人教A版高中数学必修第二册第7章7-1-2复数的几何意义学案

这是一份人教A版高中数学必修第二册第7章7-1-2复数的几何意义学案，共14页。
7.1.2　复数的几何意义我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示，复数作为数系的扩充，能不能进行几何表示呢？让我们来一起探究吧！知识点1　复数的几何意义1．复平面(1)复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．(2)实轴：坐标系中的x轴叫做实轴，实轴上的点都表示实数．(3)虚轴：坐标系中的y轴叫做虚轴，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．1.实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？[提示]　不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．2．复数的几何意义(1)复数集C中的数与复平面内的点一一对应：复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)；(2)复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量一一对应：复数z＝a＋bi平面向量OZ．知识点2　复数的模1．定义：向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值．2．记法：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|．3．公式：|z|＝|a＋bi|＝a2+b2．知识点3　共轭复数1．定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．2．表示：复数z的共轭复数用z表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么z＝a－bi．2.共轭复数在复平面内对应的点有什么关系？[提示]　它们所对应的点关于实轴对称．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)原点是实轴和虚轴的交点． (　　)(2)若OZ＝(0，－3)，则OZ对应的复数为－3i． (　　)(3)复数z＝－1－2i在复平面内对应的点位于第四象限． (　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)×2．已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________．5　[∵z＝1＋2i，∴|z|＝12+22＝5．]3．复数z＝－3－2i的共轭复数z＝________．[答案]　－3＋2i 类型1　复数与复平面内的点的关系【例1】　求实数a分别取何值时，复数z＝a2-a-6a+3＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内；(2)在复平面内的x轴上方．[解]　(1)点Z在复平面的第二象限内，则a2-a-6a+30，解得a＜－3．(2)点Z在x轴上方，则a2-2a-15>0，a+3≠0， 解得a＞5或a＜－3．即当a＞5或a＜－3时，点Z在复平面内的x轴上方．[母题探究]1．本例中题设条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值．[解]　点Z在x轴上，所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，所以a＝5．故a＝5时，点Z在x轴上．2．本例中条件不变，如果点Z在直线x＋y＋7＝0上，求实数a的值．[解]　因为点Z在直线x＋y＋7＝0上，所以a2-a-6a+3＋a2－2a－15＋7＝0，即a3＋2a2－15a－30＝0，所以(a＋2)(a2－15)＝0，故a＝－2或a＝±15．所以a＝－2或a＝±15时，点Z在直线x＋y＋7＝0上．　利用复数与点的对应解题的步骤(1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标．(2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系．[跟进训练]1．(1)已知a∈R，则复数(a2＋a＋1)－(a2－2a＋3)i对应的点在复平面内的第________象限．(2)已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数x的取值范围为________．(1)四　(2)(1，2)　[(1)因为a2＋a＋1＝a+122＋34>0，－(a2－2a＋3)＝－(a－1)2－2