．
( 2 )若是轴上一点，，将点绕着点逆时针方向旋转得到点．
① 用含的式子表示点的坐标．
② 当点恰好在该抛物线上时，求的值．
【答案】 (1)；．
(2)①．
②．
【解析】 (1)∵抛物线与轴交于点，点的坐标为．
∴，解得，，
抛物线的解析式为：，，
抛物线的顶点坐标为．
(2)①作轴于，
由旋转的性质可知，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，，
∴，
则点的坐标为．
②当点恰好在该抛物线上时，，
解得，，，
∵，
∴．
4 .如图，抛物线交轴于点和点．
( 1 )求该抛物线所对应的函数解析式．
( 2 )如图，该抛物线与轴交于点，顶点为，点在该抛物线上．
① 求四边形的面积．
② 点是线段上的动点（点不与点、重合），过点作轴交抛物线于点，连接、，当是直角三角形时，求出所有满足条件的点的坐标．
【答案】 (1)．
(2)①．
②或或．
【解析】 (1)由题意可得，解得，
∴抛物线解析式为．
(2)①连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，且轴，
∵，
∴
．
②∵点在线段上，
∴不可能为直角，
∴当为直角三角形时，有或，
i．当时，，
∵，，
∴直线解析式为 ，∴直线的解析式为 ，
把代入可求得，
∴直线解析式为，
联立直线和抛物线解析式可得，
解得或，
∴．
ii．当时，设，
设直线的解析式为，
把、坐标代入可得，解得，
设直线解析式为，同理可求得，
∵，
∴，即，
解得，
当时，，
当时，，
∴点坐标为或．
综上可知点坐标为或或．
5 .如图，抛物线 交轴于、两点，其中点坐标为 ，与轴交于点 ．
( 1 )求抛物线的函数表达式．
( 2 )如图，连接，点在抛物线上，且满足 ．求点的坐标．
( 3 )如图，点为轴下方抛物线上任意一点，点是抛物线对称轴与轴的交点，直线、分别交抛物线的对称轴于点、．请问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】 (1)．
(2) 或 ．
(3)是， ．
【解析】 (1)∵抛物线 经过点 ， ，
∴ ， 解得： ．
∴抛物线的函数表达式为．
(2)①若点在轴下方，如图，
延长到，使，过点作 轴，连接，取中点，连接并延长交于点，过点作 于点，
令 ，解得：， ，
∴ ，
∵ ，，
∴ ， ， ， ，
∴在 中， ，
，
∵ ，为中点，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 中，，，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 中， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，即 ，
设直线的解析式为 ，
∴ ， 解得：，
∴直线 ，
联立 ，解得： （即点 ），，
∴ ．
②若点在轴上方，如图，
在上截取 ，则 与关于轴对称，
∴ ，
设直线的解析式为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 ，
令，解得： （即点 ），，
∴ ，
综上所述，点的坐标为 或 ．
(3) 为定值，
∵抛物线 的对称轴为：直线 ，
∴， ，
设， ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 ，
当 时， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，为定值．
6 .如图，已知二次函数的图象交轴于、两点（、分别位于坐标原点的左、右两侧），交轴于点，且的面积为．
( 1 )求这个二次函数的表达式．
( 2 )若为平面内一点，且，试求当的面积取得最大值时点的坐标，并求此时直线将分成的两部分的面积之比．
【答案】 (1)．
(2)，；面积比为或．
【解析】 (1)令得，，
由韦达定理得，
，
∴


，
∴的长度为，
，
∴，
，
，
，（舍）．
∴二次函数解析式为．
(2)令得，，
，
，，
∴点坐标为，点的坐标为，
设点的坐标为，
∵，
∴，
∴，
化简得：，
再化简得：
，
最大时，以为底，当最大时，面积最大，
∴当时，
即时，或，
∴当点坐标为时，
设的直线解析式为，
将点坐标代入解析式得：
，
，
∴的解析式为，
设的解析式为，
将点点坐标分别代入解析式得：，
由②式得，将代入①式得，
解得：，
∴的解析式为，
设为和交点，
∴联立解析式得：，
解得：，
∴点的坐标为，
∴，，
∴面积比为．
当点坐标为时，
同理可得：解析式为，
设解析式为，
分别将分别代入解析式得：，
解得：，
∴解析式为，
设为和交点，
联立解析式得：，
，
∴点的坐标为，
，，
∴面积比为．
综上所述，分成的两部分面积比为或．
