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数学3.3 幂函数学案设计
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这是一份数学3.3 幂函数学案设计，文件包含幂函数与对勾函数-讲义教师版docx、幂函数与对勾函数-讲义学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共27页， 欢迎下载使用。
幂函数与对勾函数
一、 幂函数
1. 幂函数的定义
一般地，函数
叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数.
注意：幂函数的构成条件：
①系数为
②底数是自变量
③指数为常数．
满足这三个条件，方为幂函数，否则不是，如
，
，
都不是幂函数．
注意：幂函数的定义域取决于指数 ，须使得指数幂的运算有意义．
经典例题
1. 若函数是幂函数，则实数（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
2. 函数
，当 取
时是反比例函数；当 取
时是幂函数．
3. 已知函数是幂函数，且函数过点，则（ ）．
A.B.C.D.
2. 幂函数的图象与性质
1. 几个常见幂函数
函数
定义域
图象
奇偶性
单调减区间
单调性
单调增区间
值域
定点
2. 为正数时的图象和性质
当时的图象见下图：
时：
①图象都通过点，；
②在第一象限内，函数值随 的增大而增大，即在
上是
；
③当时，函数在第一象限的图象是的；
④当时，函数在第一象限的图象是的．
3. 为负数时的图象和性质
当时的图象见下图：
时：
①图象都通过点；
②在第一象限内，函数值随 的增大而减小，即在
上是
；
③在第一象限内，图象向上与 轴无限地接近，向右与 轴无限地接近．
4. 幂函数的其他常用性质
（1）任何幂函数的图象与坐标轴至多只有交点；
（2）任何幂函数图象都不经过第象限；
（3）任何两个幂函数的图象最多有交点；
（4） 越大，函数在右侧部分的图象（指大）．
经典例题
4. 若幂函数
的函数图象经过原点，则
．
5. 幂函数，当时为减函数，则实数 的值为（ ）．
A.B.
C.或D.
6. 如图所示，幂函数在第一象限的图象，比较 ， ， ， ， ， 的大小（ ）．
A. B. C. D.
7. 若，则实数 的取值范围是（ ）．
A.B.
C.D.
8. 已知函数为偶函数，且则 的值为（ ）．
A.B.C. 或D. 不确定
巩固练习
9. 幂函数经过点，则是（ ）．
A. B. C. D.
偶函数，且在偶函数，且在奇函数，且在
非奇非偶函数，且在
上是增函数上是减函数上减函数
上是增函数
10. 函数是幂函数且在上单调递减，则实数 的值为．
11. 关于幂函数及其图象，有下列四个命题：
①其图象一定不通过第四象限．
②当时，其图象关于直线对称．
③当时，函数是增函数．
④的图象与的图象至少有两个交点
其中正确的命题个数是（ ）．
A. 个B. 个C. 个D. 个
12. 设；，则 是 成立的（ ）．
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要
13. 已知函数
（ 1 ）求 的值及函数
（实数
的解析式．
）的图象关于 轴对称，且
．
（ 2 ）若，求实数 的取值范围．
14. 已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若
，则实数 的取值范围是（ ）．
A.
B. C. D.
二、 “对勾函数”和“飘带函数”
1. 对勾函数和飘带函数的图象与性质
（一） 对勾函数
形如“”的函数叫做对勾函数，是一个奇函数，例如，其图象如
下：
y
–10
–9
–8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
5 4 3 2 1
O
–1 –2 –3 –4 –5 –6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10x
该函数在和上单调增，在和上单调减．
对于一般的对勾函数，其在和上单调增，在
和上单调减．记忆方法是：让加号两边的 和 相等，解出的 就是单调性改变
的临界点．
（二） 飘带函数
形如
的函数也被叫做"飘带函数"，也是一个奇函数，根据单调性的运
算性质，我们不难判断出其在和上单调增，例如图象如下图．
y
–5
–4
–3
–2
–1
5
4
3
2
1
O
–1
–2
–3
–4
1
2
3
4
5
x
飘带函数与 轴交点横坐标即为对勾函数“拐
点”的横坐标，都是．
经典例题
15. 函数的单调增区间是（ ）．
A.，B.
C.，D.
16. 已知，则的最小值为．
17.，的值域为．
18. 已知函数，其在区间上单调递增，则 的取值范围为．
巩固练习
19. 函数
单调递增区间为
．
20. 已知，则在区间上的最大值与最小值之和为（ ）．
A.B.C.D.
21. 三个同学对问题“关于 的不等式在上恒成立，求实数 的取值范围”
提出各自的解题思路．
甲说：“只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值．”
乙说：“把不等式变形为左边含变量 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于 的函数，作出函数的图象”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结果，即 的取值范围是
．
22. 已知函数，若对任意实数 ，关于 的不等式在区间上总有
解，则实数 的取值范围为．
导图总结
你学会了吗？快来用思维导图总结本节课所学吧！
出门测
23. 已知幂函数的图象关于 轴对称，且在上是减函数，则
．
24. 对于函数，当时， 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
25. 设，若关于 的不等式在区间上有解，则（ ）．
A.B.
