资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩30页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质学案
展开
这是一份必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质学案，文件包含三角函数的图象与性质-讲义教师版docx、三角函数的图象与性质-讲义学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共45页， 欢迎下载使用。
三角函数的图象与性质
一、 三角函数的图象与性质
1. 正弦函数的图象与性质
（1）图象：
（2）定义域： ．
（3）值域：．
（4）单调性：（）为增函数；（）
为减函数．
（5）奇偶性：奇函数．
（6）最小正周期： ．
（7）对称性：对称轴
；对称中心
．
2. 五点作图法
观察正弦函数的图象，在函数
的图象上，以下五个点：
在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数的图象形状就基本确定
了．因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦
函数的简图．这种近似的“五点（画图）法”是非常实用的．
3. 余弦函数的图象与性质
（1）图象
（2）定义域： ．
（3）值域：
．
（4）单调性：（）为增函数；（）减函数．
（5）奇偶性：偶函数．
（6）最小正周期： ．
（7）对称性：对称轴
；对称中心
．
4. 正切函数的图象与性质
（1）图象：
（2）定义域：
．
（3）值域： ．
（4）单调性：在
（
）增函数．
（5）奇偶性：奇函数．
（6）最小正周期： ．
（7）对称性：对称中心
．
【注意！】正切函数图象并不连续！
经典例题
1. 已知正切函数的图象关于点对称，则（ ）．
A.或B. 或
C.或 或D. 或
2. 下列三角函数值大小比较正确的是（ ）．
A.
B. C. D.
3. 若，且，则 的取值范围是（ ）．
A.
B. C. D.
4. 函数（且）的图象可能为（ ）．
A.B.
C.D.
5. 方程在区间上根的个数为（ ）．
A.B.C.D.
6. 已知函数
A.的定义域是
B.的值域是
C.是奇函数
D.是周期为 的函数
，则下列结论中正确的是（ ）．
巩固练习
7. 函数
的定义域为
．
8. 在上满足， 的取值范围是（ ）．
A.
B. C. D.
9. 若函数为 上的奇函数，且在定义域上单调递减，又，，则
的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
10. 如图所示，函数（且）的图象是（ ）．
A.B.
MJ
J
C.D.
11. 方程的根的个数为（ ）.
A.B.C.D.
12. 已知函数
A.是奇函数
则下面结论中正确的是（ ）．
B. C. D.
的值域是
是偶函数
的值域是
二、 正弦型函数的性质
正弦型函数：，其中 常被称为振幅， 常被称为相位．
（1）定义域： ．
（2）值域：
．
（3）最小正周期：．
（4）单调性：
①，
增区间：令
，求出 的范围即为单调递增区间；
减区间：令，求出 的范围即为单调递减区间．
②，
增区间：令
，求出 的范围即为单调递增区间；
减区间：令，求出 的范围即为单调递减区间．
（5）对称性：对称轴：令
，求得 即为对称轴；
对称中心：令，求得 即为对称中心横坐标．
经典例题
13. 已知函数
（ 1 ）求函数（ 2 ）求函数
．
的单调递增区间．
的对称轴和对称中心．
（ 3 ）求函数 在区间上的最大值和最小值．
14. 求函数
（ 1 ）周期和定义域．
（ 2 ）单调增区间．
（ 3 ）对称中心坐标．
．
15. 已知函数的一部分图象如图所示，如果，，，则（
）．
A.B.
C.D.
16. 已知函数在区间上的最小值是 ，则 的最小值等于．
17. 已知函数的图像关于直线对称，则 可能是（ ）．
A.B.
C.D.
18. 设函数，若函数恰有三个零点 ，
，，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
19. 已知函数（ ， ， 均为正的常数）的最小正周期为 ，当时，函数
取得最小值，则下列结论正确的是（ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
20. 已知函数，．
（ 1 ）求（ 2 ）求
的最小正周期．
的单调递增区间和单调递减区间．
（ 3 ）当时，求 值域．
21. 函数的单调递增区间为（ ）．
A.
B.
，
，
C.
D.
，
，
22. 若函数的局部图象如图所示，则函数的解析
式为（ ）．
A. B. C. D.
23. 已知函数的图象的一个对称中心为，且，则 的最
小值为（ ）．
A.B.C.D.
24. 已知点，，，若这三个点中有且仅有两个点在函数的
图像上，则正数 的最小值为（ ）．
A.B.C.D.
25. 如果函数的图象关于点中心对称，那么 的最小值为（ ）．
A.B.C.D.
26. 已知函数为偶函数，则函数在上
的值域为（ ）．
A.B.
C.D.
