高中3.1 函数的概念及其表示学案

这是一份高中3.1 函数的概念及其表示学案，文件包含312《函数的表示法二分段函数》导学案教师版docx、312《函数的表示法二分段函数》导学案学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共7页， 欢迎下载使用。

一．学习目标
1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用（重点）
2.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用（重点）
二．自主预习（基础部分和要点部分：预习内容和预习题）
学生阅读课本，预习函数的表示法
三．课堂导学
某市公共汽车的票价按下列规则实施:(1)5千米以内(包含5千米),票价2元;(2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米的按5千米计算).已知两个相邻的公共汽车站之间相距1千米,沿途(包括起点站和终点站)共有11个汽车站.
问题 (1)从起点站出发,公共汽车的行程x(千米)与票价y(元)是函数关系吗?
(2)若是函数关系,则函数的表达式是什么?
知识点 分段函数
1.定义:像y＝-x,x<0,x,x≥0这样的函数称为分段函数.
2.本质:函数在定义域不同的范围内,有着不同的对应关系.
提醒 关于分段函数概念的再理解:①分段函数是一个函数,而不是几个函数;②分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集;各段函数的定义域的交集是空集.
1.(多选)下列给出的函数是分段函数的是( )
A.f(x)＝x2+1,1≤x≤5,2x,x<1 B.f(x)＝x+1,x≥4,x2,x≤4 C.f(x)＝2x+3,1≤x≤5,x2,x≤1 D.f(x)＝x2+3,x<0,x-1,x≥5
解析:AD B中的函数f(x)＝x+1,x≥4,x2,x≤4中,当x＝4时,有两个值与之对应,不满足函数的定义,不是分段函数;C中的函数f(x)＝2x+3,1≤x≤5,x2,x≤1中,当x＝1时,有两个值与之对应,不满足函数的定义,不是分段函数;只有A、D中的函数满足分段函数的定义,是分段函数.故选A、D.
2.若f(x)＝x2,x≥0,-x,x<0,则f(-2)＝( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:A ∵-2＜0,∴f(-2)＝-(-2)＝2.
3.函数y＝x2,x>0,-2,x<0的定义域为 ,值域为 .
答案:(-∞,0)∪(0,＋∞) {-2}∪(0,＋∞)
四．典例分析、举一反三
题型一 分段函数求值问题
【例1】已知函数f(x)＝x+2,x≤-1,2x,-1(1)求f(-3),ff32的值; (2)若f(a)＝2,求a的值.
解 (1)因为-3＜-1,所以f(-3)＝-3＋2＝-1.
因为-1＜32＜2,所以f32＝2×32＝3.又3＞2,所以ff32＝f(3)＝92.
(2)当a≤-1时,由f(a)＝2,得a＋2＝2,a＝0,舍去;
当-1＜a＜2时,由f(a)＝2,得2a＝2,a＝1;
当a≥2时,由f(a)＝2,得a22＝2,a＝2或a＝-2(舍去).
综上所述,a的值为1或2.
练1-1. （1）设函数f(x)＝1-x2,x≤1,x2＋x-2,x>1,则f1f(2)＝( )
A.1516 B.4
C.3 D.-3
解析:A 依题意知f(2)＝22＋2-2＝4,则f1f(2)＝f14＝1-142＝1516.故选A.
（2）已知f(x)＝x2+4x,x≤0,x2-4x,x>0,若f(a)≤-3,则实数a的取值范围为( )
A.[-3,-1]∪[1,3] B.(-3,-1]∪[1,3) C.[-2,-1]∪[1,2] D.[-3,3]
解析:A 当a≤0时,a2＋4a≤-3,a∈[-3,-1];当a＞0时,a2-4a≤-3,a∈[1,3].因此,a∈[-3,-1]∪[1,3].故选A.
题型二 分段函数的图象
【例2】 已知函数f(x)＝1＋｜x|-x2(-2＜x≤2).
(1)用分段函数的形式表示该函数;(2)画出该函数的图象; (3)写出该函数的值域.
解 (1)当0≤x≤2时,f(x)＝1＋x-x2＝1;
当-2＜x＜0时,f(x)＝1＋-x-x2＝1-x.∴f(x)＝1,0≤x≤2,1-x,-2(2)函数f(x)的图象如图所示.
