人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数导学案，文件包含411《n次方根与分数指数幂》导学案教师版docx、411《n次方根与分数指数幂》导学案学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共9页， 欢迎下载使用。

一．学习目标
1.理解n次方根、n次根式的概念,能正确运用根式运算性质化简求值（重点）
2.通过对有理数指数幂amn(a＞0,且a≠1;m,n为整数,且n＞0)、实数指数幂ax(a＞0,且a≠1;x∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质（难点）
二．自主预习（基础部分和要点部分：预习内容和预习题）
学生阅读课本，预习n次方根与分数指数幂
三．课堂导学
公元前五世纪,古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派,其学派中的一名成员希帕索斯考虑了一个问题:边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数,也不能用分数来表示,希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数2的诞生.
问题 若x2＝3,这样的x有几个?它们叫做3的什么?怎样表示?
知识点一 n次方根
1.n次方根的定义
一般地,如果xn＝a,那么x叫做a的 n次方根 ,其中n＞1,且n∈N*.
2.n次方根的性质
3.根式
式子na叫做 根式 ,这里n叫做 根指数 ,a叫做 被开方数 .
4.根式的性质
(1) 负数 没有偶次方根;
(2)0的任何次方根都是0,记作n0＝ 0 ;
(3)(na)n＝ a (n∈N*,且n＞1);
(4)①当n为奇数时,nan＝ a ;
②当n为偶数时,nan＝｜a｜＝a,a≥0,-a,a<0.
正数a的n次方根一定有两个吗?
提示:不一定.当n为偶数时,正数a的n次方根有两个,且互为相反数,当n为奇数时,正数a的n次方根只有一个且仍为正数.
知识点二 分数指数幂
1.分数指数幂的意义
2.有理指数幂的运算性质
(1)aras＝ ar＋s (a＞0,r,s∈Q);
(2)(ar)s＝ ars (a＞0,r,s∈Q);
(3)(ab)r＝ arbr (a＞0,b＞0,r∈Q).
提醒 (1)aras＝ar-s(a＞0,r,s∈Q);(2)（ab）r＝arbr(a＞0,b＞0,r∈Q);(3)分数指数幂amn不可理解为mn个a相乘,它是根式的一种写法;(4)正数的负分数指数幂总表示正数,而不是负数.
1.下列运算结果中,正确的是( )
A.a2a3＝a5 B.(-a2)3＝(-a3)2 C.(a-1)0＝1 D.(-a2)3＝a6
解析:A a2a3＝a2＋3＝a5;(-a2)3＝-a6≠(-a3)2＝a6;(a-1)0＝1,若成立,需要满足a≠1,故选A.
2.当x＜0时,x＋4x4＋3x3x＝ .
解析:原式＝x＋｜x｜＋1＝x-x＋1＝1.
答案:1
3.在①4(-4)2n;②4(-4)2n+1;③5a4;④4a5(n∈N,a∈R)各式中,一定有意义的是 (填序号).
解析:(-4)2n＞0,故①有意义;(-4)2n＋1＜0,故②无意义;③显然有意义;当a＜0时,a5＜0,此时4a5无意义.
答案:①③
四．典例分析、举一反三
题型一 n次方根
【例1】 (1)化简: ①4(3-π)4; ②(a-1)2＋(1-a)2＋3(1-a)3;③3+22＋3-22.
(2)已知-3＜x＜3,求x2-2x+1-x2+6x+9的值.
解 (1)①原式 ＝｜3-π｜＝π-3.
②由题意知a-1≥0,即a≥1.原式＝a-1＋｜1-a｜＋1-a＝a-1＋a-1＋1-a＝a-1.
③原式＝(2)2+22+1＋(2)2-22+1
＝(2+1)2＋(2-1)2
＝2＋1＋2-1＝22.
(2)原式＝(x-1)2-(x+3)2＝｜x-1｜-｜x＋3｜,
∵-3＜x＜3,∴当-3＜x＜1时,原式＝-(x-1)-(x＋3)＝-2x-2;
当1≤x＜3时,原式＝(x-1)-(x＋3)＝-4.
∴原式＝-2x-2,-3 (变条件)本例(2)中,若将条件“-3＜x＜3”变为“x≤-3”,其结果又是什么?
