专题7.4 复数运算的综合应用大题专项训练【四大题型】-2023-2024学年高一数学系列（人教A版2019必修第二册）

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专题7.4 复数运算的综合应用大题专项训练【四大题型】【人教A版（2019）】姓名：___________班级：___________考号：___________题型一复数的四则运算1．（2023下·河北邢台·高一统考期末）已知复数z满足z+2i=5，z=a+3−aia>0.(1)求a；(2)若复数z1满足z1z1+2=a+2i，求z1.2．（2023·高一课时练习）计算：(1)1+2i+7−11i−5+6i；(2)5i−6+8i−−1+3i；(3)a+bi−2a−3bi−3ia，b∈R.3．（2023·高一课时练习）设f(z)=z−2i，z1=3+4i，z2=−2−i，求：（1）f(z1−z2)的值；（2）f(z1+z2)的值．4．（2023·高一课时练习）已知复数a1+b1i，a2+b2i，a3+b3ia1,a2,a3,b1,b2,b3∈R，分别记作z1，z2，z3，即z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i，求证：(1)z1z2=z2z1；(2)z1z2z3=z1z2z3；(3)z1z2+z3=z1z2+z1z3．5．（2023·全国·高一专题练习）已知复数z1=cosα+isinα,z2=cosβ−isinβ,α,β均为锐角，且z1−z2=255.(1)求cosα+β的值；(2)若cosα=45，求cosβ的值.6．（2023下·黑龙江鸡西·高一校考期中）已知复数z1=−2+i，z2=−1+2i.(1)求z1−z2，z1+z2 (2)比较|z1−z2|与|z1+z2|的大小.7．（2023·全国·高一专题练习）计算．(1)1+i1−i6+2+3i3−2i；(2)12+32i4．(3)1−4i1+i+2+4i3+4i；(4)1+i51−i+1−i51+i；(5)−23+i1+23i+21+i2022+4−8i2−−4+8i211−7i.8．（2023下·湖南岳阳·高一校考期末）设复数z1=a+bi，z2=c+di，其中a、b、c、d∈R.现在复数系中定义一个新运算⊗，规定：z1⊗z2=ac+bd+ad+bci.(1)已知2−i⊗x+i=2，求实数x的值；(2)现给出如下有关复数新运算⊗性质的两个命题：①z1⊗z2=z1⊗z2；②若z1⊗z2=0，则z1=0或z2=0.请判定以上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由.题型二复数的四则运算与复数特征的综合应用用向量证明线段垂直用向量证明线段垂直9．（2023下·河南郑州·高一校考期中）已知z为复数，z−6和iz3+i均为纯虚数，其中i是虚数单位．(1)求复数z的共轭复数z；(2)若复数12z−1m−1+2m−2i在复平面内对应的点位于实轴下方，求实数m的取值范围．10．（2023·全国·高一专题练习）复数z=(1+i)m2−(8+i)m+15−6i(m∈R)，求实数m的取值范围使得：(1)z为纯虚数；(2)z在复平面上对应的点在第四象限．11．（2023·全国·高一专题练习）已知复数z1=1+a2−10i，z2=(2a−5)i(a>0)，z1+z2∈R．（1）求实数a的值；（2）若z∈C，z−z2=2，求z的取值范围．12．（2023上·山东日照·高二统考期中）已知i是虚数单位，复数z的共轭复数是z，且满足z+2z=3−2i．(1)求复数z的模z；(2)若复数z2−mi在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．13．（2023下·河北石家庄·高一石家庄一中校考期末）已知复数z1=a+i，z2=1−i，其中a是实数.(1)若z12=−2i，求实数a的值；(2)若z1z2是纯虚数，求z1z2+z1z22+z1z23+⋯+z1z22023.14．（2023上·浙江·高二校联考开学考试）已知复数z满足1+iz−1=1−i2（i是虚数单位）(1)求z的值；(2)若复数z−m2−5z在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围.15．（2023下·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考阶段练习）在①复数z满足z+i和z2−i均为实数；②z为复数z的共轭复数，且z1+i=z+1；③复数z=a+bia∈R,b0)；②复平面上表示z1z2的点在直线x+2y=0上；③z1(a−i)>0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：已知复数z1=1+i，z2=a+3i；（i为虚数单位），满足 .（1）若z=1z1+1z2，求复数z以及|z|；（2）若z2是实系数一元二次方程x2+mx+4−3m=0的根，求实数m的值24．（2023下·上海闵行·高一校考阶段练习）已知关于x的实系数一元二次方程2x2−4m−1x+m2+1=0(1)若m=2，求方程的两个根；(2)若方程有两虚根z1,z2，z1+z2=4，求m的值；(3)若方程的两根为x1,x2，其在复平面上所对应的点分别为A,B，点A关于y轴的对称点为C（不同于点A），如果OB⋅OC≤−1，求m的取值范围.题型四复数综合25．（2023·高一课时练习）已知：对于任意的多项式fx与任意复数z，fz=0⇔x−z整除fx．利用上述定理解决下列问题：(1)在复数范围内分解因式：x2+x+1；(2)若x2+x+1=0，求x21+x22+x23的值；(3)求所有满足x2+x+1整除x2n+xn+1的正整数n构成的集合A．