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人教A版（2019）高中数学必修一讲义17三角函数综合
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这是一份人教A版（2019）高中数学必修一讲义17三角函数综合，文件包含三角函数综合-讲义教师版docx、三角函数综合-讲义学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共28页， 欢迎下载使用。
三角函数综合 一、 选填综合经典例题1. 函数的最大值是． 【备注】类二次法研究三角函数：利用同角三角函数的关系，将待研究的函数转化为以三角函 【答案】【解析】 ， 当 ，即 时，函数 取得最大值，且最大值为 ． 【标注】【知识点】类二次三角函数问题；同角三角函数的基本关系式 2. 已知 ， ，则 （ ）． A. B. C. D. 【备注】齐次化构造与二倍角公式的综合，当然本题也可以用消元的方法，以方程解出正弦、 【答案】C【解析】把条件中的式子两边平方，得， 即 ， 所以 ，所以 ， 即 ， 解得 或 ， 所以 ． 故选 ． 【标注】【知识点】同角三角函数的基本关系式；二倍角的正弦 3. 若在 中， ，则 的形状一定是( ) A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 【备注】 利用三角恒等变换判断三角形形状． 【答案】C【解析】 在中，，， ， ， ， 又 ， 是 的内角， ，即 ， 为等腰三角形， 故选 ．【标注】【知识点】利用三角恒等变换判断三角形形状 4. 已知函数 ，则 的增区间 ． 【备注】一"拆"（用和差角公式拆出括号内角），二”降“（二倍角公式降幂），三"并"（用辅助 【答案】【解析】， ． 令故答案为：． 【标注】【知识点】二倍角的正弦；二倍角的余弦；两角和与差的正弦；正弦函数的图象和性质 5. 已知函数 ．有下列四个结论： ①函数的值域为 ； ②函数的最小正周期为 ； ③函数在 上单调递增；④函数的图像的一条对称轴为． 其中正确的结论是（ ）． A. ②③ B. ②④ C. ①④ D. ①② 【备注】 可知 是函数 的一个周期，做出该函数在 上的图象，即不难进行选项判 断，本题体现了图象在解决三角函数问题中的重要性和泛用性．y321 –1O–1–21234567x 【答案】B【解析】对于①：∵，， 若 ，且 ， 则 ， ， ∴ ， 又 ， ， ∴不成立；又若，， 则 ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即满足， 此时 ，故①错； 对于②，当 时， ， ∴ ， 当 时， ， ∴ ， 当 时， ， ∴ ， ∴ 的最小正周期为 ，故②对； 对于③，∵ 在 上无单调性， 在 上单增， 在 上单减， 且 ，周期为 ， ∴ 在 上不单调递增，故③错； 对于④： ， ， ∴ ， ∴ 关于直线 对称， 故④正确；故选 ．【标注】【知识点】正弦函数的图象和性质巩固练习 6. 已知函数 ， 的值域为 ，则实数 的取值范围 是( ) A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意，可知： ， ． 令 ，则 ， 令 ，得 或 ， 由二次函数的图象即性质可知， 当 时， 的值域为 ， ． 故选： ．【标注】【知识点】类二次三角函数问题 7. 已知 ， 则 的最大值为 ． 【答案】【解析】因为，， 所以 ， 因为 ， ， 所以 ， 所以当 时 ， 的最大值为： ．【标注】【知识点】类二次三角函数问题 8. 若 ，则 ， ． 【答案】 ; 【解析】∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴解得： ， ∴ ， ， ∴ ． 故答案为： ； ． 【标注】【知识点】同角三角函数的基本关系式；同角三角函数的基本关系式的化简和求值；两角和与差的正切；和差角公式化简求值综合运用 9. 已知在 中， ， ，则 的值为（ ）． A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D【解析】在中，，，． 因为 ，所以 ． 又 ，所以 ，所以 ． 所以 为锐角，故 ． 从而 ． 【标注】【知识点】两角和与差的余弦 10. ， ， 是 的三个内角，且 ， 是方程 的两个实数根，则 是（ ）． A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 以上均有可能 【答案】A 【解析】由韦达定理可知，，所以，故 ， 为锐角，， 故 为钝角， 答案为A．