数学必修 第一册1.4 充分条件与必要条件同步练习题

这是一份数学必修 第一册1.4 充分条件与必要条件同步练习题，共7页。

选题明细表
基础巩固
1.“x=1”是“x2-2x+1=0”的( A )
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析:由x2-2x+1=0,解得x=1,所以“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件.故选A.
2.设集合M={1,2},N={a2},则“a=1”是“N⊆M”的( A )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:a=1⇒N⊆M,N⊆M⇒a2=1或2,所以N⊆Ma=1.故“a=1”是“N⊆M”的充分不必要条件.故选A.
3.(多选题)设全集为U,在下列选项中,是B⊆A的充要条件的有( ACD )
A.A∪B=A B.A∩B=A
C.(∁UA)⊆(∁UB)D.A∪(∁UB)=U
解析:对于A,当B⊆A有A∪B=A成立,反之,若A∪B=A成立,B⊆A成立,所以A符合;
对于B,当B⊆A,有A∩B=B;反之,若A∩B=A成立,A⊆B成立,所以B不符合;
对于C,若B⊆A有(∁UA)⊆(∁UB),反之,若(∁UA)⊆(∁UB),则B⊆A,故C
符合;
对于A∪(∁UB)=U⇔B⊆A,故D符合.故选ACD.
4.(多选题)已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列结论正确的是( ABD )
A.Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充要条件
B.Δ=b2-4ac=0是这个方程有实根的充分条件
C.Δ=b2-4ac>0是这个方程有实根的必要条件
D.Δ=b2-4ac<0是这个方程没有实根的充要条件
解析:A对,Δ≥0⇔方程ax2+bx+c=0有实根;
B对,Δ=0⇒方程ax2+bx+c=0有实根;
C错,Δ>0⇒方程ax2+bx+c=0有实根,但ax2+bx+c=0有实根Δ>0;
D对,Δ<0⇔方程ax2+bx+c=0无实根.故选ABD.
5.设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n= .
解析:一元二次方程x2-4x+n=0有实数根的充要条件是Δ=16-4n≥0,
n∈N*,解得1≤n≤4.经过验证n=3,4时满足条件.
答案:3或4
6.“黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”是我国唐代著名诗人王昌龄的《从军行》中的两句诗,描写了当时战事的艰苦以及戍边将士的豪情壮志,从逻辑学的角度看,最后一句中“破楼兰”是“终不还”
的 条件.(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空)
解析:因为“破楼兰”可能“终还”,也可能“终不还”,“终不还”可能“破楼兰”也可能不“破楼兰”,
所以“破楼兰”是“终不还”的既不充分也不必要条件.
答案:既不充分也不必要
能力提升
7.(多选题)若p是q的充分不必要条件,q是s的必要条件,t是q的必要条件,t是s的充分条件,则( ABD )
A.t是p的必要不充分条件
B.t是q的充要条件
C.p是s的充要条件
D.q是s的充要条件
解析:由题意知p⇒q,s⇒q,q⇒t,t⇒s,
所以q⇒t⇒s,且s⇒q,所以q⇔t⇔s,所以B,D正确,
因为q⇔t⇔s,且p是q的充分不必要条件,
所以p是s的充分不必要条件,t是p的必要不充分条件,所以A正确,C错误.故选ABD.
8.设集合U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|
x+y-n>0},那么点P(2,3)∈(A∩B)的充要条件是( A )
A.m>-1,n<5B.m<-1,n<5
C.m>-1,n>5D.m<-1,n>5
解析:因为P(2,3)∈(A∩B),所以满足2×2-3+m>0,2+3-n>0,即m>-1,n<5.故选A.
9.设a,b都是实数,试从①ab=0;②a+b=0;③a(a2+b2)=0;④ab>0中选出适合的条件,用序号填空:
(1)a,b都为0的必要条件是 ;
(2)“a,b都不为0”的充分条件是 ;
(3)“a,b至少有一个为0”的充要条件是 .
解析:①ab=0⇔a=0或b=0,即a,b至少有一个为0;
②a+b=0⇔a,b互为相反数,则a,b可能均为0,也可能为一正一负;
③a(a2+b2)=0⇔a=0或a=0,b=0;
④ab>0⇔a>0,b>0或a<0,b<0,则a,b都不为0.
答案:(1)①②③ (2)④ (3)①
10.已知a,b是实数,求证:a4-b4-2b2=1成立的充要条件是a2-b2=1.
证明:充分性:
若a2-b2=1,则a4-b4-2b2=(a2-b2)(a2+b2)-2b2=a2+b2-2b2=a2-b2=1成立.
必要性:
若a4-b4-2b2=1,则a4-b4-2b2-1=0,
即a4-(b4+2b2+1)=0,
所以a4-(b2+1)2=0,
所以(a2+b2+1)(a2-b2-1)=0,
因为a2+b2+1≠0,
所以a2-b2-1=0,即a2-b2=1成立.
综上,a4-b4-2b2=1成立的充要条件是a2-b2=1.
11.已知一元二次方程:(1)mx2-4x+4=0;(2)x2-4mx+4m2-4m-5=0(m∈Z),求方程(1)和(2)的根都是整数的充要条件.
解:方程(1)有实根⇔Δ1=16-16m≥0,即m≤1,且m≠0,
方程(2)有实根⇔Δ2=16m2-4(4m2-4m-5)≥0⇒m≥-54,且m≠0,
由-54≤m≤1,且m≠0,m∈Z得m=-1,1.
当m=-1时,方程(1)为x2+4x-4=0,无整数解;
当m=1时,方程(1)有整数解x=2,方程(2)有整数解x=-1或5,
从而(1)(2)都有整数解⇒m=1.
反过来,由m=1,可推得方程(1)(2)都有整数解,
所以方程(1)(2)都有整数解的充要条件是m=1.
应用创新
12.(多选题)设计如图所示的四个电路图,若p:开关S闭合,q:灯泡L亮,则p是q的充要条件的电路图是( BD )
解析:由题知,电路图A中,开关S闭合,灯泡L亮,而灯泡L亮开关S不一定闭合,故A中p是q的充分不必要条件;电路图B中,开关S闭合,灯泡L亮,且灯泡L亮,则开关S一定闭合,故B中p是q的充要条件;电路图C中,开关S闭合,灯泡L不一定亮,灯泡L亮则开关S一定闭合,故C中p是q的必要不充分条件;电路图D中,开关S闭合则灯泡L亮,灯泡L亮则一定有开关S闭合,故D中p是q的充要条件.故选BD.知识点、方法
题号
充要条件的判定
1,2,3,4,6,7
充要条件的证明、探求
5,8,9,10,11,12