专题6.10 平面向量及其应用全章十二大压轴题型归纳（拔尖篇）-2023-2024学年高一数学系列（人教A版2019必修第二册）

这是一份专题6.10 平面向量及其应用全章十二大压轴题型归纳（拔尖篇）-2023-2024学年高一数学系列（人教A版2019必修第二册），文件包含专题610平面向量及其应用全章十二大压轴题型归纳拔尖篇人教A版2019必修第二册原卷版docx、专题610平面向量及其应用全章十二大压轴题型归纳拔尖篇人教A版2019必修第二册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共54页， 欢迎下载使用。

专题6.10 平面向量及其应用全章十二大压轴题型归纳（拔尖篇）【人教A版（2019）】题型1用向量关系研究几何图形的性质1．（2023·江苏·高一专题练习）在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，则四边形ABCD是（    ）A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形2．（2023·全国·高三专题练习）下列有关四边形ABCD的形状判断错误的是（    ）A．若AD=BC，则四边形ABCD为平行四边形B．若AD=13BC，则四边形ABCD为梯形C．若AB=DC，且|AB|=|AD|，则四边形ABCD为菱形D．若AB=DC，且AC⊥BD，则四边形ABCD为正方形3．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知在四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又AB=DC.求证：CN=//MA.4．（2023·全国·高一随堂练习）分别根据下列条件判断四边形ABCD的形状:(1)AD=BC;(2)AD//BC,并且AB与CD不平行;(3)AB=DC,并且|AB|=|AD|.题型2向量共线定理的应用1．（2023下·天津和平·高一校考阶段练习）设e1，e2是两个不共线向量，若向量a=3e1+5e2与向量b=me1−3e2共线，则m的值等于（    ）A．−53 B．−95 C．−35 D．−592．（2023下·广东广州·高一校考阶段练习）设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB=2e1+ke2，CB=e1+3e2，CD=2e1−e2，若三点A，B，D共线，则k的值为（    ）A．－8 B．8 C．6 D．－63．（2023下·河南南阳·高一校联考期末）如图，在△ABC中，CD=2DB,AE=EC．  (1)用AB，AD表示AC，BE；(2)若点M满足AM=−12AB+34AC，证明：B，M，E三点共线．4．（2023·全国·高一随堂练习）已知向量OA，OB（A,B,O三点不共线），判断下列各题中的点M,N,G是否在直线AB上．(1)OM=13OA+23OB；(2)ON=12OA−OB；(3)OG=3OA+2OB．题型3向量线性运算的几何应用1．（2023上·安徽安庆·高三校考阶段练习）已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足OP=OA+λABABsinB+ACACsinC λ≥0，则P点轨迹一定通过三角形ABC的（    ）A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心2．（2023上·湖北恩施·高二校联考期中）已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB,AC两边交于M,N两点（点M,N与点B,C不重合），设AB=xAM，AC=yAN，则12x−1+12y−1的最小值为（ ）A．1 B．1+22 C．2 D．1+223．（2023·全国·高一随堂练习）如图，点D是△ABC中BC边的中点，AB=a，AC=b.  (1)试用a，b表示AD；(2)若点G是△ABC的重心，能否用a，b表示AG？(3)若点G是△ABC的重心，求GA+GB+GC.4．（2024上·辽宁葫芦岛·高一统考期末）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2BC=2CD=2DA，M为线段BC中点，AM与BD交于点N，P为线段CD上的一个动点．(1)用AB和AD表示AM；(2)求ANNM；(3)设AC=xDB+yAP，求xy的取值范围．题型4向量的夹角（夹角的余弦值）问题1．（2023·全国·校联考模拟预测）已知非零向量a与b满足|a|=2|b|，若|a+2b|=|a+b|，则cosa,b=（    ）A．12 B．−34 C．32 D．−322．（2023下·广东揭阳·高一校联考期中）已知向量a,b，若|a|=|b|=1,a与b的夹角为60∘；若a+b与ta−b的夹角为钝角，则t取值范围为（    ）A．−∞,1 B．1,+∞C．−1,1∪1,+∞ D．−∞,−1∪−1,13．（2023下·吉林长春·高一校考期中）已知向量a与b的夹角θ=2π3，且a=2，b=1．(1)求a⋅b，a+b；(2)求向量a与a+b的夹角的余弦值．4．（2023下·天津·高一静海一中校联考期末）已知|a|=4,|b|=3,(2a−3b)⋅(2a+b)=61.求：(1)a与b的夹角；(2)a+b；(3)若λa+b与a−b夹角为钝角，求λ的取值范围.题型5向量共线、垂直的坐标表示1．（2023上·天津和平·高三校考阶段练习）已知向量a=−2,1,b=1,3,c=3,2，若a+λb∥c，则实数λ的值为（    ）A．−1 B．1 C．−2 D．22．（2023·高一课时练习）已知向量a=1,2，b=2,−3，若向量c满足c+a∥b，c⊥(a+b)，则c=（    ）A．