人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.1 函数的概念及其表示第2课时学案设计

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设x为任意实数，y是不超过x的最大整数，填写下表．
(1)y是关于x的函数吗？
(2)当－1≤x≤1时，y与x的关系如何表示？
知识点 分段函数
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值范围，有不同的对应关系，则称其为分段函数．
分段函数是一个函数还是几个函数？
[提示] 分段函数是一个函数，而不是几个函数．
分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)分段函数由几个函数构成．( )
(2)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤1，,－x＋3，x>1))是分段函数．( )
[答案] (1)× (2)√
2.下列给出的式子是分段函数的是( )
①f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋1，1≤x≤5，,2x，x<1.))
②f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x∈R，,x2，x≥2.))
③f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3，1≤x≤5，,x2，x≤1.))
④f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋3，x<0，,x－1，x≥5.))
A．①② B．①④
C．②④ D．③④
B [结合分段函数的定义可知①④是分段函数，②③中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选B.]
类型1 分段函数的求值问题
【例1】 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤－2，,x2＋2x，－2(1)求f(－5)，f(－eq \r(3))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))))的值；
(2)若f(a)＝3，求实数a的值．
[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－eq \r(3)∈(－2,2)，－eq \f(5,2)∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－eq \r(3))＝(－eq \r(3))2＋2×(－eq \r(3))＝3－2eq \r(3).
∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))＝－eq \f(5,2)＋1＝－eq \f(3,2)，
而－2<－eq \f(3,2)<2，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))2＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(9,4)－3＝－eq \f(3,4).
(2)当a≤－2时，a＋1＝3，
即a＝2>－2，不合题意，舍去．
当－2即a2＋2a－3＝0.
∴(a－1)(a＋3)＝0，
解得a＝1或a＝－3.
∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，
∴a＝1符合题意．
当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意．
综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
1．分段函数求函数值的方法
(1)确定要求值的自变量属于哪一区间段．
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
2．已知函数值求字母取值的步骤
(1)先对字母的取值范围分类讨论．
(2)然后代入不同的解析式中．
(3)通过解方程求出字母的值．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3，x≥10，,ffx＋5，x<10，))则f(7)＝________.
8 [∵函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3，x≥10，,ffx＋5，x<10，))
∴f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))＝f(11)＝8.]
类型2 分段函数的图象及应用
【例2】 (对接教材P68例题)已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)．
(1)分别用图象法和解析式表示φ(x)；
(2)求函数φ(x)的定义域，值域．
[解] (1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①.
① ②
由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②.
令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1.
结合图②，得出φ(x)的解析式为φ(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2，x≤－2，,x，－2(2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，
∴φ(x)的值域为(－∞，1]．
分段函数图象的画法
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．已知函数f(x)＝1＋eq \f(|x|－x,2)(－2(1)用分段函数的形式表示f(x)；
(2)画出f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域．
[解] (1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋eq \f(x－x,2)＝1，
当－2f(x)＝1＋eq \f(－x－x,2)＝1－x，
∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，0≤x≤2，,1－x，－2(2)函数f(x)的图象如图所示．
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
类型3 分段函数的实际应用
【例3】 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2eq \r(2) cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．
当直线l从B点向右移动时左边部分分别是什么图形，相应图形的面积能否直接套用公式求解．
[解] 过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.
因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2eq \r(2) cm，
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm，
又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.
(1)当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝eq \f(1,2)x2；
(2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y＝eq \f(x＋x－2,2)×2＝2x－2；
(3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝eq \f(1,2)(7＋3)×2－eq \f(1,2)(7－x)2
＝－eq \f(1,2)(x－7)2＋10.
综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x2，x∈[0，2]，,2x－2，x∈2，5]，,－\f(1,2)x－72＋10，x∈5，7].))
图象如图所示．
分段函数的建模
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；
(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
[解] 设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]．
由题意得函数的解析式如下：
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，0函数图象如图所示：
1．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋5，x≥4，,x－2，x<4，))则f(3)的值是( )
A．1 B．2
C．8 D．9
A [f(3)＝3－2＝1.]
2．函数f(x)＝|x－1|的图象是( )
A B
C D
B [f(x)＝|x－1|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1，x≥1，,1－x，x<1.))故选B.]
3．函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≥0，,－x，x＜0))的值域是________．
[答案] [0，＋∞)
4．函数y＝f(x)的图象如图所示，则其解析式为________．
f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，0≤x≤1，,2，1当1综上f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，0≤x≤1，,2，1回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如何求分段函数的定义域和值域？
[提示] 分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．
2．画分段函数的图象应注意哪些问题？
[提示] 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点，各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象．
3．分段函数求值的关键是什么？
[提示] 分段函数求值的关键是找准自变量所在的区间．
学 习 任 务
核 心 素 养
1．了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．(重点，难点)
2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．(重点、难点)
1．通过分段函数求值问题培养数学运算素养．
2．利用分段函数解决实际问题，培养数学建模素养.
x
6.35
5
π
－eq \f(1,2)
－1.5
－2
y
6