人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数第2课时课堂检测

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数第2课时课堂检测，共7页。试卷主要包含了分数指数幂的意义，有理数指数幂的运算性质，无理数指数幂，))4＋0＝________.等内容，欢迎下载使用。


1．分数指数幂的意义
思考：在分数指数幂与根式的互化公式aeq \s\up5(\f(m,n))＝eq \r(n,am)中，为什么必须规定a>0?
提示：①若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即eq \r(n,am)＝aeq \s\up5(\f(m,n))＝0，无研究价值．
②若a<0，aeq \s\up5(\f(m,n))＝eq \r(n,am)不一定成立，如(－2)eq \s\up5(\f(3,2))＝eq \r(2,－23)无意义，故为了避免上述情况规定了a>0.
2．有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
1．下列运算结果中，正确的是( )
A．a2a3＝a5 B．(－a2)3＝(－a3)2
C．(eq \r(a)－1)0＝1 D．(－a2)3＝a6
A [a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(eq \r(a)－1)0＝1，若成立，需要满足a≠1，故选A.]
2．4eq \s\up5(\f(2,5))等于( )
A．25 B.eq \r(5,16) C.eq \r(4eq \s\up5(\f(1,5))) D.eq \r(5,4)
B [4eq \s\up5(\f(2,5))＝eq \r(5,42)＝eq \r(5,16)，故选B.]
3．已知a>0，则aeq \s\up5(－\f(2,3))等于( )
A.eq \r(a3) B.eq \f(1,\r(3,a2))
C.eq \f(1,\r(a3)) D．－eq \r(3,a2)
B [aeq \s\up5(－\f(2,3))＝eq \f(1,aeq \s\up5(\f(2,3)))＝eq \f(1,\r(3,a2)).]
4．(meq \s\up5(\f(1,2)))4＋(－1)0＝________.
m2＋1 [(meq \s\up5(\f(1,2)))4＋(－1)0＝m2＋1.]
根式与分数指数幂的互化
【例1】 将下列根式化成分数指数幂的形式：
(1)eq \r(a\r(a))(a>0)；(2)eq \f(1,\r(3,x\r(5,x2)2))；
(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(4,beq \s\up15(－\f(2,3)))))eq \s\up25(－\f(2,3))(b>0)．
[解] (1)原式＝eq \r(a·aeq \s\up5(\f(1,2)))＝eq \r(aeq \s\up5(\f(3,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(aeq \s\up5(\f(3,2))))eq \s\up5(\f(1,2))＝aeq \s\up5(\f(3,4)).
(2)原式＝eq \f(1,\r(3,x·xeq \s\up5(\f(2,5))2))＝eq \f(1,\r(3,x·xeq \s\up5(\f(4,5))))＝eq \f(1,\r(3,xeq \s\up5(\f(9,5))))＝eq \f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xeq \s\up5(\f(9,5))))eq \s\up5(\f(1,3)))＝eq \f(1,xeq \s\up5(\f(3,5)))＝xeq \s\up15(－\f(3,5)).
(3)原式＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(beq \s\up15(－\f(2,3))))eq \s\up5(\f(1,4))))eq \s\up15(－\f(2,3))＝beq \s\up15(－\f(2,3)×eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3))))＝beq \s\up5(\f(1,9)).
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
1．将下列根式与分数指数幂进行互化：
(1)a3·eq \r(3,a2)；(2)eq \r(a－4b2\r(3,ab2))(a>0，b>0)．
[解] (1)a3·eq \r(3,a2)＝a3·aeq \s\up5(\f(2,3))＝aeq \s\up15(3＋eq \f(2,3))＝aeq \s\up15(\f(11,3)).
(2)eq \r(a－4b2\r(3,ab2))＝eq \r(a－4b2·ab2eq \s\up5(\f(1,3)))
＝eq \r(a－4b2aeq \s\up5(\f(1,3))beq \s\up5(\f(2,3)))＝eq \r(aeq \s\up15(－\f(11,3))beq \s\up5(\f(8,3)))
＝aeq \s\up15(－\f(11,6))beq \s\up5(\f(4,3)).
利用分数指数幂的运算性质化简求解
【例2】 化简求值：
指数幂运算的常用技巧
1有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.
2负指数幂化为正指数幂的倒数.
3底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.
提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.
2．(1)计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(3,5)))0＋2－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(1,4)))eq \s\up15(－\f(1,2))－(0.01)0.5；
(2)化简：eq \r(3,aeq \s\up5(\f(7,2))\r(a－3))÷eq \r(\r(3,a－8)·\r(3,a15))÷
eq \r(3,\r(a－3)·\r(a－1))(a>0)．
指数幂运算中的条件求值
[探究问题]
1.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))2和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,a)))2存在怎样的等量关系？
提示：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,a)))2＋4.
2．已知eq \r(a)＋eq \f(1,\r(a))的值，如何求a＋eq \f(1,a)的值？反之呢？
提示：设eq \r(a)＋eq \f(1,\r(a))＝m，则两边平方得a＋eq \f(1,a)＝m2－2；反之若设a＋eq \f(1,a)＝n，则n＝m2－2，∴m＝eq \r(n＋2).即eq \r(a)＋eq \f(1,\r(a))＝eq \r(n＋2).
【例3】 已知aeq \s\up5(\f(1,2))＋aeq \s\up5(－\f(1,2))＝4，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
[思路点拨] eq \x(aeq \s\up5(\f(1,2))＋aeq \s\up2(eq \s\up5(－\f(1,2)))＝4)eq \(――――→,\s\up15(两边平方))eq \x(得a＋a－1的值)eq \(――――→,\s\up15(两边平方))eq \x(得a2＋a－2的值)
[解] (1)将aeq \s\up5(\f(1,2))＋aeq \s\up5(－\f(1,2))＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.
(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.
1．在本例条件不变的条件下，求a－a－1的值．
[解] 令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2，
∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8eq \r(3)，即a－a－1＝±8eq \r(3).
2．在本例条件不变的条件下，求a2－a－2的值．
[解] 由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8eq \r(3)×14＝±112eq \r(3).
解决条件求值的思路
1在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值.
2在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用.
1．对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律．
2．解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”．
1．思考辨析
(1)0的任何指数幂都等于0.( )
(2)5eq \s\up5(\f(2,3))＝eq \r(53).( )
(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如eq \r(4,a2)＝aeq \s\up5(\f(1,2)).( )
(4)aeq \s\up5(\f(m,n))可以理解为eq \f(m,n)个a.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．把根式aeq \r(a)化成分数指数幂是( )
A．(－a)eq \s\up5(\f(3,2)) B．－(－a)eq \s\up5(\f(3,2))
C．－aeq \s\up5(\f(3,2)) D．aeq \s\up5(\f(3,2))
D [由题意可知a≥0，故排除A、B、C选项，选D.]
3．已知xeq \s\up5(\f(1,2))＋xeq \s\up5(－\f(1,2))＝5，则eq \f(x2＋1,x)的值为( )
A．5 B．23
C．25 D．27
B [∵xeq \s\up5(\f(1,2))＋xeq \s\up5(－\f(1,2))＝5，∴x＋x－1＝23，即eq \f(x2＋1,x)＝23.]

学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点)
2．掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点)
1.通过分数指数幂、运算性质的推导，培养逻辑推理素养．
2．借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养.
分数指数幂
正分数指数幂
规定：aeq \s\up5(\f(m,n))＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数指数幂
规定：a－eq \s\up5(\f(m,n))＝eq \f(1,aeq \s\up5(\f(m,n)))＝eq \f(1,\r(n,am))
(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0，
0的负分数指数幂没有意义