专题6.7 平面向量的综合应用大题专项训练【六大题型】-2023-2024学年高一数学系列（人教A版2019必修第二册）

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专题6.7 平面向量的综合应用大题专项训练【六大题型】【人教A版（2019）】姓名：___________班级：___________考号：___________题型一向量坐标的线性运算解决几何问题1．（2023下·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）在直角坐标系xOy中，向量OA=1,−1，OB=8,m，OC=7,3，OD=x,y，其中m，x，y∈R.(1)若A ，B，C三点共线，求实数m的值；(2)若四边形ABCD为菱形，求x+y的值.【解题思路】（1）根据A ，B，C三点共线，可得AB,AC共线，根据向量共线的坐标表示列式计算，可得答案；（2）根据菱形的性质，结合向量模以及向量的线性运算，列出方程，求得m的值，即可求得答案.【解答过程】（1）由已知得AB=OB−OA=7,m+1，AC=OC−OA=6,4，因为A ，B，C三点共线，AB,AC共线，所以7×4=6m+1,∴m=113；（2）AD=OD−OA=x−1,y+1,AC=6,4,由四边形ABCD为菱形得AB=AD，即49+m+12=(x−1)2+(y+1)2，即49+m+12=(x−1)2+(y+1)2①，由菱形得AC=AB+AD,∴x−1+7=6y+1+m+1=4,∴x=0y=−m+2,将x=0y=−m+2代入①，解得m=−5，所以x+y=−m+2=7.2．（2023下·云南曲靖·高一校考阶段练习）已知点O0,0，A2,1，B4,3及OP=OA+tOB.(1)若点P在第一象限，求t的取值范围；(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.【解题思路】（1）由平面向量的坐标运算，求出OP，利用点P在第一象限，列不等式求得t的取值范围；（2）利用四边形OABP是平行四边形时，只需要OP=AB，列方程求出t的值，即可判断四边形OABP能否为平行四边形.【解答过程】（1）OP=OA+tOB=2,1+t4,3=4t+2,3t+1，由题意得4t+2>03t+1>0，解得：t>−13，即t的取值范围为−13,+∞.（2）若四边形OABP是平行四边形，只需要OP=AB，即OP=OA+tOB=AB，由（1）知，OP=4t+2,3t+1，而AB=2,2，∴4t+2=23t+1=2，方程组无解，故四边形OABP不能成为平行四边形.3．（2023下·广西南宁·高一校考阶段练习）已知平行四边形ABCD中，A(1,0),B(0,1),C(2,5)．(1)求点D的坐标；(2)设向量AB与AC夹角为θ，求cosθ的值；(3)求平行四边形ABCD的面积．【解题思路】（1）根据平行四边形的性质，可得BA=CD，由此求得答案；（2）根据向量的夹角公式没即可求得答案；（3）根据平行四边形的面积S=2S△ABC，结合三角形面积公式，求得答案.【解答过程】（1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以BA=CD，设点D的坐标为D(x,y)，所以(1,−1)=(x−2,y−5),所以x=3,y=4,即点D的坐标(3,4)．（2）AB=(−1,1)，AC=(1,5)，|AB|=2， |AC|=26，所以cosθ=AB⋅AC|AB|⋅|AC|=−1+52×26=21313．（3）因为0<θ<π,cosθ=21313，所以sinθ=31313，所以平行四边形ABCD的面积为：S=2S△ABC=AB×AC×sinθ=2×26×31313=6.4．（2023下·河北石家庄·高一校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点A−1,2，B1,1，记OA=a，OB=b．(1)设a在b上的投影向量为λe（e是与b同向的单位向量），求λ的值；(2)若四边形OABC为平行四边形，求点C的坐标．【解题思路】（1）根据投影向量的定义，即可求解；（2）根据平行四边形的性质，得到OA=CB，转化为坐标运算，即可求解.【解答过程】（1）设a与b的夹角为θ，则λ=acosθ=a⋅a⋅bab=a⋅bb=−1×1+2×11+1=22．（2）设点Cx,y，因为四边形OABC为平行四边形，所以OA=CB．又OA=−1,2，CB=1−x,1−y，所以1−x=−11−y=2，解得x=2y=−1．故C2,−1．5．