人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数导学案，共7页。


授课提示：对应学生用书第50页
[教材提炼]
知识点一 n次方根及根式
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
如果x2＝4，x3＝8中的x可以是多少？
知识梳理 (1)n次方根
,
(2)根式
①定义：式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
②性质：(n＞1，且n∈N＋)
(ⅰ)(eq \r(n,a))n＝a.
(ⅱ)eq \r(n,an)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，n为奇数，,|a|，n为偶数.))
知识点二 指数幂及运算
知识梳理 (1)分数指数幂的意义
①规定正数的正分数指数幂的意义是：
aeq \f(m,n)＝eq \r(n,am)(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)．
②规定正数的负分数指数幂的意义是：
a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,a\f(m,n))＝eq \f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)．
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s；
②(ar)s＝ars；
③(ab)r＝arbr.
(3)无理数指数幂
无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．
[自主检测]
1．已知x5＝6，则x等于( )
A.eq \r(6) B.eq \r(5,6)
C．－eq \r(5,6) D．±eq \r(5,6)
答案：B
2．2eq \f(3,4)化成根式形式为( )
A.eq \r(3,24) B.eq \r(4,23)
C.eq \r(4,32) D.eq \r(2,43)
答案：B
3．(0.027)－eq \f(2,3)的值是( )
A.eq \f(100,9) B.eq \f(9,100) C.eq \f(10,3) D.eq \f(3,10)
解析：(0.027)－eq \f(2,3)＝[(0.3)3]－eq \f(2,3)＝0.33×(－eq \f(2,3))＝0.3－2＝eq \f(1,0.32)＝eq \f(1,0.09)＝eq \f(100,9).
答案：A
4．当8解析：由8得 eq \r(x－82)＋eq \r(x－102)＝|x－8|＋|x－10|
＝(x－8)＋(10－x)＝2.
答案：2
授课提示：对应学生用书第51页
探究一 利用根式的性质化简求值
[例1] (1)化简a＋eq \r(4,1－a4)的结果是( )
A．1 B．2a－1
C．1或2a－1 D．0
(2)当a、b∈R时，下列各式总能成立的是( )
A．(eq \r(6,a)－eq \r(6,b))6＝a－b B.eq \r(8,a2＋b28)＝a2＋b2
C.eq \r(4,a4)－eq \r(4,b4)＝a－b D.eq \r(10,a＋b10)＝a＋b
(3)设－3＜x＜3，求eq \r(x2－2x＋1)－eq \r(x2＋6x＋9)的值．
[解析] (1)a＋eq \r(4,1－a4)＝a＋|1－a|＝1或2a－1，故选C.
(2)取a＝0，b＝1，A不成立．
取a＝0，b＝－1，C、D不成立．
∵a2＋b2≥0，∴B正确，故选B.
(3)原式＝eq \r(x－12)－eq \r(x＋32)
＝|x－1|－|x＋3|.
∵－3＜x＜3，
∴当－3＜x＜1时，
原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
当1≤x＜3时，
原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4，
∴原式＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x－2，－3＜x＜1，,－4，1≤x＜3.))
[答案] (1)C (2)B (3)见解析
(1)开偶次方根时，往往涉及绝对值问题．
(2)在含有多个绝对值的式子中，常利用零点分段法，结合数轴完成，去绝对值，如图所示：
从而把数轴分成(－∞，－3)，[－3,1)，[1，＋∞)三段来研究．由于－3＜x＜3，因此只研究(－3,1)及[1,3)两个区间便可．
若nA．2m B．2n
C．－2m D．－2n
解析：eq \r(m2＋2mn＋n2)－eq \r(m2－2mn＋n2)
＝eq \r(m＋n2)－eq \r(m－n2)
＝|m＋n|－|m－n|.
∵n0，
∴原式＝－(m＋n)－(m－n)＝－m－n－m＋n＝－2m.
答案：C
第四章 指数函数与对数函数 数学 必修 第一册 探究二 根式与分数幂的转化
[例2] 用分数指数幂形式表示下列各式(式中a>0)：
(1)a2·eq \r(a)；(2)a3·eq \r(3,a2)；(3) eq \r(a\r(a))；(4)eq \r(\f(y2,x) \r(\f(x3,y) \r(3,\f(y6,x3)))).
[解析] (1)a2·eq \r(a)＝a2·aeq \f(1,2)＝a2＋eq \f(1,2)＝aeq \f(5,2).
(2)a3·eq \r(3,a2)＝a3·aeq \f(2,3)＝a3＋eq \f(2,3)＝aeq \f(11,3).
(3) eq \r(a\r(a))＝(a·aeq \f(1,2))eq \f(1,2)＝(aeq \f(3,2))eq \f(1,2)＝aeq \f(3,4).
(4)eq \r(\f(y2,x) \r(\f(x3,y) \r(3,\f(y6,x3))))＝eq \r(\f(y2,x) \r(\f(x3,y)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y6,x3)))\f(1,3)))＝eq \r(\f(y2,x) \r(\f(x3,y)·\f(y2,x)))＝eq \r(\f(y2,x)x2·y\f(1,2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y2,x)·xy\f(1,2)))eq \f(1,2)＝yeq \f(5,4)＝yeq \r(4,y).
