高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.1 不等式及其性质课后复习题

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.1 不等式及其性质课后复习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，x∈R，则( )
A．a＞b B．a＜b
C．a≥bD．a≤b
C [∵a－b＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，∴a≥b.]
2．已知aeq \f(a,b2)B．eq \f(a,b2)>eq \f(a,b)>a
C．eq \f(a,b)>a>eq \f(a,b2)D．eq \f(a,b)>eq \f(a,b2)>a
D [取a＝－2，b＝－2，则eq \f(a,b)＝1，eq \f(a,b2)＝－eq \f(1,2)，∴eq \f(a,b)>eq \f(a,b2)>a.故选D．]
3．若a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是( )
A．ac＞bc B．ab＞ac
C．a|b|＞c|b|D．a2＞b2＞c2
B [∵a＋b＋c＝0且a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，∴A不正确；对于B，ab＞ac⇔a(b－c)＞0.又b－c＞0，a＞0，故B正确；由于|b|有可能为0，故C不正确；若a＝2，b＝1，c＝－3，显然a＋b＋c＝0，但a2＞b2且b2＜c2，故D不正确．]
4．(多选题)若x＞1＞y，则下列不等式一定成立的是( )
A．x－1＞1－yB．x－1＞y－1
C．x－y＞1－yD．1－x＞y－x
BCD [对选项A可用特殊值法．令x＝2，y＝－1，则x－1＝2－1＜1－(－1)＝1－y，故选项A中不等式不成立；x－1－(y－1)＝x－y＞0，故选项B中不等式成立；x－y－(1－y)＝x－1＞0，故选项C中不等式成立；1－x－(y－x)＝1－y＞0，故选项D中不等式成立，故选BCD．]
5．(多选题)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是( )
A．若ab≠0且a＜b，则eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)
B．若0＜a＜1，则a3＜a
C．若a＞b＞0，则eq \f(b＋1,a＋1)＞eq \f(b,a)
D．若c＜b＜a且ac＜0，则cb2＜ab2
BC [由于a＜b时，要使eq \f(1,a)－eq \f(1,b)＝eq \f(b－a,ab)＞0，必须ab＞0，因此A不正确；当0＜a＜1时，则a3＜a，因此B正确；若a＞b＞0，则eq \f(b＋1,a＋1)－eq \f(b,a)＝eq \f(ab＋a－ab－b,aa＋1)＝eq \f(a－b,aa＋1)＞0，因此C正确；当b＝0时，cb2＜ab2不成立，因此D不正确．]
二、填空题
6．当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为________．
m3>m2－m＋1 [∵m3－(m2－m＋1)
＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)
＝(m－1)(m2＋1)，
又∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0，∴m3＞m2－m＋1.]
7．给出以下四个命题：
①a＞b⇒an＞bn(n∈N*)；②a＞|b|⇒an＞bn(n∈N*)；③a＜b＜0⇒eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)；④a＜b＜0⇒eq \f(1,a－b)＞eq \f(1,a).其中真命题的序号是________．
②③ [①中取a＝－1，b＝－2，n＝2，不成立；②a＞|b|，得a＞0，∴an＞bn成立；③a＜b＜0，eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)成立；④a＜b＜0，得a－b＜0，且a－b＞a，故eq \f(1,a－b)＜eq \f(1,a)，④不成立．]
8．某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：
今制订计划欲使总产量最高，则A类电子器件应开发________件，最高产值为________万元．
20 330 [设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件(50－x)件．根据题意，得eq \f(x,2)＋eq \f(50－x,3)≤20，解得x≤20.由题意，得总产值y＝7.5x＋6×(50－x)＝300＋1.5x≤330，当且仅当x＝20时，y取最大值330.所以欲使总产值最高，A类电子器件应开发20件，最高产值为330万元．]
三、解答题
9．已知x∈R且x≠－1，比较eq \f(1,1＋x)与1－x的大小．
[解] ∵eq \f(1,1＋x)－(1－x)＝eq \f(1－1－x2,1＋x)＝eq \f(x2,1＋x)，
当x＝0时，eq \f(1,1＋x)＝1－x；
当1＋x＜0，即x＜－1时，eq \f(x2,1＋x)＜0，∴eq \f(1,1＋x)＜1－x；
当1＋x＞0且x≠0，即－1＜x＜0或x＞0时，eq \f(x2,1＋x)＞0，
∴eq \f(1,1＋x)＞1－x.