（2023·全国·高一专题练习）某公园有三个警卫室A､B､C，互相之间均有直道相连，AB=2千米，AC=23千米，BC=4千米，保安甲沿CB从警卫室C出发前往警卫室B，同时保安乙沿BA从警卫室B出发前往警卫室A，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时.(1)保安甲从C出发1.5小时后达点D，若AD=xAB+yAC，求实数x､y的值；(2)若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过2千米，试问有多长时间两人不能通话？【解题思路】（1）先根据勾股定理确定这是一个直角三角形，然后可以建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，根据坐标运算可以计算出实数x､y的值；（2）表示出点E的坐标之后可以把DE坐标表示，立出不等式解不等式即可.【解答过程】（1）因为AB2+AC2=BC2，所以AB⊥AC，因此建立如图所示的平面直角坐标系，A(0,0),B(2,0),C(0,23)，设保安甲从C出发t小时后达点D，所以有CD=2t4CB⇒CD=t2CB，设D(x1,y1)，由CD=t2CB⇒(x1,y1−23)=t2(2,−23)⇒x1=t,y1=23−3t，即D(t,23−3t)，当t=1.5时，D(32,32)，由AD=xAB+yAC⇒(32,32)=x(2,0)+y(0,23)=(2x,23y)⇒32=2x32=23y⇒x=34,y=14；（2）设保安乙从B出发t小时后达点E，所以点E的坐标为(2−t,0)，于是有DE=(2−2t,3t−23)，因为对讲机在公园内的最大通话距离超过2千米，两人不能通话，所以有DE>2，所以(2−2t)2+(3t−23)2>2解之：t>2或t<67，又0≤t≤2所以两人约有67小时不能通话.题型二用向量证明线段垂直用向量证明线段垂直用向量证明线段垂直6．（2023下·宁夏银川·高一校考期中）在Rt△ABC中，∠BAC=90∘,AB=AC,E,F分别为边AB,BC上的点，且AE=EB,2BF=FC.设AB=a,AC=b.  (1)用a,b表示CE,AF；(2)用向量的方法证明：CE⊥AF.【解题思路】（1）根据平面向量的线性运算即可求解；（2）由（1）得CE=12a−b,AF=23a+13b，根据平面向量的数量积运算即可证明.【解答过程】（1）因为CE=CA+AE=−AC+12AB=12a−b，AF=AB+BF=AB+13BC=AB+13AC−AB=23AB+13AC=23a+13b.（2）由AB⋅AC=0，∴a⋅b=0且|a|=|b|，得CE⋅AF=12a−b⋅23a+13b=13|a|2−13|b|2−12a⋅b=0，所以CE⊥AF.7．（2023下·陕西西安·高一统考期末）已知在△ABC中，点M是BC边上靠近点B的四等分点，点N为AB中点，设AM与CN相交于点P.  (1)请用AB、AC表示向量AM；(2)设AB和AC的夹角为θ，若cosθ=14，且AC=2AB，求证：CN⊥AB.【解题思路】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得.（2）以AB、AC为基底表示出向量CN，结合向量的数量积公式，可证得CN⊥AB.【解答过程】（1）AM=AB+BM =AB+14BC =AB+14(AC−AB) =34AB+14AC.（2）CN=AN−AC=12AB−AC，CN⋅AB=12AB−AC⋅AB =12AB2−AB⋅AC =12AB2−AB⋅ACcosθ =12AB2−AB⋅2AB⋅14 =12AB2−AB⋅2AB⋅14 =0，∴CN⊥AB.8．（2023·高一课时练习）如图，正方形ABCD的边BC在正方形BEFG的边BG上，联结AG、CE，AG交DC于H．（1）证明：AG⊥CE；（2）当点C在BG的什么位置时，CH⋅CE最小？【解题思路】（1）建立直角坐标系，写出各点的坐标，利用向量法证明（2）建立直角坐标系，利用向量几何均值不等式求解即可.【解答过程】以B为原点，BE所在所在直线为x轴，以BG所在直线为y轴，建立直角坐标系．设AB=a，BE=b，且aAD，AD//BC，点E，F分别是BD，AC的中点，求证：EF=BC−AD2.【解题思路】由题意可知EF=BC−AD2，又BC>AD，AD//BC，且AD与BC同向，则|EF|=|BC|−|AD|2，即可求证【解答过程】因为点E，F分别是BD，AC的中点，所以EB=12DB，CF=12CA.所以EF=EB+BC+CF=12DB+BC+12CA.因为BC+CA+AD+DB=0，所以 DB+CA=DA+CB，所以EF=12(CB+DA)+BC=BC−AD2.因为BC>AD，AD//BC，且AD与BC同向，所以|EF|=BC−AD2=|BC|−|AD|2，即EF=BC−AD2.20．