人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.1 指数精品教案设计

无理数指数幂及其运算性质

（一）教学内容

1.理解无理数指数幂的概念；

2.掌握实数指数幂的运算性质.

（二）教学目标

1.类比对大小的认定，经历的不足近似值与过剩近似值的了解，确认是一个确定的数，形成无理指幂的概念，进一步发展学生的数学抽象核心素养。

2.类比有理指数幂的运算法则，给合具体实例明确实数指数幂的运算法则.

（三）教学重点及难点

1.重点

实数指数幂的运算法则.

2.难点

无理数指数幂的概念.

（四）教学过程

问题1：初中学习实数时，知道是个无理数，那么，大家能确定的大小么？

师生活动：

（1）学生自主给出答案，应该会有不少同学认为，也肯定会有不少同学会否定这个说法，大家各执一辞，很可能会统一认为：因为是个无理数，所以它的大小说不出来.

（2）学生中会有少部分同学认为：就是.但这个说法极有可能会被大多数同学否定.教师可以适时给予肯定：就是.然后给出追问.

追问：为什么就是？

（3）应该会有更多的学生回忆起初中学习过的内容，会说出是无理数，而每一个无理数也是一个确定的数.

追问：还记得初中是怎么描述无理数这个确定的数在大小么？

（4）应该会有（预习过教材的同学大多数能想这一点）同学回答说用的不足近似值和过剩近似值来逼近的确定值.

（5）教师指导学生新自验证为什么说1.4、1.41、1.414……是的不足近似值；而1.5、1.42、1.415……是的剩余近似值.并用多媒体展示以下计算过程.即

即：

（6）教师引导学生注意：1.96、1.988、1.999396……的不足和2.25、2.0164、2.002225……相较于2的“不足”和“过剩”才是判定1.4、1.41、1.414……和1.5、1.42、1.415……是的“不足近似值”和“过剩近似值”的依据.

设计意图：这个问题本意是在引导学生们做一个复习.有两外刻意的设计，一是要学生动手做6个乘法运算，意图让学生亲自看见“不足”和“过剩”的出现.否则，就成了教材说什么就是什么、老师说什么就是什么的情况，学生满足于记住结论，而不去关注过程.偏偏这个过程，在后面的无理指数的学习，又确实没有办法脱离计算器完成.不在这个复习环节让学生经历这个过程，后面就更说不清了.二是提醒学生注意判定1.4、1.41、1.414……和1.5、1.42、1.415……是的“不足近似值”和“过剩近似值”的依据是什么.事实上，如果不做这个提醒，很多学生是将这些数与1.414比较大小来判定它们的“不足”和“过剩”的.这是典型的“上帝视角”，需要纠正.

问题2：会不会是一个确定的值？如果是，如何确定它的大小？

师生活动：

（1）学生们结合对教材的阅读，应该会有以下共同认识：一是是一个确定的数；二是可以通过求的不足近似值和过剩近似值来确定它的大小.

（2）教师适时用课件呈现以下表格：

追问：和这一类的有理指数幂怎么算出来？

（3）教师引导学生明确，和是前面已经学习过的有理指数幂的计算问题，它们分别都是一些可以确定的数.具体计算时，可以借助工具，包括计算机或计算器完成.

（4）有条件的情况下，让学生用计算器完成上述计算.教师可以使用电子表格软件系统“一键”完成以上计算：

（5）由上表不难发现：

当的不足近似值从小于的方向逼近时，的近似值从小于的方向逼近；当的过剩近似值从大于的方向逼近时，的近似值从大于的方向逼近．所以，就是一串有理指数幂和另一串有理数指数幂按上述变化规律变化的结果．

（6）师生共同明确：是一个确定的数，它约等于9.7事实上，从上面的计算中可以得出它是介于9.738517736到9.738517752之间地的一个确定的数，而如果需要，我们还可经断续下去，将其确定到一个更小的范围.

（7）请学生回答：如何确认是一个确定的数.

 设计意图：类比对的具体数值的确定，理解是一个确定的数这么一个事实.在具体教学中，要让学生亲自完成、……之类的计算.教师用软件“一键”完成的计算也应该在学生有所体验之后再进行展示.

教材在外理数据的“不足”和“过剩”，采用的是对数值大小变化的简单而直接的观察，如果有学生问到凭什么认定那些被省略的部分也一定会按这个趋势变化时，教师可以给学生们说一说后面的课时会学习到的指数函数的单调性问题.这也算是为后面的学生埋下一个伏笔.

问题3：无理数指数幂是一个确定的实数，即实数指数幂是一个确实的实数.那么，整数（有理数）指数幂的运算法则是否同样适用于无理数（实数）指数幂？

师生活动：

（1）学生自行讨论明确以下结论：对任意的实数、，整数（有理数）指数幂的运算法则同样适用于无理数（实数）指数幂：

（2）师生共同完成例题如下：：

【例1】计算下列各式：（1）；（2）.

【解析】（1）；

（2）.

【课堂练习】求的值.

【解析】。

设计意图：从整数指数幂到实数指数幂，其运算法则是不变的。但是，指数幂的底数的取值范围发生了变化，要求底数。例题及习题旨在让学生熟悉这些公式。

（五）小结

（1）无理数指数幂

一般地，无理数指数幂是一个确定的实数。

实数指数幂是一个确实的实数.

（2）实数指数幂的运算性质：

对任意的实数、，

（六）目标检测：

1.对任意的实数,求证：.

【证】因为，所以.

2.课后作业布置：教材第141页习题4.1第7题.

设计意图：负指数幂与对应正指数幂间的关系，没有在实数指数幂的四三条运算性制质中出现，那是因为它可以由实数指数幂的三条性质推导出来。第1题就是要让学生经历这样一个过程，熟悉相关运算法则。

（七）教学反思