26．（2023·高一单元测试）已知复数z满足|z|=2，z2的虚部为﹣2，且z所对应的点在第二象限．（1）求复数z；（2）若复数ω满足|ω﹣1|≤zz+i，求ω在复平面内对应的点的集合构成图形的面积．27．（2023·高一课时练习）（1）计算：32−i1+32i+21−i10+−12i+3210；（2）若复数z满足z−1z=12，argz−1z=π3，求复数32(z−2|z|−z)+3的三角形式.（3）利用复数证明余弦定理.28．（2023·高一课时练习）对一般的实系数一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0a≠0，由于总可以通过代换x=y−b3a消去其二次项，就可以变为方程x3+px+q=0．在一些数学工具书中，我们可以找到方程x3+px+q=0的求根公式，这一公式被称为卡尔丹公式，它是以16世纪意大利数学家卡尔丹（J.Cardan）的名字命名的．卡尔丹公式的获得过程如下：三次方程x3+px+q=0可以变形为x3=−px+−q，把未知数x写成两数之和x=m+n，再把等式x3=m+n3的右边展开，就得到x3=m3+n3+3mnm+n，即x3=3mnx+m3+n3．将上式与x3=−px+−q相对照，得到3mn=−pm3+n3=−q，把此方程组中的第一个方程两边同时作三次方，m3n3=−p33m3+n3=−q，并把m3与n3看成未知数，解得m3=−q2+q22+p33n3=−q2−q22+p33，于是，方程x3+px+q=0一个根可以写成x=3−q2+q22+p33+3−q2−q22+p33．阅读以上材料，求解方程x3−3x2−12x+10=0．29．（2000·上海·高考真题）已知复数z0=1−mim>0,z=x+yi和ω=x′+y′i，其中x,y,x′,y′均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有ω=z0⋅z,|ω|=2|z|．(1)试求m的值，并分别写出x′和y′用x、y表示的关系式；(2)将(x,y)作为点P的坐标，x′,y′作为点Q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q，已知点P经该变换后得到的点Q的坐标为3,2，试求点P的坐标；(3)若直线y=kx上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上，试求k的值．30．（2023下·上海浦东新·高一校考期末）对于一组复数z1，z2，z3，…，znn∈N,n≥3，令Sn=z1+z2+z3+⋅⋅⋅+zn，如果存在zpp∈1,2,3,⋅⋅⋅,n，使得zp≥Sn−zp，那么称zp是该复数组的“M复数”.（1）设zn=n+n−xin∈1,2,3，若z3是复数组z1，z2，z3的“M复数”，求实数x的取值范围；（2）已知z1=i，z2=1+i，是否存在复数z3使得z1，z2，z3均是复数组z1，z2，z3的“M复数”？若存在，求出所有的z3，若不存在，说明理由；（3）若zn=59n−1+i⋅−1nn∈N,n≥1，复数组z1，z2，z3，…，zn是否存在“M复数”？给出你的结论并说明理由．31．（2023下·上海徐汇·高一上海中学校考期末）利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对z1,z2（其中z1,z2∈C）视为一个向量，记作α=z1,z2．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量α=z1,z2，β=z1',z2'的数量积定义为一个复数，记作a⋅β，满足α⋅β=z1z1'+z2z2'，复向量α的模定义为α=α⋅α．(1)设α=1−i,i，β=3,4，i为虚数单位，求复向量α、β的模；(2)设α、β是两个复向量，①已知对于任意两个平面向量a=x1,y1，b=x2,y2，（其中x1,x2,y1,y2∈R），a⋅b≤ab成立，证明：对于复向量α、β，α⋅β≤aβ也成立；②当α⋅β=aβ时，称复向量α与β平行．若复向量α=1+i,1−2i与β=i,z平行（其中i为虚数单位，z∈C），求复数z．32．（2023下·上海闵行·高一统考期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对z1,z2z1,z2∈C看作一个向量，记a=z1,z2，则称a为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于a=z1,z2，b=z3,z4，z1、z2、z3、z4、λ∈C，我们有如下运算法则：①a±b=z1±z3,z2±z4；    ②λa=λz1,λz2；③a⋅b=z1z3+z2z4；        ④a=a⋅a.(1)设a=(i,1+i)，b=(2,2−i)，求a+b和a⋅b.(2)由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：①a⋅b=b⋅a②a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c    ③(λa)⋅b=a⋅(λb).试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以证明.(3)若a=(2i,1)，集合Ω=pp=(x,y),y=2x+1,x,y∈C，b∈Ω.对于任意的c∈Ω，求出满足条件(a−b)⋅(b−c)=0的b，并将此时的b记为b0，证明对任意的b∈Ω，不等式a−b≥a−b0恒成立.根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）.