【标注】【知识点】利用三角恒等变换判断三角形形状 11. 在 中，若 ，则 的形状为（ ）． A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D【解析】，即 ． 即 ． 故 或 ． 即 为直角或等腰三角形． 故选 ．【标注】【素养】逻辑推理；数学运算【知识点】利用三角恒等变换判断三角形形状 12. 已知函数A.B.，，，下列命题中的真命题有（ ）．为奇函数对 恒成立 C.D.，，，若，若，则，则的最小值为 【答案】BC【解析】A 选项：由题意，； ∵ 的图象如图所示： y x O （ ） 函数 的图象是 的图象向左或向右平移 个单位， 它不会是奇函数的，故 错误． B 选项： ，∴ ， ∴ ，∴ ， ； 又 ，∴取 或 时， ∴ 对 恒成立， 正确． C 选项： 时， 的最小值为 ，∴ 正确． D 选项：当 时， ∴ 错误． 故选 B C .【标注】【知识点】奇偶性；半角公式；二倍角的余弦；余弦型三角函数的图象与性质；余弦函数的图象和性质 13. 函数 ，下列四个结论不正确的有（ ）． A. B. C. D.是以 为周期的函数图象的对称轴为直线当且仅当当且仅当时，取得最小值时， 【答案】BC【解析】如图可知，最小正周期为 ，对称轴为，， 当 或 时，取最小值 ， 由 ， 得 ， 综上所述，正确的为 ，此外，由之前的习题可知，的解析式还可以写为． 【标注】【知识点】正余弦、正切函数的图象性质综合考察 14. 若两个锐角 ， 满足 ，则下列四个选项中成立的是（ ）． A. B. C. D. 【备注】 可用特殊值法或利用锐角的三角函数的不等关系： ． 【答案】C【解析】方法一：，令，那么，又 为锐角， 故 ， 在 上单调递减． ① ， 令 ， ， 故 在 上单调递增，即 ， （当 时）则 ，又 ， 则 ， ； ② ， 令 ， ， 故在单调递减，（当 时）， 故 ，且 ，故 ，即 ， 综上， ． 故选 ．方法二：特殊值快解 令，则， ． 故选 ．方法三：（利用锐角三角函数的不等关系），．，． ， ． 综上： ． 故选 ．【标注】【知识点】通过构造函数证明不等式；利用公式和四则运算法则求导；二倍角的正弦 15. 已知 ，若 满足不等式 ，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【备注】 构造单调性已知的函数． 【答案】A【解析】解：， ， 即 ， 则 且 ．即 且 ，即 ， 设 ， ， 则不等式 等价为 恒成立， 函数 ，则当 时， 恒成立，即 在定义域上为增函数， 则 等价于 恒成立， ，，即， 即 ，即 的取值范围是 ， 故选：A．【标注】【知识点】利用导数证明不等式恒成立问题二、 三角函数的实际应用经典例题 16. 摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度 米，转盘直径为 米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启 后按逆时针匀速旋转 分钟，当 时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法 中，正确的是（ ）． A. B. C.摩天轮离地面最近的距离为 米若旋转 分钟后，游客距离地面的高度为 米，则若在 ， 时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为 D. ， ，使得游客在该时刻距离地面的高度均为 米 【备注】 仿照用在单位圆上研究三角函数，得出高度 关于时间 的函数． 【答案】BC【解析】A 选项：米， ∴离地面最近的距离为 米，故 错误； B 选项：∵ 时，旋转角度为 ， ∴ 分钟后角度 ， ∴ ， ∴ ，故 正确； C 选项：若在 ， 时刻，游客距离地面高度相等，则在摩天轮转一圈内，， ∴ ，但摩天轮不止转一圈，当第二次高度相等时， ，故 D 选项：设，故 正确；，则时，存在 使米，，当时， 最小， ， ∴不存在 ， ，使高度均为 米，故 错误． 故选 B C .【标注】【知识点】三角函数的实际应用17. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为 的筒车按逆时针方向每分钟转 圈，筒车的轴心 距离水面的高度为 米．设筒车上的某个盛水筒 到水面的距离为 （单位： ）（在水面下则 为负数），若以盛水筒 刚浮出水面时开始计算时间，则 与时间 （单位： ）之间的关系为．