(3)由(2)知,f(x)在(-2,2]上的值域为[1,3).
练2-1. 1.已知函数f(x)＝x+1,-1≤x≤0,x2+1,0解析:A 当x＝-1时,y＝0,即图象过点(-1,0),D错误;当x＝0时,y＝1,即图象过点(0,1),C错误;当x＝1时,y＝2,即图象过点(1,2),B错误.故选A.
2.已知函数f(x)的图象如图所示,求f(x)的解析式.
解:由图可知,图象由两条线段(其中一条不含右端点)组成,
当-1≤x＜0时,设f(x)＝ax＋b(a≠0),
将(-1,0),(0,1)代入解析式,
则-a＋b=0,b=1.∴a=1,b=1.∴f(x)＝x＋1.
当0≤x≤1时,设f(x)＝kx(k≠0),
将(1,-1)代入,则k＝-1.∴f(x)＝-x.即f(x)＝x+1,-1≤x<0,-x,0≤x≤1.
题型三 分段函数的应用问题
【例3】 某市有A,B两家羽毛球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同,A俱乐部每块场地每小时收费6元;B俱乐部按月计费,一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元,超过20小时的部分,每块场地每小时收费2元.某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动,其活动时间不少于12小时,也不超过30小时.
(1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12≤x≤30),在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30),试求f(x)与g(x)的解析式;
(2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算,为什么?
解 (1)由题意f(x)＝6x,x∈[12,30],g(x)＝90,x∈[12,20],2x+50,x∈(20,30].
(2)①12≤x≤20时,6x＝90,解得x＝15,
即当12≤x＜15时,f(x)＜g(x),
当x＝15时,f(x)＝g(x),
当15＜x≤20时,f(x)＞g(x).
②当20＜x≤30时,f(x)＞g(x),故当12≤x＜15时,选A俱乐部合算,
当x＝15时,两家俱乐部一样合算,
当15＜x≤30时,选B俱乐部合算.
练3-1某地区的电力紧缺,电力公司为鼓励市民节约用电,采取按月用电量分段收费办法,若某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图所示),根据图象解下列问题:
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)利用函数解析式,说明电力公司采取的收费标准.
解:(1)当0≤x≤100时,设函数解析式为y＝kx(k≠0).
将x＝100,y＝65代入,得k＝0.65,所以y＝0.65x.
当x＞100时,设函数解析式为y＝ax＋b(a≠0).
将x＝100,y＝65和x＝130,y＝89代入,得100a＋b=65,130a＋b=89,解得a=0.8,b＝-15.所以y＝0.8x-15.
综上可得y＝0.65x,0≤x≤100,0.8x-15,x>100.
(2)由(1)知电力公司采取的收费标准为用户月用电量不超过100度时,每度电0.65元;超过100度时,超出的部分,每度电0.80元.
五、课堂小结
1.分段函数的定义及特点 2.分段函数的实际应用
六、当堂检测
1.设函数f(x)＝x2+1,x≤1,2x,x>1,则f(f(3))＝( )
A.15 B.3 C.23 D.139
解析:D 由题意得f(3)＝23,从而f(f(3))＝f23＝232＋1＝139.
2.已知函数f(x)＝1-x,x≤0,ax,x>0.若f(-1)＝f(1),则实数a的值为( )
A.1 B.2 C.0 D.-1
解析:B 因为f(-1)＝f(1),所以1-(-1)＝a,所以a＝2.故选B.
3.函数f(x)＝x｜x｜的图象是( )
解析:C 当x＞0时,f(x)＝1;当x＜0时,f(x)＝-1.故选C.
4.已知f(x)＝x2,-1≤x≤1,1,x>1或x＜-1.
(1)作出f(x)的图象;
(2)求f(x)的定义域和值域.
解:(1)利用描点法,作出f(x)的图象.如图所示.
(2)由条件知,函数f(x)的定义域为R.由图象知,当-1≤x≤1时,f(x)＝x2的值域为[0,1];
当x＞1,或x＜-1时,f(x)＝1,
所以f(x)的值域为[0,1].
七．课后作业
八、问题日清（学生填写，老师辅导解答）
1. 2.
学生签字 老师签字