7 .如图，已知抛物线与轴交于点、（点位于点的右侧），与轴负半轴交于点，顶点为．
( 1 )点的坐标为 ．点的坐标 ．（用含的代数式表示）
( 2 )当时等腰直角三角形时，
① 在抛物线上找一点，使得，求出符合条件的点坐标．
② 若点是轴下方的抛物线上一点，记的面积为，试确定使得的值为整数的点的个数．
【答案】 (1)
(2)①．
②点的个数为．
【解析】 (1)当时，，则，，
当时，，得，则，，
故答案为，．
(2)①如图，作于，
∵时等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵顶点的纵坐标为，
∴，
解得（舍去），，
∴抛物线解析式为，，
设交轴于点，如图，
∵，
而，
∴，
∴，
设直的解析式为，
把，代入得，
∴直线的解析式为，
解方程组得或，
∴满足条件的点坐标为．
②当时，作轴交于，如图，
设直线的解析式为，
把，代入得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴


∴当时，有最大值，
∴当取整数值时可取、、、、，此时对应的点有个，
当时，
∵，
∴，
∴当取整数值时，可取、、、，此时对应的点有个，
∴点的个数为．
8 .在平面直角坐标系中，抛物线的最高点的纵坐标是．
( 1 )求抛物线的对称轴及抛物线的表达式．
( 2 )将抛物线在之间的部分记为图象，将图象沿直线翻折，翻折后的图象记为，图象和组成图象，过作与轴垂直的直线，当直线和图象只有两个公共点时，将这两个公共点分别记为，，求的取值范围和的值．
【答案】 (1)对称轴为，
抛物线的表达式为．
(2)或，
．
【解析】 (1)∵抛物线，
∴对称轴为，
∵抛物线最高点的纵坐标是，
∴，
∴抛物线的表达式为．
(2)由图象可知，或，
由图象的对称性可得：．
9 .将一矩形纸片放在直角坐标系中，为原点，在轴上，，．
( 1 )如图，在上取一点，将沿折叠，使点落在边上的点，求直线的解析式．
( 2 )如图，在、边上选取适当的点、，将沿折叠，使点落在边上的点，过作于点，交于点．
① 求证：．
② 设，探求：与满足的等量关系式，并将用含的代数式表示（指出变量的取值范围）．
( 3 )在（）的条件下，当时，点在直线上，问在坐标轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】 (1)．
(2)①证明见解析．
②．
(3)或．
【解析】 (1)方法:设或，则，，，
由勾股定理得，则．
在中由勾股定理得，
解得，
∴点的坐标为．
点的坐标为．
∴．
(2)①如图（）连接交于，由折叠可知
垂直平分即，
由，从而得出．
∴四边形是平行四边形．
从而．
②∵
∴四边形是菱形．
∵，
∴，．
∴．
∵，，，
∴．
∴．
∴．
(3)如图中，时，，即点坐标，
∴，
当为对角线时，点与重合，，
∴，
∴此时点坐标．
②为边时，∵四边形是平行四边形，
又∵四边形是平行四边形，
∴点与重合，点与点重合，
∴点坐标，
综上所述，以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，点坐标或．
10 .如图，直线对应的函数关系式为，与抛物线交于点（在轴上），点．抛物线与轴另一交点为，抛物线与轴交点．
( 1 )求抛物线的解析式．
( 2 )如图，连接，过点作轴的垂线，垂足为点，直线与轴交点为，若点由点出发以每秒个单位的速度沿边向点移动，秒后点也由点出发以每秒个单位的速度沿，，边向点移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点的移动时间为秒，当时，求的值．（图为备用图）
( 3 )如果点是直线上的动点，是否存在一个点，使中有一个角为？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标．如果不存在，请说明理由．
【答案】 (1)抛物线解析式为．
(2)当时，有．
(3)满足条件的点坐标为或或或．
【解析】 (1)令，则，解得，所以点坐标，
设抛物线解析式为，
∵、、在抛物线上，
∴，解得，
∴抛物线解析式为．
(2)，令，，
∴，
由，解得或，
∴点坐标．
∵点，
∴，
∴，
由题意：点移动的路程为，点移动的路程为，
当点在上时，即时，时，
如图中，
若，则有，
∴，
即，
∴，，
∴此时不合题意．
当点在上时，
，
时，
如图中，过点作于，
∴，，
若，则有，
∴，即，
∴，
∵，
∴符合题意．
当点在上时，即，
时，
如图中，
若，过点作交于，
则，即，
∴，这与内角和为矛盾，此时不与垂直，
综上所述：当时，有．
(3)如图中，
构造等腰直角三角形，，
使得，，
分别以、为圆心为半径画圆交直线于、，则，
∵直线的解析式为，，，设，
由，可得，解得或，
∴，同法可得，
分别延长、交中线以、，此时，
∵直线的解析式为，
由，解得，
∴，
同法可得，
综上所述，满足条件的点坐标为或或或．