则盛水筒出水后到达最高点的最少时间为（ ）．水面 A. B. C. D. 【备注】 可直接利用角速度解决本问题． 【答案】D【解析】振幅 即为半径，即， ∵逆时针方向每分钟转 圈， ∴ ， ， ∵ 时， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ，即 ． 当 ，即 时， 取最大值， 当 时， ． 故选 ．【标注】【知识点】三角函数的实际应用巩固练习18. 如图，一个水轮的半径为 ，水轮轴心 距离水面的高度为 ，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动 圈，当水轮上点 从水中浮现时的起始（图中点 ）开始计时，记 为点 距离水面的高度关于时间 的函数，则下列结论正确的是（ ）．A.B. C.D.若 ，则不论 为何值，是定值 【答案】BD【解析】如图，以水轮所在面为坐标平面，以水轮的轴心 为坐标原点， 轴和 轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系，依题意得 在 内所转过的角度为 ， 则 ， 则点 的纵坐标为 ，点 距离水面的高度关于时间 的函数； ，选项 错误； ， ， ，选 项 正确； 由得，解得，选项 错误；, 展开整理，得 为定值，选项 正确， 故答案为 ．【标注】【素养】数学建模【知识点】三角函数的实际应用【思想】数形结合思想19. 《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为 米，肩宽约为 米，“弓”所在圆的半径约为 米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）． A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B【解析】“弓”所在弧长， 对应的圆心角为 ， 故两手间的距离 ， 故 项错误， 项正确． 故选 ．【标注】【知识点】三角函数的实际应用三、 解答综合经典例题 20. 已知 ， ， ， ． （ 1 ）求（ 2 ）求角的值．的大小． 【备注】 应用三角恒等变换求三角函数值、求角的问题．注意整体代换或角度范围． 【答案】（ 1 ）（ 2 ）．． 【解析】（ 1 ）∵ ， ， ∴ ， ∴ ． （ 2 ） ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ． 【标注】【知识点】利用正切和差角公式凑角求值；已知正弦余弦正切或其关系求值 21. 已知函数（ 1 ）求函数．的单调递增区间和对称中心． （ 2 ）当 时，求函数 的值域． （ 3 ）当 时，解不等式 ． 【备注】 应用三角恒等变换化简，转换成正弦型函数． 【答案】（ 1 ）单调递增区间： ， ，对称中心 ， ． （ 2 ） ． （ 3 ） ． 【解析】（ 1 ） ．令，， 解得 ， ， 即 的单调递增区间为 ， ． 令 ， ，解得 ， ， 即 的对称中心为 ， ． （ 2 ） ，则 ，则 ， 故 的值域为 ． （ 3 ） ，则 ， 要使 ，即 ，则 ． 由 图象可得 或 或 ， 解得 ． 【标注】【知识点】正弦函数的图象和性质 22. 定义函数（ 1 ）求函数（ 2 ）将函数．的最小正周期．的图象向左平移个单位得到函数的图象关于 轴对称，求 的最小值．（ 3 ）判断方程的根的个数．（不需写出解答过程） 【备注】正弦型函数与函数图象变换、函数零点综合的问题，解决此类问题的核心思想是数形 【答案】（ 1 ） ．（ 2 ） ．（ 3 ） ．【解析】（ 1 ）函数的最小正周期， 函数 的最小正周期 ． 故答案为： ． （ 2 ）将函数的图象向左平移个单位得到，由其图象关于 轴对称可得 ， ， ， 又 ，故 的最小值为 ． 故答案为： ． （ 3 ）函数 的图象与函数 的图象有 个交点，故方程 的根的个数为 个．故答案为： ． y x O 【标注】【知识点】正弦型函数与零点综合问题巩固练习 23. 已知 ， ，且 ， （ 1 ）求 和 ． （ 2 ）求 的值．【答案】（ 1 ），． （ 2 ） ． 【解析】（ 1 ）∵ ， ， ∴，． （ 2 ）∵ ， ∴ ， ， 即 ， 又 ， ∴ ， ， ∴ ， 又∵ 且 ， ∴ ． 【标注】【知识点】和差角公式化简求值综合运用；两角和与差的正弦；同角三角函数的基本关系式；同角三角函数的基本关系式的化简和求值 24. 化简： ． 【答案】 ．【解析】解法一：原式 ． 解法二：原式 ． 【标注】【知识点】倍角、和差角公式综合 25. 已知函数 ， ， ，且 ， ． （ 1 ）求（ 2 ）若12的解析式．．