人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数学案

4．1　指数

4．1.1　n次方根与分数指数幂

4．1.2　无理数指数幂及其运算性质

课程标准

(1)理解根式的概念及分数指数幂的含义．(2)会进行根式与分数指数幂的互化．

(3)掌握根式的运算性质和指数幂的运算性质．

新知初探·课前预习——突出基础性

教 材 要 点

要点一　根式及相关概念

1．a的n次方根定义

一般地，如果________，那么x叫做a的n次方根❶，其中n＞1，且n∈N*.

2．a的n次方根的表示

3.根式：式子叫做根式，n叫做________，a叫做________．

要点二　根式的性质

(1)0的任何次方根都是0，记作＝________．

(2)()n＝________(n∈N*，且n＞1).

(3)＝a(n为大于1的奇数).

(4)＝|a|＝ (n为大于1的偶数).

要点三　分数指数幂的意义

要点四　有理数指数幂与无理数指数幂

1. 有理数指数幂的运算性质❺

(1)aras＝________(a>0，r，s∈Q)；

(2)(ar)s＝________(a>0，r，s∈Q)；

(3)(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q).

2．无理数指数幂

一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．

助 学 批 注

批注❶　求一个数a的n次方根，就是求一个数的n次方等于a.

批注❷　正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数．

批注❸　正数的偶次方根有两个且互为相反数，负数没有偶次方根．

批注❹　分数指数幂是根式的一种表示形式，分数指数不能随意约分，如约分后为 ＝，而在实数范围内是无意义的．

批注❺　有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

基 础 自 测

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)任意实数的奇次方根只有一个．(　　)

(2)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式．(　　)

(3)分数指数幂可以理解为个a相乘．(　　)

(4)0的任何指数幂都等于0.(　　)

2．下列各式正确的是(　　)

A．＝－4       B．＝m

C．＝3            D．a0＝1

3．已知a>0，则a·＝(　　)

A．　　　B．    C．a2　　　D．a3

4.－150的值是________．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型 1　根式的化简与求值

例1　(1)[2022·河北石家庄高一期中]若m＝，n＝，则m＋n的值为(　　)

A．－7        B．－1

C．1          D．7

(2)设－3<x<3，则的值是________．

方法归纳

根式化简或求值的策略

巩固训练1　(1)下列各式正确的是(　　)

A．()3＝a       B．()4＝－7

C．()5＝|a|      D．＝a

(2)化简得____________．

题型 2　根式与分数指数幂的互化

例2　用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)．

(1) a2；(2) ；

(3) ·；(4)()2·.

方法归纳

根式与分数指数幂互化的2个策略

巩固训练2　下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　)

A．－＝   

＝(x>0)

C．＝   

＝(x<0)

题型 3　分数指数幂的运算

例3　计算下列各式．

(1)2；

－3π0＋；

.

方法归纳

指数幂运算的3个策略

巩固训练3　(1)化简) (a>0，b>0)结果为(　　)

A．a    B．b

C．    D．

(2)计算：＝________．

题型 4　指数幂运算中的条件求值

例4　已知＝4，求下列各式的值：

(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.

方法归纳

指数幂条件求值问题的一般步骤

巩固训练4　(1)已知10m＝2，10n＝3，求的值．

(2)已知＝3，求的值．

4．1.1　n次方根与分数指数幂

4．1.2　无理数指数幂及其运算性质

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一

1．xn＝a　

2．[0，＋∞)

3．根指数　被开方数

要点二

(1)0　(2)a　(4)a　－a

要点三

要点四

1．(1)ar＋s　(2)ars　(3)arbr

[基础自测]

1．答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×

2．解析：根据根式的性质可知，＝4，＝|m|，＝3，

由指数性质可知当a0＝1成立时，需a≠0，则C正确，A、B、D错．

答案：C

3．解析：因为a>0，所以a·＝＝.

答案：B

4．解析：原式＝－1＝5－1＝4.

答案：4

题型探究·课堂解透

例1　解析：(1)m＋n＝(π－3)＋|π－4|＝π－3＋4－π＝1，

故选C.

(2)原式＝＝|x－1|－|x＋3|，

∵－3<x<3，

∴当－3<x<1时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；

当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.

∴原式＝.

答案：(1)C　(2)

巩固训练1　解析：(1)()3＝a，()4＝7，()5＝a，＝|a|.故选A.

(2)原式＝|x＋3|－(x－3)，

当x≥－3时，原式＝6；

当x<－3时，原式＝－2x.

答案：(1)A　(2)6或－2x

例2　解析：(1)原式＝＝＝.

(2)原式＝＝.

(3)原式＝＝.

(4)原式＝＝·＝·.

巩固训练2　解析：对A：－＝，故选项A错误；

对B：＝＝(x>0)，故选项B正确；

对C：＝不能化简为，故选项C错误；

对D：因为x<0，所以＝＝＝，故选项D错误．

答案：B

例3　解析：(1)原式＝＝＝2×3＝6.

(2)原式＝－3×1＋＝＋100＋－3＋＝100.

(3)原式＝＝＝.

巩固训练3　解析：(1)指数幂的运算法则运算，即可求解．

根据实数指数幂的运算公式，可得：

)＝)＝＝a.

＝8－1＋π－3＋27＝31＋π.

答案：(1)A　(2)31＋π

例4　解析：(1)将＝4两边平方，

得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.

(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.

巩固训练4　解析：(1)因为10m＝2，10n＝3，

所以＝＝＝＝.

＝3，

∴a＋a－1＝)2－2＝7，

∴a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝47，

∴原式＝＝＝.