27. 定义在 上的奇函数的最小正周期为 ，当时，，
，的图象如图所示，则在区间上所有零点之和为（ ）．
A.B.
C.D.
三、 三角函数的图象变换
1. 平移变换
函数的图象可以看做将函数的图象上的所有的点向左（当
时）或向右（当时）平移 个单位而得到．
如下图中的：
（1）的图象与的图象形状是完全一样的，二者可以通过左右平移变换得到，
称此变换为平移变换或相位变换；更一般的结论：任何平移变换均不会改变图象的形状．
（2）左右平移是针对自变量 本身而言的，因此如果 有一系列诸如负号或者系数的前缀，应该将其提取之后再进行左右平移．
2. 伸缩变换
函数（且）的图象可以看做是把的图象上所有的点的横
坐标缩短为（当时）或伸长（当时）到原来的 倍（纵坐标不变）而得到．
如下图中的：
（1）由上面的变换发现， 可以控制变化函数的“胖瘦”，进而影响函数的周期．
（2）的图象与的图象的形状不同，此种变换为横向伸缩变换，也称周
期变换．
（3）推广到一般结论：函数
（
且
）的图象，可以看作是把函数
的图象上的点的
横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的 倍（纵坐标不变）而得到．
3. 振幅变换
函数
（
且
）的图象可以看做是将
的图象上所有的点
的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的 倍（横坐标不变）而得到．
如下图中的：
（1）由上面的变化发现， 可以控制函数的“高矮”，进而影响函数的振幅．
（2）函数的值域是．
（3） 的大小，反映了曲线纵向波动幅度的大小．
（4）的图象与的图象形状不同，此种变换称为纵向伸缩变换，也
叫振幅变换．
（5）推广到一般结论：函数
（
且
）的图象，可以看作是把函数
的图象
上的点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的 倍（横坐标不变）而得到．
经典例题
28. 为了得到函数的图象，只需将的图象上的所有点（ ）．
A. B. C. D.
横坐标伸长 倍，再向上平移 个单位长度横坐标伸长 倍，再向下平移 个单位长度横坐标缩短 倍，再向上平移 个单位长度横坐标缩短 倍，再向下平移 个单位长度
29. 已知函数：①，②，③，④，其中周期为 ，且在
上单调递增的是（ ）．
A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①③④
30. 将函数的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数（ ）．
A. B. C.
D.
在区间在区间在区间在区间
上单调递减上单调递增上单调递减上单调递增
31. 已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是 ，若将
的图象先向右平移 个单位，再向上平移 个单位，所得函数
（ 1 ）求的解析式．
（ 2 ）求的对称轴及单调区间．
为奇函数．
（ 3 ）若对任意，恒成立，求实数 的取值范围．
巩固练习
32. 先把函数的图象上所有的点先向右平移 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变）， 得到的函数图象的解析式为（ ）．
A.B.
C.D.
33. 为了得到函数的图象，只需将的图象上每一点（ ）．
A. 向左平移 个单位长度B. 向左平移 个单位长度
C. 向右平移 个单位长度D. 向右平移 个单位长度
34. 设函数，则（ ）．
A.
B. C. D.
在区间在区间在区间在区间
上是增函数
上是减函数
上是增函数
上是减函数
35. 已知函数的最小正周期是 ，将函数的图象向左平移
个单位长度后所得的函数图像过点
A. 有一条对称轴
B. 有一个对称中心
C. 在区间上单调递减
D. 在区间上单调递增
，则函数
（ ）．
36. 已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是 ，若将
的图象先向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度后，所得图象关于 轴对称且经过坐
标原点．
（ 1 ）求的解析式．
（ 2 ）若对任意
，
恒成立，求实数 的取值范围．
37. 若不等式对恒成立，则（ ）．
A.B.C.D.
导图总结
你学会了吗？快来用知识导图来总结本节课所学吧！
出门测
38. 函数在下列所给区间上单调递增的是（ ）．
A.B.
C.D.
39. 若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则 （
）．
A.B.C.D.
40. 先把函数的图象上所有的点先向右平移 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变）， 得到的函数图象的解析式为（ ）．
A.B.
C.D.