求 的单调递增. 区间．求 的图象位于 轴右. 侧. 的. 第. 三. 条. 对称轴方程． （ 3 ）若【答案】（ 1 ）在区间．上恰. 有.个零点，求 的取值范围． （ 2 ）1 ， ． 2 ． （ 3 ） ． 【解析】（ 1 ）∵ ， ， 且 ， ， ∴ ， 即 ， 解得 ， ， ∴ ． （ 2 ）1 ， 令 ， ， 解得： ， ， 则 的单调递增区间为 ， ． 2 令 ， ，解得 ， ， 则 的图象位于 轴右侧的第三条对称轴方程为 ，即 ． （ 3 ） ， 当 时， ， 若 在区间 上恰有 个零点，则 ， 解得： ， 即 的取值范围是 ． 【标注】【知识点】函数求值问题；正弦型函数与零点综合问题；求正弦型函数的单调区间 26. 已知函数 ，函数 为奇函数． （ 1 ）求函数（ 2 ）将函数的单调递增区间．的图象向右平移 个单位，然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，证明：当 时， ． 【答案】（ 1 ）（ 2 ）证明见解析．． 【解析】（ 1 ）由题意知： 为奇函数， 所以 ， ， 因为 ， 所以 ， ， 所以 ， 由 ， ， 解得： ， ， 所以 的单调递增区间为（ 2 ）由题知：将 的图象向右平移 个单位得．即 ，再将图象各点的横坐标缩小到原来的 倍，得， 因为 ， 所以 ， 因此 ， 所以 ． 【标注】【知识点】正余弦型、正切型函数图象变换；求正弦型函数的单调区间；求固定区间正弦 型函数值域；利用函数奇偶性求函数解析式出门测 27. 已知 ，则 的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ， ∴ ． 故选： ．【标注】【知识点】倍角、和差角公式综合；辅助角公式；和差角公式化简求值综合运用；两角和与差的余弦 28. 已知 ，则 （ ）． A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ． 【标注】【知识点】半角公式；二倍角的余弦 29. 已知函数 ． （ 1 ）求 的最小正周期． （ 2 ）若 在区间 上的图象与直线 有且仅有两个公共点，求实数 的取值范围． 【答案】（ 1 ） 的最小正周期为 ． （ 2 ） 的取值范围为 ． 【解析】（ 1 ） ， ∴（ 2 ）若的最小正周期为，． 则 ， 由 的图象知，要使 与 有且仅有两个公共点， 则需 ， 即 ，∴ 的取值范围为． 【标注】【知识点】函数零点的概念；已知零点情况求参数的取值范围；正弦型函数的图象与性质22
三角函数综合 一、 选填综合经典例题1. 函数的最大值是． 【备注】类二次法研究三角函数：利用同角三角函数的关系，将待研究的函数转化为以三角函 【答案】【解析】 ， 当 ，即 时，函数 取得最大值，且最大值为 ． 【标注】【知识点】类二次三角函数问题；同角三角函数的基本关系式 2. 已知 ， ，则 （ ）． A. B. C. D. 【备注】齐次化构造与二倍角公式的综合，当然本题也可以用消元的方法，以方程解出正弦、 【答案】C【解析】把条件中的式子两边平方，得， 即 ， 所以 ，所以 ， 即 ， 解得 或 ， 所以 ． 故选 ． 【标注】【知识点】同角三角函数的基本关系式；二倍角的正弦 3. 若在 中， ，则 的形状一定是( ) A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 【备注】 利用三角恒等变换判断三角形形状． 【答案】C【解析】 在中，，， ， ， ， 又 ， 是 的内角， ，即 ， 为等腰三角形， 故选 ．【标注】【知识点】利用三角恒等变换判断三角形形状 4. 已知函数 ，则 的增区间 ． 【备注】一"拆"（用和差角公式拆出括号内角），二”降“（二倍角公式降幂），三"并"（用辅助 【答案】【解析】， ． 令故答案为：． 【标注】【知识点】二倍角的正弦；二倍角的余弦；两角和与差的正弦；正弦函数的图象和性质 5. 已知函数 ．有下列四个结论： ①函数的值域为 ； ②函数的最小正周期为 ； ③函数在 上单调递增；④函数的图像的一条对称轴为． 其中正确的结论是（ ）． A. ②③ B. ②④ C. ①④ D. ①② 【备注】 可知 是函数 的一个周期，做出该函数在 上的图象，即不难进行选项判 断，本题体现了图象在解决三角函数问题中的重要性和泛用性．