79，73 B．−79,−73 C．73,79 D．−73,793．（2023·高一课时练习）已知平面向量a=1,3，b=2x−1,−xx∈Z.（1）若2a+b与a−2b垂直.求x；（2）若向量c=7,−1，若a+b与b−c共线，求a−b.4．（2023下·江苏盐城·高一校考期中）已知向量a=3,1，b=−1,−2，c=4,1．(1)若a+kc⊥a+b，求实数k；(2)设d满足d−c∥a−b，且d−c=1，求d的坐标．题型6向量坐标运算的几何应用1．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，∠DAB=90°，AD=AB=4，CD=1，动点P在边BC上，且满足AP=mAB+nAD（m，n均为正数），则1m+1n的最小值为（    ）A．1 B．34 C．−34 D．7+4342．（2023·全国·高一专题练习）在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，点P是△ABC内一点（含边界），若AP=23AB+λAC，则AP的最大值为（    ）A．273 B．83 C．2193 D．21333．（2023上·安徽马鞍山·高一统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，OA=2AB=2，∠OAB=2π3，BC=(−1,3).（1）求点B，点C的坐标；（2）求四边形OABC的面积.4．（2023下·广西南宁·高一校考阶段练习）已知平行四边形ABCD中，A(1,0),B(0,1),C(2,5)．(1)求点D的坐标；(2)设向量AB与AC夹角为θ，求cosθ的值；(3)求平行四边形ABCD的面积．题型7用向量解决夹角、线段的长度问题1．（2023下·福建三明·高一统考期末）△ABC中，若AB=AC=5，BC=6，点E满足CE=215CA+15CB，直线CE与直线AB相交于点D，则cos∠ADE=（    ）A．1010 B．31010 C．−1010 D．−310102．（2022·海南·统考模拟预测）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，且AB=6，AD=3.若线段CD上存在唯一的点E满足AE⋅BE=4，则线段CD的长的取值范围是（   ）A．[1,2) B．[1,5) C．[1,+∞) D．[5,+∞)3．（2023下·贵州贵阳·高一校联考阶段练习）如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，AB=4，AD=2，点E为AB上一点  (1)若DE⊥AC，求AE的长；(2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求cos∠CME．4．（2023下·陕西西安·高一校考阶段练习）在直角梯形ABCD中，已知AB∥DC，AD⊥AB，CD=1，AD=2，AB=3，动点E、F分别在线段BC和DC上，AE和BD交于点M，且BE=λBC，DF=1−λDC，λ∈R．(1)当AE⋅BC=0时，求λ的值；(2)当λ=23时，求DMMB的值；(3)求AF+12AE的取值范围．题型8向量与几何最值问题1．（2023上·河南·高三校联考阶段练习）在△ABC中，点D是边BC的中点，且AD=4，点E满足BE=sin2θ⋅BA+12cos2θ⋅BC（θ∈R），则EB+EC⋅EA的最小值为（    ）A．−10 B．−8 C．−6 D．−42．（2023上·北京海淀·高三统考期中）在等腰直角三角形ABC中，AB=2,M为斜边BC的中点，以M为圆心，MA为半径作AC，点P在线段BC上，点Q在AC上，则AP+MQ的取值范围是（    ）A．0,10 B．0,2+2 C．2−2,10 D．2−2,2+23．（2023·高一课时练习）在ΔABC中，满足：AB⊥AC，M是BC的中点.（1）若AB=AC，求向量AB+2AC与向量2AB+AC的夹角的余弦值；（2）若O是线段AM上任意一点，且AB=AC=2，求OA⋅OB+OC⋅OA的最小值：（3）若点P是∠BAC内一点，且AP=2，AP⋅AC=2，AP⋅AB=1，求AB+AC+AP的最小值.4．（2023·全国·高一专题练习）在锐角△ABC中，cosB=22，点O为△ABC的外心.(1)若BO=xBA+yBC，求x+y的最大值；(2)若b=2，（i）求证：OB+sin2A⋅OA−cos2A⋅OC=0；（ii）求3OB+2OA+OC的取值范围.题型9正、余弦定理判定三角形形状1．（2023下·山东临沂·高一校考阶段练习）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中不正确的是（ ）A．若acosA=bcosB，则△ABC一定是等腰三角形B．若cosA−B⋅cosB−C=1，则△ABC一定是等边三角形C．若acosC+ccosA=c，则△ABC一定是等腰三角形D．若cos2B+C+cosC>0，则△ABC一定是钝角三角形2．（2023下·广东东莞·高一校考阶段练习）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足a2cos2A2−1=b1−tan2B21+tan2B2，则△ABC的形状是（    ）.A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形3．（2023下·陕西西安·高一陕西师大附中校考期末）在△ABC中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a2=(2b−c)b+(2c−b)c．(1)求角A的大小；(2)若b=2ccosA，试判断△ABC的形状．4．