(1)当所求根式含有多重根号时，要按照由里向外用分数指数幂写出，然后借助运算性质化简．
(2)化简过程中，要明确字母的范围，以防错解．
1．2－eq \f(2,3)等于( )
A.eq \r(3,22) B.eq \r(2,23)
C．－eq \r(3,22) D.eq \f(1,\r(3,22))
答案：D
2．计算：2eq \r(3)×eq \r(3,1.5)×eq \r(6,12)＝________.
解析：2eq \r(3)×eq \r(3,1.5)×eq \r(6,12)＝2×3eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \f(1,3)×(3×22)eq \f(1,6)
＝21－eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)×3eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)＝2×3＝6.
答案：6
探究三 指数幂的运算
[例3] 计算：(1)[125eq \f(2,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))－eq \f(1,2)＋343eq \f(1,3)]eq \f(1,2)；
(2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)0.027\f(2,3)＋50×0.001 6\f(3,4)))－eq \f(1,2).
[解析] (1)原式＝[(53)eq \f(2,3)＋(2－4)－eq \f(1,2)＋(73)eq \f(1,3)]eq \f(1,2)＝(52＋22＋7)eq \f(1,2)＝36eq \f(1,2)＝6.
(2)原式＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,1 000)))\f(2,3)＋\f(1,4)×50×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,10 000)))\f(3,4)))－eq \f(1,2)＝
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,10)))3×\f(2,3)＋\f(1,4)×50×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,10)))4×\f(3,4)))－eq \f(1,2)＝
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,10)))2＋\f(1,4)×50×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,10)))3))－eq \f(1,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,400)＋\f(1,10)))－eq \f(1,2)＝
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,400)＋\f(40,400)))－eq \f(1,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(49,400)))－eq \f(1,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,20)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,20)))－1＝eq \f(20,7).
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
化简求值：
(1)0.000 1－eq \f(1,4)＋27eq \f(2,3)－(eq \f(49,64))－eq \f(1,2)＋(eq \f(1,9))－1.5；
(2)(0.064)－eq \f(1,3)－(－eq \f(7,8))0＋(eq \f(81,16))eq \f(1,4)＋|－0.01|eq \f(1,2).
解析：(1)原式＝(0.14)－eq \f(1,4)＋(33)eq \f(2,3)－[(eq \f(7,8))2]－eq \f(1,2)＋[(eq \f(1,3))2]－eq \f(3,2)＝0.1－1＋32－(eq \f(7,8))－1＋(eq \f(1,3))－3
＝10＋9－eq \f(8,7)＋27＝eq \f(314,7).
(2)原式＝(0.43)－eq \f(1,3)－1＋[(eq \f(3,2))4]eq \f(1,4)＋(0.12)eq \f(1,2)
＝0.4－1－1＋eq \f(3,2)＋0.1＝3.1.
授课提示：对应学生用书第52页
一、条件求值的整体代换策略
(教材探究：教材P110第8题拓展探究)
1．求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．
2．在进行整体代换时常用的一些公式：
(1)完全平方公式：(a－b)2＝a2－2ab＋b2，
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
(2)平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
(3)立方和公式：a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)．
(4)立方差公式：a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)．
(5)完全立方公式：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，
(a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3.
[典例] 1.已知aeq \f(1,2)＋a－eq \f(1,2)＝3，求a3＋a－3的值．
[解析] ∵a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2＋a－2－1)，
由aeq \f(1,2)＋a－eq \f(1,2)＝3得a＋a－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a\f(1,2)＋a－\f(1,2)))2－2＝7，
a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝72－2＝47，
∴a3＋a－3＝7×(47－1)＝322.
2．如果a＋a－1＝3，求aeq \f(1,2)＋a－eq \f(1,2)的值．
[解析] ∵(aeq \f(1,2)＋a－eq \f(1,2))2＝a＋a－1＋2＝5，
且aeq \f(1,2)＋a－eq \f(1,2)＞0，
∴aeq \f(1,2)＋a－eq \f(1,2)＝eq \r(5).
二、逆用指数幂运算性质巧变换——指数幂等式证明问题
常用指数幂的变换技巧
[典例] 设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，求证：eq \f(2,c)＝eq \f(2,a)＋eq \f(1,b).
[证明] 令3a＝4b＝6c＝t，则.
因为3×2＝6，所以，即eq \f(1,a)＋eq \f(1,2b)＝eq \f(1,c)，
所以eq \f(2,c)＝eq \f(2,a)＋eq \f(1,b).
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解方根及根式的概念．
数学抽象
2.理解有理数指数幂的含义，通过具体实例，了解实数指数幂的意义．
3.掌握幂的运算.
定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N＋.
个
数
n是奇数
a＞0
x＞0
x仅有一个值，记为eq \r(n,a)
a＜0
x＜0
n是偶数
a＞0
x有两个值，且互为相反数，记为±eq \r(n,a)
a＜0
x不存在
已知幂
目标指数
变换技巧
ak
差：k－1
除：eq \f(ak,a)＝ak－1
ak
和：k＋2
乘：ak·a2＝ak＋2
ak
倒数：eq \f(1,k)
换元、乘方：令ak＝t，
则
ak
积：3k
乘方：(ak)3＝a3k