y321 –1O–1–21234567x 【答案】B【解析】对于①：∵，， 若 ，且 ， 则 ， ， ∴ ， 又 ， ， ∴不成立；又若，， 则 ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即满足， 此时 ，故①错； 对于②，当 时， ， ∴ ， 当 时， ， ∴ ， 当 时， ， ∴ ， ∴ 的最小正周期为 ，故②对； 对于③，∵ 在 上无单调性， 在 上单增， 在 上单减， 且 ，周期为 ， ∴ 在 上不单调递增，故③错； 对于④： ， ， ∴ ， ∴ 关于直线 对称， 故④正确；故选 ．【标注】【知识点】正弦函数的图象和性质巩固练习 6. 已知函数 ， 的值域为 ，则实数 的取值范围 是( ) A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意，可知： ， ． 令 ，则 ， 令 ，得 或 ， 由二次函数的图象即性质可知， 当 时， 的值域为 ， ． 故选： ．【标注】【知识点】类二次三角函数问题 7. 已知 ， 则 的最大值为 ． 【答案】【解析】因为，， 所以 ， 因为 ， ， 所以 ， 所以当 时 ， 的最大值为： ．【标注】【知识点】类二次三角函数问题 8. 若 ，则 ， ． 【答案】 ; 【解析】∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴解得： ， ∴ ， ， ∴ ． 故答案为： ； ． 【标注】【知识点】同角三角函数的基本关系式；同角三角函数的基本关系式的化简和求值；两角和与差的正切；和差角公式化简求值综合运用 9. 已知在 中， ， ，则 的值为（ ）． A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D【解析】在中，，，． 因为 ，所以 ． 又 ，所以 ，所以 ． 所以 为锐角，故 ． 从而 ． 【标注】【知识点】两角和与差的余弦 10. ， ， 是 的三个内角，且 ， 是方程 的两个实数根，则 是（ ）． A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 以上均有可能 【答案】A 【解析】由韦达定理可知，，所以，故 ， 为锐角，， 故 为钝角， 答案为A．【标注】【知识点】利用三角恒等变换判断三角形形状 11. 在 中，若 ，则 的形状为（ ）． A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D【解析】，即 ． 即 ． 故 或 ． 即 为直角或等腰三角形． 故选 ．【标注】【素养】逻辑推理；数学运算【知识点】利用三角恒等变换判断三角形形状 12. 已知函数A.B.，，，下列命题中的真命题有（ ）．为奇函数对 恒成立 C.D.，，，若，若，则，则的最小值为 【答案】BC【解析】A 选项：由题意，； ∵ 的图象如图所示： y x O （ ） 函数 的图象是 的图象向左或向右平移 个单位， 它不会是奇函数的，故 错误． B 选项： ，∴ ， ∴ ，∴ ， ； 又 ，∴取 或 时， ∴ 对 恒成立， 正确． C 选项： 时， 的最小值为 ，∴ 正确． D 选项：当 时， ∴ 错误． 故选 B C .【标注】【知识点】奇偶性；半角公式；二倍角的余弦；余弦型三角函数的图象与性质；余弦函数的图象和性质 13. 函数 ，下列四个结论不正确的有（ ）． A. B. C. D.是以 为周期的函数图象的对称轴为直线当且仅当当且仅当时，取得最小值时， 【答案】BC【解析】如图可知，最小正周期为 ，对称轴为，， 当 或 时，取最小值 ， 由 ， 得 ， 综上所述，正确的为 ，此外，由之前的习题可知，的解析式还可以写为． 【标注】【知识点】正余弦、正切函数的图象性质综合考察 14. 若两个锐角 ， 满足 ，则下列四个选项中成立的是（ ）． A. B. C. D. 【备注】 可用特殊值法或利用锐角的三角函数的不等关系： ． 【答案】C【解析】方法一：，令，那么，又 为锐角， 故 ， 在 上单调递减． ① ， 令 ， ， 故 在 上单调递增，即 ， （当 时）则 ，又 ， 则 ， ； ② ， 令 ， ， 故在单调递减，（当 时）， 故 ，且 ，故 ，即 ， 综上， ． 故选 ．方法二：特殊值快解 令，则， ． 故选 ．方法三：（利用锐角三角函数的不等关系），．，． ， ． 综上： ． 故选 ．【标注】【知识点】通过构造函数证明不等式；利用公式和四则运算法则求导；二倍角的正弦 15. 已知 ，若 满足不等式 ，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【备注】 构造单调性已知的函数． 【答案】A【解析】解：， ， 即 ， 则 且 ．即 且 ，即 ， 设 ， ， 则不等式 等价为 恒成立， 函数 ，则当 时， 恒成立，即 在定义域上为增函数， 则 等价于 恒成立， ，，即， 即 ，即 的取值范围是 ， 故选：A．