（2023下·广东东莞·高一校考阶段练习）已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C所对的边，向量m→=sinB,a，n→=sinC,b，且m∥n．(1)在①cos2B−3sinB+2=0；②2bcosC=2a−c；③ba=cosB+13sinA，这三个条件中任选一个，判定△ABC的形状．(2)求sinAsinCsinB的取值范围．题型10三角形面积的最值或范围问题1．（2023下·河北保定·高一校考期中）在锐角△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知B=60°，c=1，则△ABC面积的取值范围为（    ）A．(38,34) B．(18,14)C．(14,12) D．(38,32)2．（2023下·广东清远·高一校考阶段练习）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b＝c，且满足sinBsinA＝1−cosBcosA，若点O是△ABC外一点，∠AOB＝θ(0<θ<π)，OA＝2OB＝2，则平面四边形OACB面积的最大值是(　　)A．8+534 B．4+534 C．3 D．4+523．（2023下·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）锐角△ABC中，内角A,B,C的边分别对应a,b,c，已知ac+ca=sin2BsinAsinC+2.(1)求B；(2)若b=2，求S△ABC的取值范围.4．（2023下·云南昆明·高一校考期中）如图，为了检测某工业园区的空气质量，在点A处设立一个空气监测中心(大小忽略不计)，在点B处安装一套监测设备．为了使监测数据更加准确，在点C和点D处，再分别安装一套监测设备，且满足AB=2km,BC=4km且△ACD为正三角形．(1)若∠BAC=π3，求△ABD面积；(2)设∠ABC=α，试用α表示△ABD的面积，并求最大值．题型11 求求求1．（2023·全国·高一专题练习）在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积，且2S=a2−b−c2，则2b2+c2bc的取值范围为（　　）A．4315,5915 B．22,4315C．22,5915 D．22,+∞2．（2023下·福建龙岩·高一统考期末）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos2B+cosBcosA−C=sinAsinC，a=23，则△ABC周长的取值范围是（    ）A．63,6+63 B．3+33,6+63C．3+33,93 D．63,933．（2023·江苏盐城·统考三模）在△ABC中,AD为△ABC的角平分线,且AD=2.(1)若∠BAC=2π3,AB=3,求△ABC的面积;(2)若BD=3,求边AC的取值范围.4．（2023下·江苏连云港·高一统考期中）已知△ABC中，点D是线段AC上一点，AC=3AD，且①AB=4，②BC=13，③BD=13，④A=π3.(1)求AC的长；(2)E为边AB上的一点，若△ADE为锐角三角形，求△ADE的周长取值范围.上面问题的条件，现请你在①，②，③，④中删除一个，并将剩下三个作为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一.你删去的条件是_______，请你写出剩余条件解答本题的过程.题型12 求求测量问题1．（2023上·河南·高三校联考阶段练习）如图，为了测量两个信号塔塔尖M,N之间的距离，选取了同一水平面内的两个测量基点P与Q（M,N,P,Q在同一铅垂平面内）．已知在点P处测得点M的仰角为15°，点N的仰角为45°，在点Q处测得点M的仰角为30°，点N的仰角为15°，且PQ=400米，则MN=（    ）A．2002米 B．400米 C．4003米 D．4005米2．（2023上·安徽铜陵·高三统考阶段练习）镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，顶端塔刹为一青铜铸葫芦，葫芦表面刻有“风调雨顺､国泰民安”八个字，是全国重点文物保护单位､国家3A级旅游景区，小胡同学想知道镇国寺塔的高度MN，他在塔的正北方向找到一座建筑物AB，高为7.5m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为（    ）（参考数据：3≈1.73）  A．31.42m B．33.26m C．35.48m D．37.52m3．（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）天门山，古称嵩梁山，位于湖南省张家界市永定区大庸中路11号，属武陵山脉向东进入洞庭湖平原的余脉.为了测量天门山的海拔，某人站在海拔600米的点A处，他让无人机从点A起飞，垂直向上飞行400米到达点B处，测得天门山的最高点C处的仰角为45°，他遥控无人机从点B处移动到点D处（BD平行于地平面），已知B与D之间的距离为518米，从点D处测得天门山的最高点C处的仰角为α（tanα=2）.  (1)设平面β过BD且平行于地平面，点C到平面β的距离为h米，求BC与CD的长（用h表示）；(2)已知cos∠BCD=91040，求天门山的海拔.4．（2023·全国·高一专题练习）如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距6+2海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以22海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以32海里/小时的速度沿着直线追击(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船