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    人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数学案

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    这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数学案,共10页。

    41 指数

    41.1 n次方根与分数指数幂

    41.2 无理数指数幂及其运算性质

     

    课程标准

    (1)理解根式的概念及分数指数幂的含义.(2)会进行根式与分数指数幂的互化.

    (3)掌握根式的运算性质和指数幂的运算性质.

     

     

    新知初探·课前预习——突出基础性

    教 材 要 点

    要点一 根式及相关概念

    1an次方根定义

    一般地,如果________,那么x叫做an次方根其中n1,且nN*.

    2an次方根的表示

    n的奇偶性

    an次方根的表示符号

    a的取值范围

    n为奇数

    aR

    n为偶数

    ____________

    3.根式:式子叫做根式,n叫做________a叫做________

    要点二 根式的性质

    (1)0的任何次方根都是0,记作________

    (2)()n________(nN*,且n1).

    (3)a(n为大于1的奇数).

    (4)|a| (n为大于1的偶数).

    要点三 分数指数幂的意义

    分数指数幂

    正分数指数幂

    ________(a>0mnN*n>1)

    负分数指数幂

    ________(a>0mnN*n>1)

    0的分数指数幂

    0的正分数指数幂等于00的负分数指数幂没有意义.

     

     

    要点四 有理数指数幂与无理数指数幂

    1. 有理数指数幂的运算性质

    (1)aras________(a>0rsQ)

    (2)(ar)s________(a>0rsQ)

    (3)(ab)r________(a>0b>0rQ).

    2无理数指数幂

    一般地,无理数指数幂aα(a>0α是无理数)是一个确定的实数.

     

    助 学 批 注

    批注 求一个数an次方根,就是求一个数的n次方等于a.

    批注 正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数.

    批注 正数的偶次方根有两个且互为相反数,负数没有偶次方根.

    批注 分数指数幂是根式的一种表示形式,分数指数不能随意约分,如约分后为,而在实数范围内是无意义的.

    批注 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.

     

     

     

    基 础 自 测

    1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)

    (1)意实数的奇次方根只有一个.(  )

    (2)只要根式有意义,都能化成分数指数幂的形式.(  )

    (3)分数指数幂可以理解为a相乘.(  )

    (4)0的任何指数幂都等于0.(  )

    2.下列各式正确的是(  )

    A=-4       Bm

    C3            Da01

    3.已知a>0,则a·(  )

    A   B    Ca2   Da3

    4.150的值是________

     

     

     

    题型探究·课堂解透——强化创新性

    题型 1 根式的化简与求值

    1 (1)[2022·河北石家庄高一期中]mn,则mn的值为(  )

    A.-7        B.-1

    C1          D7

    (2)设-3<x<3,则的值是________

     

    方法归纳

    根式化简或求值的策略

     

     

     

    巩固训练1 (1)下列各式正确的是(  )

    A()3a       B()4=-7

    C()5|a|      Da

    (2)化简____________

     

     

     

    题型 2 根式与分数指数幂的互化

    2 用分数指数幂表示下列各式(a>0b>0)

    (1) a2(2)

    (3) ·(4)()2·.

     

     

     

     

     

     

    方法归纳

    根式与分数指数幂互化的2个策略

     

     

    巩固训练2 下列根式与分数指数幂的互化正确的是(  )

    A.-   

    (x>0)

    C   

    (x<0)

    题型 3 分数指数幂的运算

    3 计算下列各式.

    (1)2

    0

    .

     

     

     

     

     

    方法归纳

    指数幂运算的3个策略

     

     

    巩固训练3 (1)化简) (a>0b>0)结果为(  )

    Aa    Bb

    C    D

    (2)计算:________

     

     

    题型 4 指数幂运算中的条件求值

    4 已知4,求下列各式的值:

    (1)aa1(2)a2a2.

     

     

     

    方法归纳

    指数幂条件求值问题的一般步骤

     

     

     

    巩固训练4 (1)已知10m210n3,求的值.

    (2)已知3,求的值.

     

     

     

     

     

    41.1 n次方根与分数指数幂

    41.2 无理数指数幂及其运算性质

    新知初探·课前预习

    [教材要点]

     

    要点一

    1xna 

    2[0,+)

    3.根指数 被开方数

    要点二

    (1)0 (2)a (4)a -a

    要点三

     

    要点四

    1(1)ars (2)ars (3)arbr

     

    [基础自测]

    1答案:(1) (2) (3)× (4)×

    2解析:根据根式的性质可知,4|m|3

    由指数性质可知当a01成立时,需a0,则C正确,ABD错.

    答案:C

    3解析:因为a>0,所以a·.

    答案:B

     

    4解析:原式=1514.

    答案:4

    题型探究·课堂解透

    1 解析:(1)mn3)4|π34π1

    故选C.

    (2)原式=|x1||x3|

    3<x<3

    当-3<x<1时,原式=-(x1)(x3)=-2x2

    1x<3时,原式=(x1)(x3)=-4.

    原式=.

    答案:(1)C (2)

    巩固训练1 解析:(1)()3a()47()5a|a|.故选A.

    (2)原式=|x3|(x3)

    x3时,原式=6

    x<3时,原式=-2x.

    答案:(1)A (2)6或-2x

    2 解析:(1)原式=.

    (2)原式=.

    (3)原式=.

    (4)原式=··.

    巩固训练2 解析:A:-,故选项A错误;

    B(x>0),故选项B正确;

    C不能化简为,故选项C错误;

    D:因为x<0,所以,故选项D错误.

    答案:B

    3 解析:(1)原式=2×36.

    (2)原式=3×11003100.

    (3)原式=.

    巩固训练3 解析:(1)指数幂的运算法则运算,即可求解.

    根据实数指数幂的运算公式,可得:

    ))a.

    81π32731π.

    答案:(1)A (2)31π

    4 解析:(1)4两边平方,

    aa1216,故aa114.

    (2)aa114两边平方,得a2a22196,故a2a2194.

    巩固训练4 解析:(1)因为10m210n3

    所以.

    3

    aa1)227

    a2a2(aa1)2247

    原式=.

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