高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示导学案，文件包含312《函数的表示法一》导学案教师版docx、312《函数的表示法一》导学案学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共9页， 欢迎下载使用。

一．学习目标
1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用（重点）
2.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用（重点）
二．自主预习（基础部分和要点部分：预习内容和预习题）
学生阅读课本，预习函数的表示法
三．课堂导学
(1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米,设计速度目标值380千米/时,若京沪高速铁路时速按300千米/时计算,火车行驶x小时后,路程为y千米,则y是x的函数,可以用y＝300x来表示,其中y＝300x叫作该函数的解析式.
(2)如图是我国人口出生率变化曲线:
(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表:
问题 根据初中所学知识,说出上述3个实例分别是用什么方法表示函数的?
知识点 函数的表示方法
提醒 函数三种表示法的优缺点比较
1.已知函数y＝f(x)的对应关系由下表给出,则f(3)＝( )
A.1 B.2 C.3 D.不存在
解析:C 因为当2＜x≤4时,f(x)＝3,所以f(3)＝3.
2.已知y与x成反比,且当x＝2时,y＝1,则y关于x的函数关系式为( )
A.y＝1x B.y＝-x C.y＝2x D.y＝x2
解析:C 设y＝kx,由题意得1＝k2,解得k＝2,所以y＝2x.
3.函数y＝f(x)的图象如图,则f(x)的定义域为 .
答案:(-∞,0)∪(0,＋∞)
四．典例分析、举一反三
题型一 函数的表示法
【例1】某问答游戏的规则是:共答5道选择题,基础分为50分,每答错一道题扣10分,答对不扣分.试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系y＝f(x).
解 (1)用列表法可将函数y＝f(x)表示为
(2)用图象法可将函数y＝f(x)表示为
(3)用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝50-10x,x∈{0,1,2,3,4,5}.
练1-1. （1）如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象.由图象可知,下列说法中错误的是( )
A.这天15时的温度最高
B.这天3时的温度最低
C.这天的最高温度与最低温度相差13 ℃
D.这天21时的温度是30 ℃
解析:C 这天的最高温度与最低温度相差为36-22＝14(℃),故C错误.
（2）已知函数f(x)＝-x-1,x∈{1,2,3,4},试分别用图象法和列表法表示函数y＝f(x).
解:用图象法表示函数y＝f(x),如图所示.
用列表法表示函数y＝f(x),如表所示.
题型二 函数的图象
【例2】作出下列函数的图象并求出其值域:
(1)y＝2x＋1,x∈[0,2];(2)y＝2x,x∈[2,＋∞).
解 (1)当x∈[0,2]时,图象是直线y＝2x＋1的一部分,如图①,观察图象可知,其值域为[1,5].
(2)当x∈[2,＋∞)时,图象是反比例函数y＝2x的一部分,如图②,观察图象可知其值域为(0,1].
练2-1. 已知函数f(x)＝x2-2x(-1≤x≤2).
(1)画出f(x)图象的简图; (2)根据图象写出f(x)的值域.
解:(1)f(x)图象的简图如图所示.
(2)观察f(x)的图象可知,f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[-1,3],即f(x)的值域是[-1,3].
题型三 函数解析式的求法
角度一:待定系数法求函数解析式
【例3】 已知函数f(x)是二次函数,且满足f(0)＝1,f(x＋1)-f(x)＝2x,求f(x)的解析式.
解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
∵f(0)＝1,∴c＝1.
又∵f(x＋1)-f(x)＝2x,∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1-(ax2＋bx＋1)＝2x,
整理,得2ax＋(a＋b)＝2x.
由恒等式的性质知,上式中对应项的系数相等,∴2a=2,a＋b=0,解得a=1,b＝-1,∴f(x)＝x2-x＋1.
角度二:换元法(配凑法)求函数解析式
【例4】 已知f1+xx＝1+x2x2＋1x,求f(x)的解析式.
