人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质学案，文件包含211《不等关系与比较大小》导学案教师版docx、211《不等关系与比较大小》导学案学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共7页， 欢迎下载使用。

一．学习目标
1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系（重点）
2.梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质（难点）
二．自主预习（基础部分和要点部分：预习内容和预习题）
学生阅读课本，预习不等关系与比较大小
三．课堂导学
(1)如图,某城市的楼房有高、有矮,有的高度相同;
(2)我们经常看到如图标志.
问题 它们的含义是什么?量与量之间的关系有哪些?
知识点一 不等关系与不等式
常见的文字语言与符号语言之间的转换
知识点二 实数大小比较的基本事实
提醒 (1)利用作差法比较大小,只需判断差的符号,至于差的值是多少无关紧要,通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式;(2)对于两个正值,也可采用作商的方法,比较商与1的大小;(3)对于某些问题也可采用取中间值的方法比较大小
知识点三 重要不等式
一般地,∀a,b∈R,有a2＋b2≥ 2ab ,当且仅当 a＝b 时,等号成立.
1.某桥头竖立的“限重40吨”的警示牌,是指示司机要安全通过该桥,应使车货总质量T(单位:吨)不超过40,则用不等式表示为( )
A.T＜40 B.T＞40
C.T≤40 D.T≥40
解析:C 限重就是不超过,可以直接建立不等式T≤40.
2.已知a∈R,p＝(a-1)(a-3),q＝(a-2)2,则p与q的大小关系为( )
A.p＞q B.p≥q
C.p＜q D.p≤q
解析:C 因为p＝(a-1)(a-3),q＝(a-2)2,所以p-q＝(a-1)(a-3)-(a-2)2＝a2-4a＋3-(a2-4a＋4)＝-1＜0.所以p＜q.
3.已知x,y∈R,且x2＋y2＝4,则xy的最大值是 .
解析:∵x2＋y2≥2xy且x2＋y2＝4,∴2xy≤4,即xy≤2,∴xy的最大值为2.
答案:2
四．典例分析、举一反三
题型一 用不等式(组)表示不等关系
某汽车公司因发展需要,需购进一批汽车,计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车,根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式(组).
解 设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆,则40x+90y≤1 000,x≥5,y≥6,x,y∈N*.
练1-1. 李辉准备用自己存的零花钱买一台学习机,他现在已存60元,计划从现在起以后每个月节省30元,直到他至少有400元.设x个月后他至少有400元,则可以用于计算所需要的月数x的不等式是 .
解析:由题意知,x个月后所存的钱数为(30x＋60)元,由于存的钱数不少于400元,故不等式为30x＋60≥400.
答案:30x＋60≥400
题型二 比较两数(式)的大小
【例2】已知x≤1,比较3x3与3x2-x＋1的大小.
解 3x3-(3x2-x＋1)＝(3x3-3x2)＋(x-1)
＝3x2(x-1)＋(x-1)＝(3x2＋1)(x-1).
由x≤1得x-1≤0,而3x2＋1＞0,
∴(3x2＋1)(x-1)≤0,
∴3x3≤3x2-x＋1.
练2-1. 比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小.
解:(2x2＋5x＋3)-(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝x＋122＋34.
∵x＋122≥0,∴x＋122＋34≥34＞0,
∴(2x2＋5x＋3)-(x2＋4x＋2)＞0,
∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2.
题型三 不等关系的实际应用
【例3】 某单位组织职工去北京旅游,需包车前往.甲车队说:“如果领队买全票一张,其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样的,试根据单位职工的人数,比较两车队的收费哪家更优惠.
解 设该单位职工有n人(n∈N*),全票价为x元,坐甲车队的车需花y1元,坐乙车队的车需花y2元.
由题意,得y1＝x＋34x·(n-1)＝14x＋34nx,y2＝45nx.
因为y1-y2＝14x＋34nx-45nx＝14x-120nx
＝14x1-n5,
当n＝5时,y1＝y2;
当n＞5时,y1＜y2;
当n＜5时,y1＞y2.
所以,当该单位职工有5人时,两车队收费相同;多于5人时,选甲车队更优惠;少于5人时,选乙车队更优惠.
练3-1. 某公司有20名技术人员,计划开发A,B两类共50件电子器件,每类每件所需人员和预计产值如下:
今制订计划欲使总产值最高,则A类电子器件应开发 件,最高产值为 万元.
解析:设应开发A类电子器件x件,则开发B类电子器件(50-x)件.根据题意,得x2＋50-x3≤20,解得x≤20.由题意,得总产值y＝7.5x＋6(50-x)＝300＋1.5x≤330,当且仅当x＝20时,y取最大值330.所以欲使总产值最高,A类电子器件应开发20件,最高产值为330万元.
答案:20 330
五、课堂小结
六、当堂检测
1.实数x大于10,用不等式表示为( )
A.x＜10 B.x≤10
C.x＞10 D.x≥10
答案:C
2.某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩x不低于95分,文化课总分y高于380分,体育成绩z超过45分,用不等式表示为 .
解析:“不低于”即“≥”,“高于”即“＞”,“超过”即“＞”,∴x≥95,y>380,z>45.
答案:x≥95,y>380,z>45
3.不等式a2＋4≥4a中,等号成立的条件为 .
解析:令a2＋4＝4a,则a2-4a＋4＝0,即(a-2)2＝0,∴a＝2.
答案:a＝2
4.已知a,b∈R,x＝a3-b,y＝a2b-a,试比较x与y的大小.
解:因为x-y＝a3-b-a2b＋a＝a2(a-b)＋a-b＝(a-b)(a2＋1),所以当a＞b时,x-y＞0,所以x＞y;
当a＝b时,x-y＝0,所以x＝y;
当a＜b时,x-y＜0,所以x＜y.
七．课后作业
八、问题日清（学生填写，老师辅导解答）
1.
2.
学生签字 老师签字文字
语言
大于,高于,超过
小于,低于,少于
大于等于,至少,不低于
小于等于,至多,不超过
符号
语言
＞
＜
≥
≤
文字表示
符号表示
如果a-b是正数,那么 a＞b
a-b＞0⇔ a＞b
如果a-b等于0,那么 a＝b
a-b＝0⇔ a＝b
如果a-b是负数,那么 a＜b
a-b＜0⇔ a＜b
电子器件种类
每件需要人员数
每件产值
(万元/件)
A类
12
7.5
B类
13
6