人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）复习练习题

3.4　函数的应用(一)

选题明细表

基础巩固

1.已知一个等腰三角形的周长为20,底边长y关于腰长x的函数解析式是(　D　)

A.y=

B.y=20-2x

C.y=(5<x<10)

D.y=20-2x(5<x<10)

解析:因为等腰三角形的周长是20,底边长为y,腰长为x.

所以2x+y=20,所以y=20-2x,

又因为0<2x<20,且2x>20-2x,

所以5<x<10,所以y=20-2x(5<x<10).

故选D.

2.在自然界中,某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如表所示:

下面的函数关系式中,能表达这种关系的是(　A　)

A.y=2x-1

B.y=x2-1

C.y=2x+1

D.y=1.5x2-2.5x+2

解析:将各数据代入y=2x-1总成立.故选A.

3.(多选题)在某种金属材料的耐高温实验中,温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示.

则下列说法正确的是(　BD　)

A.前5 min温度增加的速度越来越快

B.前5 min温度增加的速度越来越慢

C.5 min以后温度保持匀速增加

D.5 min以后温度保持不变

解析:因为温度y关于时间t的图象是先凸后平,即前5 min每当t增加一个单位增量,则y相应的增量越来越小,而5 min后是y关于t的增量保持为0,则B,D正确.故选BD.

4.某商场销售某商品,已知该商品的进价是每件3元,且销售单价与日均销售量的关系如表所示:

请根据以上数据分析,要使该商品的日均销售利润最大,则此商品的定价(单位:元/件)应为(　C　)

A.4     B.5.5   C.8.5     D.10

解析:由题意可设定价为x元/件,利润为y元,则y=(x-3)[400-

40(x-4)]=40(-x2+17x-42),故当x=8.5时,y有最大值.故选C.

5.生产某机器的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系式是y=x2-75x,若每台机器售价为25万元,则该厂获得最大利润时生产的机器为　　　　台. 

解析:设生产x台,获得利润f(x)万元,则f(x)=25x-y=-x2+100x=

-(x-50)2+2 500,故当x=50时,获得利润最大.

答案:50

6.某单位计划用围墙围出一块矩形场地,现有可筑墙材料的总长度为l,如果要使围墙围出的场地面积最大,则矩形的面积S关于矩形长x的函数关系式为　　　　　　　,面积S的最大值为　　　　. 

解析:因为矩形的周长为l,

所以矩形的宽为(l-2x).

由解得0<x<.

又因为S=(l-2x)x

=-x2+x

=-(x-) 2+(0<x<),

所以当x=时,S的最大值为.

答案:S=-x2+x(0<x<)　

能力提升

7.在一次为期15天的大型运动会期间,每天主办方要安排专用大

巴车接送运动员到各比赛场馆参赛,每辆大巴车可乘坐40人,

已知第t日参加比赛的运动员人数M与t的关系是M(t)=

为了保证比赛期间运动员都能按时参赛,主办方应至少准备大巴车的数量是(　D　)

A.7 B.8 C.9 D.10

解析:当1≤t≤6时,函数为一次函数,单调递增,当t=6时大巴车数量取得最大值,即=6.当7≤t≤15时,函数为开口向下的二次函数,其对称轴为直线t=,由于t为整数,故当t=10时取得最大值,即≈10.故选D.

8.某公司一年购买某种货物600 t,每次都购买x t,运费为3万元/次,一年的总存储费用为2x万元,若要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次需购买多少吨(　C　)

A.60   B.120  C.30   D.50

解析:某公司一年购买某种货物600 t,每次都购买x t,则需要购买次,运费为3万元/次,一年的总存储费用为2x万元,一年的总运费与总存储费用之和为(·3+2x)万元.

因为·3+2x≥2=120,当且仅当=2x,即x=30 t时,等号成立.

所以每次购买30 t时,一年的总运费与总存储费用之和最小.

故选C.

9.李某经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店,其月利润(单位:元)分别为L甲=-5x2+900x-16 000,L乙=300x-2 000(其中x为销售辆数),若某月两连锁店共销售了110辆,则能获得的最大利润为　　　元.

解析:依题意,可设甲这家销售了x辆电动轿车,则乙这家销售了(110-x)辆电动轿车,

总利润

S=-5x2+900x-16 000+300(110-x)-2 000

=-5x2+600x+15 000(0≤x≤110),

所以当x=60时,S取得最大值,且Smax=33 000.

答案:33 000

10.某校高一(1)班共有学生50人,据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元.经测算和市场调查,若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水,则年总费用由两部分组成:一部分是购买纯净水的费用,另一部分是其他费用780元,其中纯净水的销售价x(单位:元/桶)与年购买总量y(单位:桶)之间满足如图所示的关系.

(1)求y与x的函数关系式;

(2)当a为120时,若该班每年需要纯净水380桶,请你根据提供的信息分析一下,该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料相比,哪一种花钱更少?

解:(1)由题意可设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),

把(4,400),(5,320)代入得

解得

所以y=-80x+720(0<x≤9).

(2)当a=120时,若购买饮料,则总费用为120×50=6 000(元);

若集体改饮桶装纯净水,设所用的费用为ω元,由380=-80x+720,得x=4.25.

所以ω=380×4.25+780=2 395(元)<6 000(元).

所以该班学生集体改饮桶装纯净水更省钱.

11.某旅行社组团去风景区旅游,若旅行团人数在30人或30人以下,每人需交费用为900元;若旅行团人数多于30人,则给予优惠:每多1人,人均费用减少10元,直到达到规定人数75人为止.旅行社需支付各种费用共计15 000元.

(1)写出每人需交费用y关于人数x的函数;

(2)旅行团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?

解:(1)当0<x≤30时,y=900;

当30<x≤75,y=900-10(x-30)=1 200-10x;即y=

(2)设旅行社所获利润为S元,

则当0<x≤30时,S=900x-15 000;

当30<x≤75,S=x(1 200-10x)-15 000=-10x2+1 200x-15 000;

即S=

因为当0<x≤30时,S=900x-15 000为增函数,所以x=30时,

Smax=12 000;

当30<x≤75时,S=-10x2+1 200x-15 000=-10(x-60)2+21 000,

即x=60时,Smax=21 000>12 000.

所以当旅行团人数为60时,旅行社可获得最大利润.

应用创新

12.某工厂生产某产品x t所需费用为P元,而卖出x t的价格为每吨Q元,已知P=1 000+5x+x2,Q=a+,若生产出的产品能全部卖出,且当产量为150 t时利润最大,此时每吨的价格为40元,则有(　A　)

A.a=45,b=-30

B.a=30,b=-45

C.a=-30,b=45

D.a=-45,b=-30

解析:设出售x t时,利润是y元,

则y=(a+)x-(1 000+5x+)=x2+(a-5)x-1 000,

依题意可知,当x=150时,y有最大值,

则a+=40,当b<0或b>10时,<0,

故=150 ,所以

解得故选A.