解 法一(换元法):令t＝1+xx＝1x＋1,则t≠1,x＝1t-1.
由f1+xx＝1+x2x2＋1x得,f(t)＝1+1t-121t-12＋11t-1＝(t-1)2＋1＋(t-1)＝t2-t＋1.
所以所求函数的解析式为f(x)＝x2-x＋1(x≠1).
法二(配凑法):因为f1+xx＝1+x2x2＋1x＝1+xx2-1+x-xx＝1+xx2-1+xx＋1,所以f(x)＝x2-x＋1.
又因为1+xx＝1x＋1≠1,
所以所求函数的解析式为f(x)＝x2-x＋1(x≠1).
角度三:方程组法求函数解析式
【例5】 已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(-x)＝1＋2x,求f(x)的解析式.
解 在f(x)-2f(-x)＝1＋2x中以-x代换x,可得f(-x)-2f(x)＝1-2x,
则f(x)-2f(-x)=1+2x,f(-x)-2f(x)=1-2x,消去f(-x),可得f(x)＝23x-1.
练3-1（1）已知f(x2＋2)＝x4＋4x2,则f(x)的解析式为 .
解析:因为f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2-4,令t＝x2＋2(t≥2),则f(t)＝t2-4(t≥2),所以f(x)＝x2-4(x≥2).
答案:f(x)＝x2-4(x≥2)
（2）已知函数f(x)满足f(x)＋2f1x＝x,则函数f(x)的解析式为 .
解析:在已知等式中,将x换成1x,得f1x＋2f(x)＝1x,与已知方程联立,得f(x)+2f1x＝x,f1x+2f(x)＝1x,消去f1x,得f(x)＝-x3＋23x.
答案:f(x)＝-x3＋23x
（3）已知f(x)是一次函数,且f(f(x))＝9x＋4,求f(x)的解析式.
解:设f(x)＝kx＋b(k≠0).则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4.
所以k2=9,kb＋b=4.解得k=3,b=1或k＝-3,b＝-2.所以f(x)＝3x＋1或f(x)＝-3x-2.
五、课堂小结（学生自行总结）
六、当堂检测
1.一个面积为100 cm2的等腰梯形,上底长为x cm,下底长为上底长的3倍.设它的高为y cm,则y关于x的函数解析式为( )
A.y＝50x(x＞0) B.y＝100x(x＞0) C.y＝50x(x＞0) D.y＝100x(x＞0)
解析:C 依题意,得100＝x+3x2·y,即y＝50x.又x＞0,所以y＝50x(x＞0).故选C.
2.已知函数y＝f(x)的对应关系如下表,函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则f(g(2))的值为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
解析:B 由函数y＝g(x)的图象知,g(2)＝1,则f(g(2))＝f(1)＝2.
3.已知函数f(x＋1)＝3x＋2,则f(x)的解析式是( )
A.f(x)＝3x-1 B.f(x)＝3x＋1 C.f(x)＝3x＋2 D.f(x)＝3x＋4
解析:A 令x＋1＝t,则x＝t-1,∴f(t)＝3(t-1)＋2＝3t-1.∴f(x)＝3x-1.
4.已知二次函数f(x)满足f(0)＝1,f(1)＝2,f(2)＝5,求f(x)的解析式.
解:设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0),
所以f(0)＝c=1,f(1)＝a＋b＋c=2,f(2)=4a+2b＋c=5,解得a=1,b=0,c=1,所以f(x)＝x2＋1.
七．课后作业
八、问题日清（学生填写，老师辅导解答）
1. 2.
学生签字 老师签字污染源距离
50
100
200
300
500
氰化物浓度
0.678
0.398
0.121
0.05
0.01
x
1≤x＜2
2
2＜x≤4
f(x)
1
2
3
x
0
1
2
3
4
5
y
50
40
30
20
10
0
x
1
2
3
4
y
-2
-3
-4
-5