【标注】【知识点】利用导数证明不等式恒成立问题二、 三角函数的实际应用经典例题 16. 摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度 米，转盘直径为 米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启 后按逆时针匀速旋转 分钟，当 时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法 中，正确的是（ ）． A. B. C.摩天轮离地面最近的距离为 米若旋转 分钟后，游客距离地面的高度为 米，则若在 ， 时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为 D. ， ，使得游客在该时刻距离地面的高度均为 米 【备注】 仿照用在单位圆上研究三角函数，得出高度 关于时间 的函数． 【答案】BC【解析】A 选项：米， ∴离地面最近的距离为 米，故 错误； B 选项：∵ 时，旋转角度为 ， ∴ 分钟后角度 ， ∴ ， ∴ ，故 正确； C 选项：若在 ， 时刻，游客距离地面高度相等，则在摩天轮转一圈内，， ∴ ，但摩天轮不止转一圈，当第二次高度相等时， ，故 D 选项：设，故 正确；，则时，存在 使米，，当时， 最小， ， ∴不存在 ， ，使高度均为 米，故 错误． 故选 B C .【标注】【知识点】三角函数的实际应用17. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为 的筒车按逆时针方向每分钟转 圈，筒车的轴心 距离水面的高度为 米．设筒车上的某个盛水筒 到水面的距离为 （单位： ）（在水面下则 为负数），若以盛水筒 刚浮出水面时开始计算时间，则 与时间 （单位： ）之间的关系为．则盛水筒出水后到达最高点的最少时间为（ ）．水面 A. B. C. D. 【备注】 可直接利用角速度解决本问题． 【答案】D【解析】振幅 即为半径，即， ∵逆时针方向每分钟转 圈， ∴ ， ， ∵ 时， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ，即 ． 当 ，即 时， 取最大值， 当 时， ． 故选 ．【标注】【知识点】三角函数的实际应用巩固练习18. 如图，一个水轮的半径为 ，水轮轴心 距离水面的高度为 ，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动 圈，当水轮上点 从水中浮现时的起始（图中点 ）开始计时，记 为点 距离水面的高度关于时间 的函数，则下列结论正确的是（ ）．A.B. C.D.若 ，则不论 为何值，是定值 【答案】BD【解析】如图，以水轮所在面为坐标平面，以水轮的轴心 为坐标原点， 轴和 轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系，依题意得 在 内所转过的角度为 ， 则 ， 则点 的纵坐标为 ，点 距离水面的高度关于时间 的函数； ，选项 错误； ， ， ，选 项 正确； 由得，解得，选项 错误；, 展开整理，得 为定值，选项 正确， 故答案为 ．【标注】【素养】数学建模【知识点】三角函数的实际应用【思想】数形结合思想19. 《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为 米，肩宽约为 米，“弓”所在圆的半径约为 米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）． A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B【解析】“弓”所在弧长， 对应的圆心角为 ， 故两手间的距离 ， 故 项错误， 项正确． 故选 ．【标注】【知识点】三角函数的实际应用三、 解答综合经典例题 20. 已知 ， ， ， ． （ 1 ）求（ 2 ）求角的值．的大小． 【备注】 应用三角恒等变换求三角函数值、求角的问题．注意整体代换或角度范围． 【答案】（ 1 ）（ 2 ）．． 【解析】（ 1 ）∵ ， ， ∴ ， ∴ ． （ 2 ） ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ． 【标注】【知识点】利用正切和差角公式凑角求值；已知正弦余弦正切或其关系求值 21. 已知函数（ 1 ）求函数．的单调递增区间和对称中心． （ 2 ）当 时，求函数 的值域． （ 3 ）当 时，解不等式 ． 