C.D.
26. 已知函数，则满足的 的取值范围是．
8
幂函数与对勾函数
一、 幂函数
1. 幂函数的定义
一般地，函数
叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数.
注意：幂函数的构成条件：
①系数为
②底数是自变量
③指数为常数．
满足这三个条件，方为幂函数，否则不是，如
，
，
都不是幂函数．
注意：幂函数的定义域取决于指数 ，须使得指数幂的运算有意义．
经典例题
1. 若函数是幂函数，则实数（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
2. 函数
，当 取
时是反比例函数；当 取
时是幂函数．
3. 已知函数是幂函数，且函数过点，则（ ）．
A.B.C.D.
2. 幂函数的图象与性质
1. 几个常见幂函数
函数
定义域
图象
奇偶性
单调减区间
单调性
单调增区间
值域
定点
2. 为正数时的图象和性质
当时的图象见下图：
时：
①图象都通过点，；
②在第一象限内，函数值随 的增大而增大，即在
上是
；
③当时，函数在第一象限的图象是的；
④当时，函数在第一象限的图象是的．
3. 为负数时的图象和性质
当时的图象见下图：
时：
①图象都通过点；
②在第一象限内，函数值随 的增大而减小，即在
上是
；
③在第一象限内，图象向上与 轴无限地接近，向右与 轴无限地接近．
4. 幂函数的其他常用性质
（1）任何幂函数的图象与坐标轴至多只有交点；
（2）任何幂函数图象都不经过第象限；
（3）任何两个幂函数的图象最多有交点；
（4） 越大，函数在右侧部分的图象（指大）．
经典例题
4. 若幂函数
的函数图象经过原点，则
．
5. 幂函数，当时为减函数，则实数 的值为（ ）．
A.B.
C.或D.
6. 如图所示，幂函数在第一象限的图象，比较 ， ， ， ， ， 的大小（ ）．
A. B. C. D.
7. 若，则实数 的取值范围是（ ）．
A.B.
C.D.
8. 已知函数为偶函数，且则 的值为（ ）．
A.B.C. 或D. 不确定
巩固练习
9. 幂函数经过点，则是（ ）．
A. B. C. D.
偶函数，且在偶函数，且在奇函数，且在
非奇非偶函数，且在
上是增函数上是减函数上减函数
上是增函数
10. 函数是幂函数且在上单调递减，则实数 的值为．
11. 关于幂函数及其图象，有下列四个命题：
①其图象一定不通过第四象限．
②当时，其图象关于直线对称．
③当时，函数是增函数．
④的图象与的图象至少有两个交点
其中正确的命题个数是（ ）．
A. 个B. 个C. 个D. 个
12. 设；，则 是 成立的（ ）．
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要
13. 已知函数
（ 1 ）求 的值及函数
（实数
的解析式．
）的图象关于 轴对称，且
．
（ 2 ）若，求实数 的取值范围．
14. 已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若
，则实数 的取值范围是（ ）．
A.
B. C. D.
二、 “对勾函数”和“飘带函数”
1. 对勾函数和飘带函数的图象与性质
（一） 对勾函数
形如“”的函数叫做对勾函数，是一个奇函数，例如，其图象如
下：
y
–10
–9
–8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
5 4 3 2 1
O
–1 –2 –3 –4 –5 –6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10x
该函数在和上单调增，在和上单调减．
对于一般的对勾函数，其在和上单调增，在
和上单调减．记忆方法是：让加号两边的 和 相等，解出的 就是单调性改变
的临界点．
（二） 飘带函数
形如
的函数也被叫做"飘带函数"，也是一个奇函数，根据单调性的运
算性质，我们不难判断出其在和上单调增，例如图象如下图．
y
–5
–4
–3
–2
–1
5
4
3
2
1
O
–1
–2
–3
–4
1
2
3
4
5
x
飘带函数与 轴交点横坐标即为对勾函数“拐
点”的横坐标，都是．
经典例题
15. 函数的单调增区间是（ ）．
A.，B.
C.，D.
16. 已知，则的最小值为．
17.，的值域为．
18. 已知函数，其在区间上单调递增，则 的取值范围为．
巩固练习
19. 函数
单调递增区间为
．
20. 已知，则在区间上的最大值与最小值之和为（ ）．
A.B.C.D.
21. 三个同学对问题“关于 的不等式在上恒成立，求实数 的取值范围”
提出各自的解题思路．
甲说：“只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值．”
乙说：“把不等式变形为左边含变量 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于 的函数，作出函数的图象”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结果，即 的取值范围是
．
22. 已知函数，若对任意实数 ，关于 的不等式在区间上总有
解，则实数 的取值范围为．
导图总结
你学会了吗？快来用思维导图总结本节课所学吧！
出门测
23. 已知幂函数的图象关于 轴对称，且在上是减函数，则
．
24. 对于函数，当时， 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
25. 设，若关于 的不等式在区间上有解，则（ ）．
A.B.
C.D.
26. 已知函数，则满足的 的取值范围是．
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