高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示练习题

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cs θ＝22，sin θ＝－22，
∴θ可取7π4或－π4．]
2．B [z＝2cs75°+isin 75°cs30°+isin 30°
＝2[cs(75°－30°)＋isin(75°－30°)]
＝2(cs 45°＋isin 45°)＝1＋i．故选B．]
3．A [z＝3+i1+2i＝1－i，
又将复数z对应的向量按逆时针方向旋转π4，
∴旋转后的向量对应复数(1－i)csπ4+isinπ4
＝(1－i)22+22i＝2．]
4．D [sin 50°－isin 140°
＝cs (270°＋50°)＋isin (180°＋140°)
＝cs 320°＋isin 320°．]
5．AD [因为(－1－3i)z＝2z-12-32i
＝2zcs4π3+isin4π3，14-34iz
＝12z12-32i
＝12zcs5π3+isin5π3．故选AD．]
6．1＋3i [由题意知，z＝2csπ3+isinπ3＝1＋3i．]
7．4π3 [复数z＝－12－32i对应的点位于第三象限，且cs θ＝－12，所以arg-12-32i＝4π3．]
8．22csπ4+isinπ4 [∵(1＋i)z＝i，
∴z＝i1+i＝i1-i2＝12(1＋i)
＝22csπ4+isinπ4．]
9．解 ∵z＝(1－3i)5＝2512-32i5
＝32cs53π+isin5π35＝32cs25π3+isin25π3
＝32csπ3+isinπ3，
∴复数z的模为32，辐角的主值为π3．
10．B [因为z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，arg z＝3π2，
所以a2-1=0，a＜0，所以a＝－1，故选B．]
11．A [当复数z1，z2的模与辐角分别相等时，一定有z1＝z2，充分性成立；但当z1＝z2时，z1与z2的辐角可以相等，也可以相差2π的整数倍，必要性不成立．综上，“复数z1，z2的模与辐角分别相等”是“z1＝z2”的充分不必要条件．故选A．]
12．AB [依题意得，r＝332+-32＝6，
cs θ＝336＝32，复数33－3i对应的点在第四象限，所以arg(33－3i)＝11π6，
所以2kπ＋11π6(k∈Z)都可以作为复数33－3i的辐角．故选AB．]
13．1 [因为复数2＋i和－3－i的辐角的主值分别是α，β，所以tan α＝12，tan β＝13，所以tan (α＋β)＝tanα+tanβ1-tanαtanβ＝1．]
14．解 根据题意画出草图，如图所示．
由复数运算的几何意义知z1＝12·z2·[cs -π4＋isin -π4]
＝22(1＋3i)22-22i
＝3+12＋3-12i，
z3＝12·z2·csπ4+isinπ4
＝22(1＋3i)22+22i
＝1-32＋1+32i．
15．解 △AOB为等腰直角三角形．
证明：∵α≠0，∴β＝(1＋i)α，
∴βα＝1＋i＝2csπ4+isinπ4，
∴∠AOB＝π4．
∵OA，AB分别表示复数α，β－α，
由β－α＝αi，得β-αα＝i＝cs π2＋isin π2，
∴∠OAB＝90°，∴△AOB为等腰直角三角形．
∴S△AOB＝12|OA|2＝12|α|2．