解:原式＝(x-1)2-(x+3)2＝｜x-1｜-｜x＋3｜.
∵x≤-3,
∴x-1＜0,x＋3≤0,
∴原式＝-(x-1)＋(x＋3)＝4.
练1-1. 化简x2-2xy＋y2＋5(y-x)5＝ .
解析:x2-2xy＋y2＋5(y-x)5＝(x-y)2＋5(y-x)5＝｜x-y｜＋(y-x)＝0,x≥y,2(y-x),x＜y.
答案:0,x≥y,2(y-x),x＜y
练1-2.当2-x有意义时,化简x2-4x+4-x2-6x+9＝ .
解析:因为2-x有意义,所以2-x≥0,即x≤2,所以原式＝(x-2)2-(x-3)2＝(2-x)-(3-x)＝-1.
答案:-1
题型二 分数指数幂
【例2】用根式或分数指数幂表示下列各式:
(1)a15;(2)a34(a＞0);
(3)3a6;(4)1a3(a＞0).
解 (1)a15＝5a. (2)a34(a＞0)＝4a3.
(3)3a6＝a63＝a2. (4)1a3(a＞0)＝1a32＝a-32.
练2-1. （1）用根式的形式表示下列各式(x＞0,y＞0):
(1)x23＝ ;(2)x-35＝ ;(3)x-12y47＝ .
答案:(1)3x2 (2)15x3 (3)7y4x
（2）用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数):
(1)5a6;(2)13a2.
解:(1)5a6＝a65. (2)13a2＝1a23＝a-23.
题型三 有理数指数幂的运算性质
【例3】(1)（a23b-1）-12a-12b136ab5＝ ;(式中字母均是正数)
(2)计算:259-（827）13-(π-3)0＋（14）-12＝ .
解析 (1)原式＝a23×（-12）·b12·a-12·b13a16·b56＝a-13-12·b12＋13a16·b56＝a-56·b56a16·b56＝a-56-16＝a-1＝1a.
(2)原式＝53-23-1＋2＝2.
答案 (1)1a (2)2
练3-1. (1)（214）12-(-2)0-（278）-23＋（32）-2; (2)2x14（-3x14y-13）÷（-6x-32y-43）(x,y＞0).
解:(1)原式＝［（32）2］12-1-［（32）3］-23＋（23）2＝32-1-49＋49＝12.
(2)原式＝[2×(-3)÷(-6)]x14＋14＋32y-13＋43＝x2y.
五、课堂小结
六、当堂检测
1.已知:n∈N,n＞1,那么2n(-5)2n＝( )
A.5 B.-5 C.-5或5 D.不能确定
解析:A 2n(-5)2n＝2n52n＝5.
2.若a＜14,则化简(4a-1)2的结果是( )
A.4a-1 B.1-4a C.-4a-1 D.-1-4a
解析:B ∵a＜14,∴4a-1＜0,∴(4a-1)2＝｜4a-1｜＝-(4a-1)＝1-4a.
3.(多选)下列关系式中,根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A.-x＝(-x)12(x＞0) B.6y2＝y13(y＞0) C.x-12y23＝3y2x(x＞0,y＞0) D.x-13＝-3x(x＞0)
解析:BC 对于A,-x＝-x12(x＞0),故A错误;对于B,6y2＝y13(y＞0),故B正确;对于C,x-12y23＝3y2x(x＞0,y＞0),故C正确;对于D,x-13＝13x(x＞0),故D错误.
4.计算(π-3)0＋3-1×21412＝ .
解析:原式＝1＋13×32＝1＋12＝32.
答案:32
七．课后作业
八、问题日清（学生填写，老师辅导解答）
1.
2.
学生签字 老师签字n为奇数
n为偶数
a∈R
a＞0
a＝0
a＜0
x＝ na
x＝ ±na
x＝0
不存在
分数指数幂
正分数指数幂
规定:amn＝ nam (a＞0,m,n∈N*,n＞1)
负分数指数幂
规定:a-mn＝ 1amn ＝1nam(a＞0,m,n∈N*,n＞1)
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于 0 ,0的负分数指数幂 没有意义