10．已知3＜a＋b＜4,0＜b＜1，求下列各式的取值范围．
(1)a；(2)a－b；(3)eq \f(a,b).
[解] (1)∵3＜a＋b＜4,0＜b＜1，
∴－1＜－b＜0，
∴2＜a＋b＋(－b)＜4，
即2＜a＜4.
(2)∵0＜b＜1，∴－1＜－b＜0.
又∵2＜a＜4，∴1＜a－b＜4.
(3)∵0＜b＜1，∴eq \f(1,b)＞1，
又∵2＜a＜4，∴eq \f(a,b)＞2.
1．(多选题)已知a，b，c，d∈R，则下列结论中不成立的是( )
A．若a＞b，c＞b，则a＞c
B．若a＞－b，则c－a＜c＋b
C．若a＞b，c＜d，则eq \f(a,c)＞eq \f(b,d)
D．若a2＞b2，则－a＜－b
ACD [选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C，不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D，只有当a＞b＞0时才成立．故选ACD．]
2．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )
A．ax＋by＋czB．az＋by＋cx
C．ay＋bz＋cxD．ay＋bx＋cz
B [法一：∵x＜y＜z且a＜b＜c，
∴ax＋by＋cz－(az＋by＋cx)
＝a(x－z)＋c(z－x)
＝(x－z)(a－c)＞0，
∴ax＋by＋cz＞az＋by＋cx；
同理，ay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz)
＝b(z－x)＋c(x－z)
＝(z－x)(b－c)＜0，
∴ay＋bz＋cx＜ay＋bx＋cz；
同理，az＋by＋cx－(ay＋bz＋cx)
＝a(z－y)＋b(y－z)
＝(z－y)(a－b)＜0，
∴az＋by＋cx＜ay＋bz＋cx.
∴最低费用为az＋by＋cx(元)．
故选B．
法二：(特殊值法)：取x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，则ax＋by＋cz＝1×1＋2×2＋3×3＝14；az＋by＋cx＝1×3＋2×2＋3×1＝10；ay＋bz＋cx＝1×2＋2×3＋3×1＝11；ay＋bx＋cz＝1×2＋2×1＋3×3＝13.故选B．]
3．当x，y，z∈R时，记M＝5x2＋y2＋z2，N＝2xy＋4x＋2z－2，则M，N的大小关系是________．
M≥N [M－N＝5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
所以5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
当且仅当x＝y＝eq \f(1,2)且z＝1时取到等号．
∴M≥N.]
4．已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，则4a－2b的取值范围为________．
[－2,10] [法一：设u＝a＋b，v＝a－b得a＝eq \f(u＋v,2)，b＝eq \f(u－v,2)，
∴4a－2b＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v.
∵1≤u≤4，－1≤v≤2，∴－3≤3v≤6.
则－2≤u＋3v≤10，即－2≤4a－2b≤10.
法二：令4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，
∴4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝4，,x－y＝－2，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝3.))
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1≤a＋b≤4，,－3≤3a－b≤6.))
∴－2≤4a－2b≤10.]
有三个实数m，a，b(a≠b)，如果在a2(m－b)＋m2b中，把a和b互换，所得的代数式的值比原式的值小，那么关系式a＜m＜b是否可能成立？请说明你的理由．
[解] 不妨设P＝a2(m－b)＋m2b，Q＝b2(m－a)＋m2a.由题意知Q＜P，即Q－P＜0.所以b2(m－a)＋m2a－a2(m－b)－m2b＜0，(a－b)m2＋(b2－a2)m＋ab(a－b)＜0.
所以(a－b)(m－a)(m－b)＜0.(*)
若a＜m＜b成立，则a＜b，这时不等式(*)的解为m＞b或m＜a，矛盾．故a＜m＜b不可能成立．电子器件种类
每件需要人员数
每件产值(万元/件)
A类
eq \f(1,2)
7.5
B类
eq \f(1,3)
6