41. 已知函数
A.，
B.，
C.，
D.，
的部分图象如图所示，则（ ）．
12
三角函数的图象与性质
一、 三角函数的图象与性质
1. 正弦函数的图象与性质
（1）图象：
（2）定义域： ．
（3）值域：．
（4）单调性：（）为增函数；（）
为减函数．
（5）奇偶性：奇函数．
（6）最小正周期： ．
（7）对称性：对称轴
；对称中心
．
2. 五点作图法
观察正弦函数的图象，在函数
的图象上，以下五个点：
在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数的图象形状就基本确定
了．因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦
函数的简图．这种近似的“五点（画图）法”是非常实用的．
3. 余弦函数的图象与性质
（1）图象
（2）定义域： ．
（3）值域：
．
（4）单调性：（）为增函数；（）减函数．
（5）奇偶性：偶函数．
（6）最小正周期： ．
（7）对称性：对称轴
；对称中心
．
4. 正切函数的图象与性质
（1）图象：
（2）定义域：
．
（3）值域： ．
（4）单调性：在
（
）增函数．
（5）奇偶性：奇函数．
（6）最小正周期： ．
（7）对称性：对称中心
．
【注意！】正切函数图象并不连续！
经典例题
1. 已知正切函数的图象关于点对称，则（ ）．
A.或B. 或
C.或 或D. 或
2. 下列三角函数值大小比较正确的是（ ）．
A.
B. C. D.
3. 若，且，则 的取值范围是（ ）．
A.
B. C. D.
4. 函数（且）的图象可能为（ ）．
A.B.
C.D.
5. 方程在区间上根的个数为（ ）．
A.B.C.D.
6. 已知函数
A.的定义域是
B.的值域是
C.是奇函数
D.是周期为 的函数
，则下列结论中正确的是（ ）．
巩固练习
7. 函数
的定义域为
．
8. 在上满足， 的取值范围是（ ）．
A.
B. C. D.
9. 若函数为 上的奇函数，且在定义域上单调递减，又，，则
的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
10. 如图所示，函数（且）的图象是（ ）．
A.B.
MJ
J
C.D.
11. 方程的根的个数为（ ）.
A.B.C.D.
12. 已知函数
A.是奇函数
则下面结论中正确的是（ ）．
B. C. D.
的值域是
是偶函数
的值域是
二、 正弦型函数的性质
正弦型函数：，其中 常被称为振幅， 常被称为相位．
（1）定义域： ．
（2）值域：
．
（3）最小正周期：．
（4）单调性：
①，
增区间：令
，求出 的范围即为单调递增区间；
减区间：令，求出 的范围即为单调递减区间．
②，
增区间：令
，求出 的范围即为单调递增区间；
减区间：令，求出 的范围即为单调递减区间．
（5）对称性：对称轴：令
，求得 即为对称轴；
对称中心：令，求得 即为对称中心横坐标．
经典例题
13. 已知函数
（ 1 ）求函数（ 2 ）求函数
．
的单调递增区间．
的对称轴和对称中心．
（ 3 ）求函数 在区间上的最大值和最小值．
14. 求函数
（ 1 ）周期和定义域．
（ 2 ）单调增区间．
（ 3 ）对称中心坐标．
．
15. 已知函数的一部分图象如图所示，如果，，，则（
）．
A.B.
C.D.
16. 已知函数在区间上的最小值是 ，则 的最小值等于．
17. 已知函数的图像关于直线对称，则 可能是（ ）．
A.B.
C.D.
18. 设函数，若函数恰有三个零点 ，
，，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
19. 已知函数（ ， ， 均为正的常数）的最小正周期为 ，当时，函数
取得最小值，则下列结论正确的是（ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
20. 已知函数，．
（ 1 ）求（ 2 ）求
的最小正周期．
的单调递增区间和单调递减区间．
（ 3 ）当时，求 值域．
21. 函数的单调递增区间为（ ）．
A.
B.
，
，
C.
D.
，
，
22. 若函数的局部图象如图所示，则函数的解析
式为（ ）．
A. B. C. D.
23. 已知函数的图象的一个对称中心为，且，则 的最
小值为（ ）．
A.B.C.D.
24. 已知点，，，若这三个点中有且仅有两个点在函数的
图像上，则正数 的最小值为（ ）．
A.B.C.D.
25. 如果函数的图象关于点中心对称，那么 的最小值为（ ）．
A.B.C.D.
26. 已知函数为偶函数，则函数在上
的值域为（ ）．
A.B.
C.D.
27. 定义在 上的奇函数的最小正周期为 ，当时，，
，的图象如图所示，则在区间上所有零点之和为（ ）．
A.B.
C.D.
