高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.1 指数综合训练题

专题21  指数

题组1 整数指数幂的运算性质

1.下列各式运算错误的是(　　)

A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8

B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3

C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6

D．[－(a3)2·(－b2)3]3＝a18b18

【答案】C

【解析】(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6.

故C错误．

2.下列运算正确的是(　　)

A．(－a3)4＝(－a4)3

B．(－a3)4＝－a3＋4

C．(－a3)4＝a3＋4

D．(－a3)4＝(－1)4a3×4＝a12

【答案】D

【解析】因为(a·b)n＝an·bn，所以(－a3)4＝(－1)4a3×4＝a12.

3.对于a>0，b≠0，m，n∈Z，以下运算中正确的是(　　)

A．am·an＝amn

B．(am)n＝am＋n

C．ambn＝(ab)m＋n

D．(b÷a)m＝a－mbm

【答案】D

【解析】由有理数指数幂的运算法则可知：

A．am.an＝am＋n，∴A错误．

B．(am)n＝amn，∴B错误．

C．ambn±(ab)m＋n＝am＋nbm＋n，∴C错误．

D．(b÷a)m＝a－mbm，∴D正确．

故选D.

4.已知a2m＋n＝2－2，am－n＝28，a>0，且a≠1，则a4m＋n的值为________．

【答案】4

【解析】因为

所以①×②得a3m＝26，所以am＝22.

将am＝22代入②得22×a－n＝28，所以an＝2－6，

所以a4m＋n＝a4m×an＝(am)4×an＝(22)4×2－6＝22＝4.

题组2 有理数指数幂的运算性质

5.设m，n∈R，a，b>0，则下列各式中正确的个数有(　　)

(1)am·an＝amn；(2)(am)n＝amn；(3)(ab)n＝anbn；(4)()m＝am－bm；(5)()m＝amb－m.

A．5

B．4

C．3

D．2

【答案】C

【解析】由指数幂的运算性质知：

aman＝am＋n，故(1)错误；

(am)n＝amn，故(2)正确；

(ab)n＝anbn，故(3)正确；

()m＝amb－m，故(4)错误，(5)正确．

故正确的式子有3个，故选C.

6.计算：的值是(　　)

A．0.514

B．1.236

C．1.234

D．0.516

【答案】D

【解析】原式＝＝0.001＋－＝0.516.

7.等于(　　)

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】原式＝，故选A.

8.下列结论中，正确的个数是(　　)

①若a∈R，则(a2－2a＋1)0＝1；

②若a>b>0，则＝1成立；

③()－n＝()n(ab>0)；

④＝＝(a≠b，ab≠0)．

A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】C

【解析】①，当a＝1时，a2－2a＋1＝0，(a2－2a＋1)0无意义，故错；

②③正确运用了幂的运算性质，正确；

④先变形又利用了幂的运算性质，正确．故选C.

9.(＋2)1999(－2)2000等于(　　)

A．2＋

B．2－

C．－2

D．－1

【答案】B

【解析】原式＝(＋2)1999(2－)2000＝[(2＋)(2－)]1999·(2－)＝11999·(2－)

＝2－.

10.已知x＋x－1＝3，则＋的值为(　　)

A．±4

B．2

C．4

D．－4

【答案】B

【解析】∵x＋x－1＝3，∴x>0，且＋＋2＝5，＝5，则＋＝，所以＋＝＋＝(＋)(x－1＋)＝2.故选B.

11.若＋＝4，x＝a＋，y＝b－1＋，则＋的值为(　　)

A．2

B．4

C．8

D．10

【答案】C

【解析】∵x＝a＋3，y＝b－1＋，

∴x＋y＝a＋＋＋b－1

＝()3＋3()2＋3()2＋()3

＝(＋)3，

x－y＝a＋－3－b－1

＝()3－3()2＋3()2－()3

＝(－)3，

∴＋

＝＋

＝(＋)2＋(－)2

＝2(＋)＝8.

故选C.

12.化简(－＋1)(＋＋1)(x－＋1)＝____________.

