人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用同步训练题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用同步训练题，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知函数，则的极大值为
A．0B．1C．eD．
2．函数fx=x−lnx在区间0,e上的最小值为
A．1−eB．1C．eD．−1
3．已知函数fx=ax3+bxa,b∈R的图象如图所示，则a，b的关系是
A．3a−b=0B．3a+b=0C．a−3b=0D．a+3b=0
4．若函数fx=x3−x2−x+2m在区间0,2上的最大值是4，则m的值为
A．3B．1C．2D．−1
5．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是
6．已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y=−13x3+81x−234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为
A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件
7．已知函数fx和gx的导函数fʹx，gʹx图象分别如图所示，则关于函数y=gx−fx的判断正确的是
A．有3个极大值点B．有3个极小值点
C．有1个极大值点和2个极小值点D．有2个极大值点和1个极小值点
8．如函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是
A． B．
C． D．
9．若函数fx=lnx−ax有两个不同的零点，则实数a的取值范围是
A．0,+∞B．0,1eC．0,eD．−∞,1e
10．设，过点仅可作一条直线与的图象相切，则a的取值范围是
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
11．定义在区间−12,4上的函数fx的导函数fʹx图象如图所示，则下列结论正确的是
A．函数fx在区间0,4单调递增
B．函数fx在区间−12,0单调递减
C．函数fx在x=1处取得极大值
D．函数fx在x=0处取得极小值
12．已知函数fx=x+sinx−xcsx的定义域为−2π,2π，则
A．fx为奇函数B．fx在0,π上单调递增
C．fx恰有4个极大值点D．fx有且仅有4个极值点
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知x=a是函数fx=x3−x2−x的极小值点，则a= ．
14．已知函数fx=x3−3x+1，则fx在区间−3,2上的最小值为 ．
15．已知函数fx=x+1ex，那么fx的单调递减区间为 ；如果方程fx=a有两个解，那么实数a的取值范围是 ．
16．如图，将一边长为6m的正方形铁皮四角各截去一个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起，得到一个无盖长方体容器，若要求所得容器的容积最大，则截去的小正方形边长为 m．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数fx=x3−3x+1．
（1）求fx的单调区间；
（2）求函数的极值．
18．已知函数fx=x3−12x2−2x+5．
（1）求函数fx的单调增区间和减区间；
（2）当x∈−1,2时，求函数y=fx的最值和最值点．
19．已知函数fx=exx2+ax−a，其中a是常数．
（1）当a=1时，求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
（2）若存在实数k，使得关于x的方程fx=k在0,+∞上有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
20．已知OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45∘方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则曲线C符合函数模型y=x+42x2x>0．为方便游客观光，拟过曲线C上的某点P分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，设PM=x百米，修建两条道路PM，PN的总造价为fx万元．
（1）求fx的解析式；
（2）当x为多少时，总造价fx最低?并求出最低造价．
21．已知（为自然对数的底数）．
（1）求函数的最大值；
（2）设，若对任意，总存在使得，求实数a的取值范围．
22．己知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明不等式恒成立．
参考答案
A
B
C
D
题号
答案
学科核心素养
水平层次
解析与说明
1
B
数学运算
水平一
【解析】因为，
当时，，，，则；
当时，，，，则；