（2023·全国·高一专题练习）若E，F，G，H分别是平面四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.（1）求|AB+DC||HF|的值；（2）证明：四边形EFGH为平行四边形.【解题思路】（1）由题知DC=DH+HF+FC，AB=AH+HF+FB，进而得AB+DC=2HF，故|AB+DC||HF|=|2HF||HF|=2；（2）结合向量共线证明线段平行且相等即可证明.【解答过程】解：（1）因为H,F是边AD,BC的中点，所以DH=−AH，FC=−FB，又因为DC=DH+HF+FC，AB=AH+HF+FB，所以AB+DC=DH+HF+FC+AH+HF+FB=2HF，所以|AB+DC||HF|=|2HF||HF|=2（2）连接DB，因为E，F，G，H分别是平面四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，所以在△ABD和△BCD中，由中位线定理得：HE=12BD，GF=12DB，所以HE=GF=12DB，因为H,E,G,F不共线，所以HE//GF,HE=GF，所以四边形EFGH为平行四边形题型五向量与几何最值（范围）问题21．（2023下·江西九江·高一统考期末）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=π3，P为平面ABCD内一点，AC与BP相交于点Q．(1)若AP=PD，AQ=xBA+yBC，求x，y的值；(2)求PA+PB⋅PC最小值．【解题思路】（1）建立直角坐标系，利用向量的线性运算的坐标表示即可求解，（2）根据向量数量积的坐标运算，结合二次型多项式的特征即可求解最值.【解答过程】（1）当AP=PD时，则P为AD的中点，由于△APQ∼△CBQ,所以APBC=AQQC=12,AQ=13AC=13AB+BC=−13BA+13BC,所以x=−13,y=13  （2）由于四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC=π3，建立如图所示的直角坐标系，则A2,0,B0,0,C1,3,取AB中点为M，连接PA,PB,则M1,0,PA+PB=2PM设Px,yPM=1−x,−y,PC=1−x,3−y，PA+PB⋅PC=2PM⋅PC=21−x1−x−y3−y=2x2+y2−2x−3y+1=2x−12+y−322_32，故当x=1,y=32时，取最小值−32.22．（2023下·四川成都·高一树德中学校考阶段练习）在△ABC中，已知AB=2，AC=1，AB⋅AC=−1，CP=λCB0≤λ≤1，Q为线段CA延长线上的一点，且AQ=tACt<0.(1)当t=−1且λ=12，设PQ与AB交于点M，求线段CM的长；(2)若PA⋅PQ+3=AP⋅AB，求t的最大值.【解题思路】（1）用AB,AC表示CM，结合向量的模公式，即可求得本题答案；（2）结合题目条件和向量积的公式，逐步化简，可得到7λ2+2λt−4λ−t+1=5λ−1，然后分离变量，利用函数的单调性即可求得本题答案.【解答过程】（1）因为t=−1且λ=12，所以A是CQ的中点，P是BC的中点，则M是△CBQ的重心，设AB=a，AC=b所以CM=13CB+CQ=13AB−AC−2AC=13AB−AC=13a−b，CM=13a−b2=19a2−23a⋅b+b2=49+23+1=193；（2）因为CP=λCB0≤λ≤1，AQ=tb(t<0)，所以AP=AC+CP=AC+λCB=λAB+(1−λ)AC=λa+(1−λ)b，PQ=AQ−AP=tb−λa+(1−λ)b=−λa+(t+λ−1)b，AP⋅AB=λa+1−λb⋅a=λa2+1−λb⋅a=5λ−1，PA⋅PQ=−λa+λ−1b⋅−λa+(t+λ−1)b=7λ2+2λt−4λ−t+1，由PA⋅PQ+3=AP⋅AB，得：7λ2+2λt−4λ−t+1=5λ−1，所以t1−2λ=7λ2−9λ+5，因为t<0，7λ2−9λ+5>0，所以12<λ≤1，t=7λ2−9λ+51−2λ，令m=1−2λ∈−1,0，则t=74(1−m)2−92(1−m)+5m=7m4+94m+1在[−1,0)单调递减，所以当m=−1时，t有最大值－3.23．（2023下·上海普陀·高一曹杨二中校考期中）如图，已知△ABC是边长为2的正三角形，点P1、P2、P3是BC边的四等分点.(1)求AB⋅AP1+AP1⋅AC的值；(2)若Q为线段AP1上一点，且AQ=mAB+112AC，求实数m的值；(3)若P为线段AP3上的动点，求PA⋅PC的最小值，并指出当PA⋅PC取最小值时点P的位置.【解题思路】（1）利用平行四边形法则化简表达式，然后利用已知条件及向量数量积公式计算即可；（2）利用三点共线定理建立等式，得出方程组求出参数即可；（3）记AB=a，AC=b，设AP=tAP3，其中0≤t≤1，表示出向量PA，PC，然后表示出PA⋅PC的结果，转化为二次函数求最值即可.