三、 三角函数的图象变换
1. 平移变换
函数的图象可以看做将函数的图象上的所有的点向左（当
时）或向右（当时）平移 个单位而得到．
如下图中的：
（1）的图象与的图象形状是完全一样的，二者可以通过左右平移变换得到，
称此变换为平移变换或相位变换；更一般的结论：任何平移变换均不会改变图象的形状．
（2）左右平移是针对自变量 本身而言的，因此如果 有一系列诸如负号或者系数的前缀，应该将其提取之后再进行左右平移．
2. 伸缩变换
函数（且）的图象可以看做是把的图象上所有的点的横
坐标缩短为（当时）或伸长（当时）到原来的 倍（纵坐标不变）而得到．
如下图中的：
（1）由上面的变换发现， 可以控制变化函数的“胖瘦”，进而影响函数的周期．
（2）的图象与的图象的形状不同，此种变换为横向伸缩变换，也称周
期变换．
（3）推广到一般结论：函数
（
且
）的图象，可以看作是把函数
的图象上的点的
横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的 倍（纵坐标不变）而得到．
3. 振幅变换
函数
（
且
）的图象可以看做是将
的图象上所有的点
的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的 倍（横坐标不变）而得到．
如下图中的：
（1）由上面的变化发现， 可以控制函数的“高矮”，进而影响函数的振幅．
（2）函数的值域是．
（3） 的大小，反映了曲线纵向波动幅度的大小．
（4）的图象与的图象形状不同，此种变换称为纵向伸缩变换，也
叫振幅变换．
（5）推广到一般结论：函数
（
且
）的图象，可以看作是把函数
的图象
上的点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的 倍（横坐标不变）而得到．
经典例题
28. 为了得到函数的图象，只需将的图象上的所有点（ ）．
A. B. C. D.
横坐标伸长 倍，再向上平移 个单位长度横坐标伸长 倍，再向下平移 个单位长度横坐标缩短 倍，再向上平移 个单位长度横坐标缩短 倍，再向下平移 个单位长度
29. 已知函数：①，②，③，④，其中周期为 ，且在
上单调递增的是（ ）．
A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①③④
30. 将函数的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数（ ）．
A. B. C.
D.
在区间在区间在区间在区间
上单调递减上单调递增上单调递减上单调递增
31. 已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是 ，若将
的图象先向右平移 个单位，再向上平移 个单位，所得函数
（ 1 ）求的解析式．
（ 2 ）求的对称轴及单调区间．
为奇函数．
（ 3 ）若对任意，恒成立，求实数 的取值范围．
巩固练习
32. 先把函数的图象上所有的点先向右平移 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变）， 得到的函数图象的解析式为（ ）．
A.B.
C.D.
33. 为了得到函数的图象，只需将的图象上每一点（ ）．
A. 向左平移 个单位长度B. 向左平移 个单位长度
C. 向右平移 个单位长度D. 向右平移 个单位长度
34. 设函数，则（ ）．
A.
B. C. D.
在区间在区间在区间在区间
上是增函数
上是减函数
上是增函数
上是减函数
35. 已知函数的最小正周期是 ，将函数的图象向左平移
个单位长度后所得的函数图像过点
A. 有一条对称轴
B. 有一个对称中心
C. 在区间上单调递减
D. 在区间上单调递增
，则函数
（ ）．
36. 已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是 ，若将
的图象先向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度后，所得图象关于 轴对称且经过坐
标原点．
（ 1 ）求的解析式．
（ 2 ）若对任意
，
恒成立，求实数 的取值范围．
37. 若不等式对恒成立，则（ ）．
A.B.C.D.
导图总结
你学会了吗？快来用知识导图来总结本节课所学吧！
出门测
38. 函数在下列所给区间上单调递增的是（ ）．
A.B.
C.D.
39. 若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则 （
）．
A.B.C.D.
40. 先把函数的图象上所有的点先向右平移 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变）， 得到的函数图象的解析式为（ ）．
A.B.
C.D.
41. 已知函数
A.，
B.，
C.，
D.，
的部分图象如图所示，则（ ）．
12
相关学案
数学必修 第一册数学建模 建立函数模型解决实际问题学案： 这是一份数学必修 第一册<a href="/sx/tb_c4037448_t4/?tag_id=42" target="_blank">数学建模 建立函数模型解决实际问题学案</a>，文件包含函数的应用零点与函数模型-讲义教师版docx、函数的应用零点与函数模型-讲义学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共47页， 欢迎下载使用。
数学3.3 幂函数学案设计： 这是一份数学<a href="/sx/tb_c4000269_t4/?tag_id=42" target="_blank">3.3 幂函数学案设计</a>，文件包含幂函数与对勾函数-讲义教师版docx、幂函数与对勾函数-讲义学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共27页， 欢迎下载使用。
数学必修 第一册4.4 对数函数优质学案： 这是一份数学必修 第一册<a href="/sx/tb_c4000276_t4/?tag_id=42" target="_blank">4.4 对数函数优质学案</a>，文件包含对数运算与对数函数-讲义教师版docx、对数运算与对数函数-讲义学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共44页， 欢迎下载使用。
