人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件课时作业

课时素养评价 七

充 要 条 件

　　　　　　　　　　　　　 (15分钟　30分)

1.(2020·烟台高一检测)设a∈R，则“a>0”是“a2>0”的 (　　)

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

【解析】选A.当a>0时，必定有a2>0，故充分性成立；当a2>0时，说明a≠0，不一定有a>0，故必要性不成立.

2.(2020·南充高一检测)设a，b为正数，则“a-b>1”，是“a2-b2>1”的                                                                                                                                                                                                                                                                                        (　　)

A.充要条件   B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】选B.a，b为正数且a-b>1，

所以a>b+1，所以a+b>1，

所以a2-b2=(a-b)(a+b)>1，

所以“a-b>1”是“a2-b2>1”的充分条件，

因为由(a-b)(a+b)=a2-b2>1得不出a-b>1，故在a，b为正数的条件下，“a-b>1”是“a2-b2>1”的充分不必要条件.

【补偿训练】

　　　设a，b∈R，则“a≥|b|”是“a>b”的 (　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选D.当a=b=0时，a≥|b|成立，不能得到a>b；反之由a>b，也不能得到a≥|b|，

故“a≥|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件.

3.(2020·长春高一检测)在如图电路中，条件p：开关A闭合，条件q：灯泡B亮，则p是q的              (　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件   D.既不充分也不必要条件

【解析】选A.若开关A闭合，则灯泡B亮，所以p⇒q；

若灯泡B亮，则开关A闭合或开关C闭合，所以q⇒p不成立，

所以p是q的充分不必要条件，故选A.

4.请用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”填空：

(1)“m=1”是“函数y=为二次函数”的_____条件. 

(2)“△ABC是锐角三角形”是“∠ABC为锐角”的_____条件. 

【解析】(1)当m=1时，函数y=x2为二次函数.反之，当函数y=为二次函数时，

m2-4m+5=2，解得m=3或m=1，所以m=1是函数y=为二次函数的充分不必要条件.

(2)三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形，

所以△ABC是锐角三角形⇒∠ABC为锐角，

∠ABC为锐角△ABC是锐角三角形，

所以△ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角的充分不必要条件.

答案：(1)充分不必要　(2)充分不必要

5.(2020·青岛高一检测)已知P={x|-2≤x≤10}，非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.

(1)若x∈P是x∈S的必要条件，求出m的取值范围.

(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件.

【解析】(1)因为x∈P是x∈S的必要条件，

所以S⊆P，

所以解得0≤m≤3，

所以m的取值范围是{m|0≤m≤3}.

(2)x∈P是x∈S的充分条件时，P⊆S，

所以解得m≥9，

由(1)知，x∈P是x∈S的必要条件是0≤m≤3，

由此知x∈P是x∈S的充要条件时，m的值不存在.

　　　　　　　　　　　　　 (20分钟　40分)

一、单选题(每小题5分，共15分)

1.设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆UC”是“A∩B=∅”的              (　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选C.依题意，若A⊆C，则UC⊆UA，当B⊆UC，可得A∩B=∅；若A∩B=∅，不妨令C=A，显然满足A⊆C，B⊆UC，故满足条件的集合C是存在的.所以“存在集合C使得A⊆C，B⊆UC”是“A∩B=∅”的充要条件.

2.若“-1<x-m<1”成立的充分不必要条件是“<x<”，则实数m的取值范围是                                                                                                                                                                                                                                                                                                      (　　)

A.   B.

C.    D.

【解析】选B.-1<x-m<1⇔m-1<x<m+1，

由题意得“<x<”是“-1<x-m<1”成立的充分不必要条件，

所以{x|m-1<x<m+1}，

所以解得-≤m≤.

3.函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是 (　　)

A.m=-2 B.m=1

C.m=-1 D.m=0

【解析】选A.当m=-2时，f(x)=x2-2x+1，其图象关于直线x=1对称，反之也成立，所以f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=-2.

二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

4.对任意实数a，b给出下列命题，其中真命题是 (　　)

A.“|a|=|b|”是“a=b”的充要条件

B.“a>b”是“a2>b2”的充分条件

C.“a<5”是“a<3”的必要条件

D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件

【解析】选CD.若a=1，b=-1，则|a|=|b|，但a≠b，所以“|a|=|b|”推不出“a=b”，A错误；

若a=1，b=-1，则a>b，但a2=b2；

所以“a>b”推不出“a2>b2”，所以B错误；

“a<3”可推出“a<5”，所以C正确；

“a+5是无理数”⇔“a是无理数”所以D正确.

【补偿训练】

　　　(多选题)已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列结论正确的是              (　　)

A.Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充要条件

B.Δ=b2-4ac=0是这个方程有实根的充分条件

C.Δ=b2-4ac>0是这个方程有实根的必要条件

D.Δ=b2-4ac<0是这个方程没有实根的充要条件

【解析】选A、B、D.A正确，Δ=b2-4ac≥0⇔方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根；

B正确，Δ=b2-4ac=0⇒方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根；

C错误，Δ=b2-4ac>0⇒方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根；

D正确，Δ=b2-4ac<0⇔方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实根.

三、填空题(每小题5分，共10分)

5.用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空：

(1)“x=1”是“=1”的_______条件. 

(2)“x≠1”是“x2+2x-3≠0”的_______条件. 

【解析】(1)设A={1}，B={x|=1}，

则B={-1，1}，因为AB，所以“x=1”是“=1”的充分不必要条件.

(2)设A={x|x≠1}，B={x|x2+2x-3≠0}，

则B={x|x≠1且x≠-3}，

因为BA，所以“x≠1”是“x2+2x-3≠0”的必要不充分条件.

答案：(1)充分不必要　(2)必要不充分

6.“k>4，b<5”是“一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的_______条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 

【解析】当k>4，b<5时，函数y=(k-4)x+b-5的图象如图所示.

显然图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴.

由一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，即x=0，y=b-5<0，所以b<5.当y=0时，x=>0，因为b<5，所以k>4.故填“充要”.

答案：充要

四、解答题

7.(10分)已知ab≠0，求证：a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.

(提示：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2))

【证明】设p：a3+b3+ab-a2-b2=0，q：a+b=1.

(1)充分性(p⇒q)：

因为a3+b3+ab-a2-b2=0，

所以(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0，

即(a2-ab+b2)(a+b-1)=0，

因为ab≠0，a2-ab+b2=+b2>0，

所以a+b-1=0，即a+b=1.

(2)必要性(q⇒p)：

因为a+b=1，所以b=1-a，所以a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2

=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0，

综上所述，a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.

【补偿训练】

　　　设x，y∈R，求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.

【证明】设p：xy≥0，q：|x+y|=|x|+|y|.

(1)充分性(p⇒q)：

如果xy≥0，则有xy=0和xy>0两种情况，当xy=0时，不妨设x=0，

则|x+y|=|y|，|x|+|y|=|y|，所以等式成立.

当xy>0时，即x>0，y>0或x<0，y<0，

又当x>0，y>0时，|x+y|=x+y，|x|+|y|=x+y，所以等式成立.

当x<0，y<0时，|x+y|=-(x+y)，

|x|+|y|=-x-y，所以等式成立.

总之，当xy≥0时，|x+y|=|x|+|y|成立.

(2)必要性(q⇒p)：

若|x+y|=|x|+|y|且x，y∈R，

则|x+y|2=(|x|+|y|)2，

即x2+2xy+y2=x2+y2+2|x||y|，

所以|xy|=xy，所以xy≥0.

由(1)(2)可知，xy≥0是等式|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件.

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