【解答过程】（1）由于P2为BC边的中点，所以AB+AC=2AP2，故AB⋅AP1+AP1⋅AC=AP1⋅AB+AC=2AP1⋅AP2.由于AP2⊥BC，故2AP1⋅AP2=2AP2+P2P1⋅AP2=2AP22=6.因此AB⋅AP1+AP1⋅AC=6.（2）由于BP1=14BC，故AP1=34AB+14AC.由于Q为线段AP1上一点，设AQ=tAP10≤t≤1，有AQ=3t4AB+t4AC=mAB+112AC. 由向量基本定理得3t4=mt4=112，解得t=13m=14，因此m=14.（3）记AB=a，AC=b，由BP3=34BC得AP3=14a+34b. 设AP=tAP3，其中0≤t≤1，则PA=−t4a−3t4b，PC=−t4a+1−3t4b. 进而有PA⋅PC=−t4a−3t4b⋅−t4a+1−3t4b=t16ta2+6t−4a⋅b+33t−4b2=1413t2−14t，t∈0,1. 当且仅当t=713即AP=713AP3时，PA⋅PC取最小值−4952.24．（2023·全国·高一专题练习）在锐角△ABC中，cosB=22，点O为△ABC的外心.(1)若BO=xBA+yBC，求x+y的最大值；(2)若b=2，（i）求证：OB+sin2A⋅OA−cos2A⋅OC=0；（ii）求3OB+2OA+OC的取值范围.【解题思路】（1）由cosB=22推出∠AOC=π2，即OA⋅OC=0，由BO=xBA+yBC推出xOA+yOC=(x+y−1)OB，两边平方得到xy=x+y−12，根据不等式知识，结合x+y<1，可得x+y≤2−2；（2）（i）延长BO交圆O于E，则BO=OE，过 E作EF⊥OC，垂足为F，过E作EG⊥OA，垂足为G，根据平行四边形法则可证结论成立；（ii）延长OA至M，使得|OM|=2，以OM,OC为邻边作矩形OCNM，延长OB至P，使得|OP|=3|OB|=3，将3OB+2OA+OC转化为|OP+ON|，结合图形可求出结果.【解答过程】（1）因为cosB=22，所以B=π4，因为点O为△ABC的外心，所以∠AOC=2B=π2，即OA⊥OC，OA⋅OC=0，因为BO=xBA+yBC，所以BO=x(OA−OB)+y(OC−OB)，所以xOA+yOC=(x+y−1)OB，设三角形ABC的外接圆的半径为R，则|OA|=|OB|=|OC|=R，由xOA+yOC2=(x+y−1)OB2得x2R2+y2R2+2xyOA⋅OC=(x+y−1)2R2，所以x2+y2=(x+y−1)2，所以xy=x+y−12，因为xy≤(x+y)24，当且仅当x=y时，等号成立，所以x+y−12≤(x+y)24，即(x+y)2−4(x+y)+2≥0，得(x+y−2)2≥2，得x+y≥2+2或x+y≤2−2.因为三角形ABC为锐角三角形，其外心必在三角形ABC内，由BO=xBA+yBC可知x>0,y>0，再由xOA+yOC=(x+y−1)OB可知x+y<1，所以x+y≥2+2应舍去，所以x+y≤2−2，所以x+y的最大值为2−2.（2）（i）延长BO交圆O于E，则BO=OE，过 E作EF⊥OC，垂足为F，过E作EG⊥OA，垂足为G，如图：  因为∠BOC=2A，所以∠EOC=π−2A，因为∠AOC=π2，且|AC|=b=2，所以|OA|=|OC|=|OB|=|OE|=1，所以|OF|=|OE|⋅cos(π−2A)=−cos2A，|OG|=|EF|=|OE|sin(π−2A)=sin2A，所以OE=OG+OF =sin2A⋅OA−cos2A⋅OC，所以BO=sin2A⋅OA−cos2A⋅OC，所以OB+sin2A⋅OA−cos2A⋅OC=0.（ii）延长OA至M，使得|OM|=2，则OM=2OA，以OM,OC为邻边作矩形OCNM，则ON=OM+OC=2OA+OC，且|ON|=1+4=5，延长OB至P，使得|OP|=3|OB|=3，则OP=3OB，如图：  所以|3OB+2OA+OC|=|OP+ON|，所以当N,O,P三点共线时， |3OB+2OA+OC|=|OP+ON|取最小值，最小值为3−5，因为三角形ABC为锐角三角形，且B=π4，所以A+C=34π0|v2|=4km/h，∴游船航行到达北岸的位置是在A′的左侧.（2）要使能到达A′处，则v1在v2反方向上的分速度为|v1|cos(π−θ)=|v2|=4，∴cos(π−θ)=25，故cosθ=−25，又0<θ<π，此时sinθ=215，∴垂直方向上的速度|v1→|sinθ=221 km/h，∴t=d221=2142 h.（3）由（1）知：垂直方向航行时间为d|v1|sin60°=315 h，∴水平方向航行距离为(|v1|cos60°−|v2|)×315=315 km，∴游船航行到达北岸的实际航程12+(315)2=25715 km.