【备注】 应用三角恒等变换化简，转换成正弦型函数． 【答案】（ 1 ）单调递增区间： ， ，对称中心 ， ． （ 2 ） ． （ 3 ） ． 【解析】（ 1 ） ．令，， 解得 ， ， 即 的单调递增区间为 ， ． 令 ， ，解得 ， ， 即 的对称中心为 ， ． （ 2 ） ，则 ，则 ， 故 的值域为 ． （ 3 ） ，则 ， 要使 ，即 ，则 ． 由 图象可得 或 或 ， 解得 ． 【标注】【知识点】正弦函数的图象和性质 22. 定义函数（ 1 ）求函数（ 2 ）将函数．的最小正周期．的图象向左平移个单位得到函数的图象关于 轴对称，求 的最小值．（ 3 ）判断方程的根的个数．（不需写出解答过程） 【备注】正弦型函数与函数图象变换、函数零点综合的问题，解决此类问题的核心思想是数形 【答案】（ 1 ） ．（ 2 ） ．（ 3 ） ．【解析】（ 1 ）函数的最小正周期， 函数 的最小正周期 ． 故答案为： ． （ 2 ）将函数的图象向左平移个单位得到，由其图象关于 轴对称可得 ， ， ， 又 ，故 的最小值为 ． 故答案为： ． （ 3 ）函数 的图象与函数 的图象有 个交点，故方程 的根的个数为 个．故答案为： ． y x O 【标注】【知识点】正弦型函数与零点综合问题巩固练习 23. 已知 ， ，且 ， （ 1 ）求 和 ． （ 2 ）求 的值．【答案】（ 1 ），． （ 2 ） ． 【解析】（ 1 ）∵ ， ， ∴，． （ 2 ）∵ ， ∴ ， ， 即 ， 又 ， ∴ ， ， ∴ ， 又∵ 且 ， ∴ ． 【标注】【知识点】和差角公式化简求值综合运用；两角和与差的正弦；同角三角函数的基本关系式；同角三角函数的基本关系式的化简和求值 24. 化简： ． 【答案】 ．【解析】解法一：原式 ． 解法二：原式 ． 【标注】【知识点】倍角、和差角公式综合 25. 已知函数 ， ， ，且 ， ． （ 1 ）求（ 2 ）若12的解析式．．求 的单调递增. 区间．求 的图象位于 轴右. 侧. 的. 第. 三. 条. 对称轴方程． （ 3 ）若【答案】（ 1 ）在区间．上恰. 有.个零点，求 的取值范围． （ 2 ）1 ， ． 2 ． （ 3 ） ． 【解析】（ 1 ）∵ ， ， 且 ， ， ∴ ， 即 ， 解得 ， ， ∴ ． （ 2 ）1 ， 令 ， ， 解得： ， ， 则 的单调递增区间为 ， ． 2 令 ， ，解得 ， ， 则 的图象位于 轴右侧的第三条对称轴方程为 ，即 ． （ 3 ） ， 当 时， ， 若 在区间 上恰有 个零点，则 ， 解得： ， 即 的取值范围是 ． 【标注】【知识点】函数求值问题；正弦型函数与零点综合问题；求正弦型函数的单调区间 26. 已知函数 ，函数 为奇函数． （ 1 ）求函数（ 2 ）将函数的单调递增区间．的图象向右平移 个单位，然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，证明：当 时， ． 【答案】（ 1 ）（ 2 ）证明见解析．． 【解析】（ 1 ）由题意知： 为奇函数， 所以 ， ， 因为 ， 所以 ， ， 所以 ， 由 ， ， 解得： ， ， 所以 的单调递增区间为（ 2 ）由题知：将 的图象向右平移 个单位得．即 ，再将图象各点的横坐标缩小到原来的 倍，得， 因为 ， 所以 ， 因此 ， 所以 ． 【标注】【知识点】正余弦型、正切型函数图象变换；求正弦型函数的单调区间；求固定区间正弦 型函数值域；利用函数奇偶性求函数解析式出门测 27. 已知 ，则 的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ， ∴ ． 故选： ．【标注】【知识点】倍角、和差角公式综合；辅助角公式；和差角公式化简求值综合运用；两角和与差的余弦 28. 已知 ，则 （ ）． A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ． 【标注】【知识点】半角公式；二倍角的余弦 29. 已知函数 ． （ 1 ）求 的最小正周期． （ 2 ）若 在区间 上的图象与直线 有且仅有两个公共点，求实数 的取值范围． 【答案】（ 1 ） 的最小正周期为 ． （ 2 ） 的取值范围为 ． 【解析】（ 1 ） ， ∴（ 2 ）若的最小正周期为，． 则 ， 由 的图象知，要使 与 有且仅有两个公共点， 则需 ， 即 ，∴ 的取值范围为． 【标注】【知识点】函数零点的概念；已知零点情况求参数的取值范围；正弦型函数的图象与性质22
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