高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）优秀课后测评

函数的应用（一）

一、图像判断类问题

例：

（1）下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是（    ）

①这几年生活水平逐年得到提高；

②生活费收入指数增长最快的一年是2014年；

③生活价格指数上涨速度最快的一年是2015年；

④虽然2016年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．

A．1 B．2

C．3 D．4

（2）下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为（    ）

①我离开家不久，发现把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；

②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；

③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.

其中y表示离开家的距离，t表示所用时间.

A．④①② B．③①② C．②①④ D．③②①

（3）（多选题）某工厂八年来某种产品总产量（即前年年产量之和）与时间（年）的函数关系如图，下列几种说法中正确的是（ ）

A．前三年中，总产量的增长速度越来越慢

B．前三年中，年产量的增长速度越来越慢

C．第三年后，这种产品停止生产

D．第三年后，年产量保持不变

二、一次、二次函数模型

例：

（4）下表是弹簧伸长长度（单位：）与拉力（单位：）的相关数据：

描点画出弹簧伸长长度随拉力变化的图像，并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式．

（5）小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发匀速前行，且途中休息一段时间后继续以原速前行．家到公园的距离为2000m，如图是小明和爸爸所走的路程s（m）与步行时间t（min）的函数图象．

① 直接写出BC段图象所对应的函数关系式（不用写出t的取值范围）_______．

② 小明出发多长时间与爸爸第三次相遇？

③ 在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早18分钟到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少多少分钟？

（6）已知某商品的进货成本为10（元/件），经过长时间调研，发现售价x（元）与月销售量y（件）满足函数关系式．为了获得最大利润，商品售价应为（    ）

A．80元 B．60元 C．50元 D．40元

（7）（多选题）某杂志以每册元的价格发行时，发行量为万册.经过调查，若单册价格每提高元，则发行量就减少册.要该杂志销售收入不少于万元，每册杂志可以定价为（    ）

A．元 B．元

C．元 D．元

（8）如图是边长为100米的正方形场地，其中米，米，区域被占用，现在五边形区域内规划一个矩形区域，使点P，M，N分别在线段上．

① 设米，米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；

② 求矩形面积的最大值，并确定点P的位置．

（9）如图，有一块半径为2的半圆形纸片，计划剪裁成等腰梯形的形状，它的下底 是圆的直径，上底的端点在圆周上，设，梯形的周长为.

① 求出关于的函数的解析式；

② 求的最大值，并指出相应的值．

三、幂函数模型

例：

（10）美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图像如图所示.

① 试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式；

② 现在公司准备投入0千万元资金同时生产，两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.

（11）在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比．

① 写出函数解析式（可带参数）；

② 假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量R的表达式；

四、分段函数模型

例：

（12）某公司生产某种电子产品的固定成本为2万元，每生产一台该产品需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）与月产量x（单位：台）满足函数：

① 将利润（单位：元）表示成月产量x的函数

② 月产量x为何值时，公司所获利润最大，最大利润是多少？（利润+总成本=总收入）

（13）新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率().A公司生产万件防护服还需投入成本(万元).

① 将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数；(政府补贴x万元计入公司收入)

② 在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？

③ 对任意的(万元)，当复工率达到多少时，A公司才能不产生亏损？

（精确到0.01）.

（14）李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择：

方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元.

方案二：不收管理费，每度0.58元.

① 求方案一收费元与用电量（度）间的函数关系

② 李刚家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？

（15）一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余  人可享受半票优惠.”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价优惠.”这两家旅行社的原价是一样的.试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠.

（16）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价(单位：元/)与上市时间(单位：天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本(单位：元/)与上市时间(单位：天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系.

① 写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式，图2表示的种植成本与时间的函数关系式；　

② 若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？

参考答案

（1）C

（2）A

（3）AC

（4）图见解析，（F≥0）.

（5）(1) s=40t–400 (2) 37.5min (3) 3min

（6）D

（7）BC

（8）（1），定义域为；（2）8000平方米；点P在点D的位置.

（9）（1），；（2）时，的最大值是10.

（10）（1）生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式分别为， ，（2）9千万元

（11）（1）；（2）.

（12）（1）；

（2）当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000.

（13）（1），；（2）；（3）0.65.

（14）（1）；（2）25度到50度范围内（不含25、50度）时，选择方案一比方案二更好.

（15）当家庭中只有一个孩子时，两家旅行社收费相等；当家庭中有两个以上孩子时，甲旅行社更优惠．

（16）（1），，；（2）从2月1日开始的第天上市的西红柿的纯收益最大.