【答案】x2＋x＋1

【解析】原式＝[(＋1)2－()2](x－＋1)＝(x＋1＋)(x－＋1)＝(x＋1)2－()2

＝x2＋x＋1.

13.计算：.

【答案】＝2.5＋1＋＋＋＝.

14.化简求值：．

【答案】原式＝[2×(－6)÷(－3)]＝＝4a.

15.计算：.

【答案】原式＝

题组3 n次方根及根式的概念

16.有下列说法：

①81的4次方根是3；

②的运算结果是±2；

③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；

④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义．

其中，正确的是(　　)

A．①③④

B．②③④

C．②③

D．③④

【答案】D

17.若xy≠0，那么等式＝－2xy成立的条件是(　　)

A．x>0，y>0

B．x>0，y<0

C．x<0，y>0

D．x<0，y<0

【答案】C

【解析】由－2xy≥0得xy≤0，

又∵xy≠0，∴xy<0.

由有意义得y>0，

∴x<0，故选C.

18.如果a，b是实数，则下列等式：(1)＋＝a＋b；(2)(＋)2＝a＋b＋2；(3)＝a2＋b2；(4)＝a＋b.其中一定成立的是________(写出所有成立的式子的序号)．

【答案】(2)(3)

【解析】∵＝±b，∴(1)不一定成立；根据根式的性质，(2)(3)都一定成立；＝|a＋b|，∴(4)不一定成立．

19.(1)已知x＝，y＝，求－的值；

(2)已知a、b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值．

【答案】　(1)－＝－＝.

当x＝，y＝时，原式＝＝＝－24＝－8.

(2)∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，

∴∵a>b>0，∴>，

()2＝＝＝，

∴＝＝.

20.求使等式＝(2－x)成立的x的取值范围．

【答案】＝＝(2－x)·，

∴∴－2≤x≤2.

使等式成立的x的取值范围为[－2,2]．

21.求使等式＝(3－a)成立的实数a的取值范围．

【答案】∵＝＝＝|a－3|.

∴要使等式＝(3－a)成立，

必须有即

⇒⇒－3≤a≤3.

故a的取值范围是－3≤a≤3.

题组4 根式的化简

22.式子＋的化简结果为(　　)

A．1

B．10

C．100

D．

【答案】D

【解析】＋＝＋

＝＋＝.

23.若2<a<5，化简＋()4的结果是(　　)

A．7－2a

B．2a－7

C．3

D．－3

【答案】C

【解析】∵2<a<5，∴2－a<0,5－a>0.

原式＝|2－a|＋5－a＝a－2＋5－a＝3.

答案选C.

24.当有意义时，化简－的结果是(　　)

A．2x－5

B．－2x－1

C．－1

D．5－2x

【答案】C

【解析】　当有意义时，x≤2，

－＝|x－2|－|x－3|＝2－x＋x－3＝－1.

25.化简()2＋＋＝________.

【答案】a－1

【解析】由根式有意义可得a－1≥0，即a≥1，

故原式＝(a－1)＋(a－1)＋(1－a)＝a－1.

题组5 根式与分数指数幂的互化

26.化简的结果是(　　)

A．a2

B．a

C．

D．

【答案】C

【解析】＝＝＝＝＝.故选C.

27.化简的结果为(　　)

A．5

B．

C．－

D．－5

【答案】B

【解析】＝＝＝＝.

故选B.

28.下列各式中成立的是(　　)

A．()7＝m7

B．＝

C．＝

D．＝

【答案】D

【解析】()7＝＝m7n－7≠m7；

＝＝≠；

＝＝≠；

＝＝＝.

故选D.

题组6 无理数指数幂及其运算性质

29.计算：(×)6＋－－×80.25－(－2011)0.

【答案】原式＝22×33＋(－4×－×－1)＝4×27＋2－7－2－1＝100.

30.计算：÷÷.

【答案】原式＝÷÷＝÷÷＝＝÷＝＝.

31.化简：··(xy)－1(xy≠0)．

【答案】原式＝＝·····＝·

＝