当时，，，，则，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为．
故选B．
2
B
数学运算
水平一
【解析】fʹx=1−1x，令fʹx=0，得x=1．
当x∈0,1时，fʹx<0；
当x∈1,e时，fʹx>0，
所以当x=1时，fx有极小值，也是最小值，最小值为f1=1．
故选B．
3
B
直观想象
水平一
【解析】因为fx=ax3+bxa,b∈R，
所以f'x=3ax2+ba,b∈R．
根据图像可知x=−1，x=1分别为函数fx的极小值点和极大值点，
所以x=−1，x=1为方程f'x=0的两根，
所以f'(−1)= f'(1)=0，
所以3a+b=0．
故选B．
4
B
数学运算
水平二
【解析】fʹx=3x2−2x−1，令fʹx=0，
解得x=−13（舍去）或x=1．
又f0=2m，f1=2m−1，f2=2m+2，
所以f2最大，
所以2m+2=4，所以m=1．
故选B．
5
C
直观想象
水平一
【解析】由题意可知：和时，，函数是增函数，时，，函数是减函数；
是函数的极大值点，是函数的极小值点；
所以函数的图象只能是C．
故选C．
6
C
数学建模
水平一
【解析】因为f(x)=−13x3+81x−234，
所以f(x)'=−x2+81，
令f(x)'≥0，得−9≤x≤9，
因为要使得年产量x有意义，所以x≥0，
所以当0≤x<9时，函数单调递增，当x>9时，函数单调递减，
所以当x=9时，函数取得最大值．
故选C．
7
D
直观想象
水平二
【解析】因为y=gx−fx，
所以y'=g'x−f'x，
由导函数fʹx，gʹx图象可知，
当x∈(−∞,0)时，存在x1使得fʹx＝gʹx，
当x∈(0,+∞)时，存在x2使得fʹx＝gʹx，
当x=0 时，fʹx＝gʹx，
所以当x0；当x1x2时，gʹx−fʹx<0．
所以函数y=gx−fx在 (−∞,x1)上， (0,x2)上单调递增；在(x1,0)，(x2,+∞)上单调递减．
所以函数y=gx−fx在x1，x2处取得极大值，在0处取得极小值，
故y=gx−fx有2个极大值点和1个极小值点．
所以选D．
8
B
逻辑推理
水平二
【解析】，
；
又函数有极大值和极小值，
；
故或．
故选B．
9
B
数学建模
水平二
【解析】函数fx=lnx−ax在R上有两个不同的零点可化为y=lnx与y=ax在R上有两个不同的交点，作函数y=lnx与y=ax在R上的图象如下，
当直线与y=lnx相切时，则lnxx=1x，解得x=e；
故直线与y=lnx相切时，切线的斜率a=1e；
故实数a的取值范围是0,1e．
故选B．
10
A
数学建模
水平三
【解析】，则，
设切点为，则切线方程为，
又切线过点，所以，
即，
过点仅可作一条直线与的图象相切，
则仅有一个实数解，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
则函数的极小值为，极大值为，
当或时，与的函数图象仅有一个交点，
则仅有一个实数解．
故a的取值范围为．
故选A．
11
ABD
直观想象
水平一
【解析】结合导数与函数单调性的关系可知，当−12≤x<0时，fʹx<0，则函数单调递减；
当0≤x≤4时，fʹx≥0，此时函数单调递增．
故当x=0时，函数取得极小值，没有极大值．
故选ABD．
12
BD
逻辑推理
水平二
【解析】因为fx的定义域为−2π,2π，
所以fx是非奇非偶函数．
因为fx=x+sinx−xcsx，
所以fʹx=1+csx−csx−xsinx=1+xsinx．
当x∈0,π时，fʹx>0，fx在0,π上单调递增．
显然fʹx≠0，令fʹx=0，得sinx=−1x，分别作出y=sinx，y=−1x在区间−2π,2π上的图象，如图所示．
由图可知，这两个函数的图象在区间−2π,2π上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故fx在区间−2π,2π上的极值点的个数为4，且fx只有2个极大值点．
故选BD．
13
1
数学运算
水平一
【解析】根据题意可知，fx=x3−x2−x，定义域为x∈R，
fʹx=3x2−2x−1=3x+1x−1，
令fʹx=0，解之可得，x1=−13，x2=1，
所以fʹx>0⇒x<−13，或x>1；fʹx<0⇒−13所以fx在−∞,−13，1,+∞上单调递增，在−13,1上单调递减；
根据极值定义可得，函数在x=1处取得极小值，
故可得x=1是函数的极小值点．
14
−17
数学运算
水平一
【解析】由于fx=x3−3x+1，
所以fʹx=3x2−3=3x+1x−1，
因为fʹx>0，得到x>1，x<−1，
所以fx在−3,−1上是增函数，在1,2上是增函数，
而x∈−1,1，fʹx<0，
所以fx在−1,1上是减函数；
可得f−3=−27+9+1=−17，
f1=1−3+1=−1，
f−1=−1+3+1=3，
f2=8−6+1=3，
所以fx在区间−3,2上的最小值为−17．
15
−∞,−2； −1e2,0
数学建模
水平二
【解析】函数fx=x+1ex的导函数f'x=x+2ex，
当x<−2时，fʹx<0，
所以函数fx在区间−∞,−2上单调递减，在区间−2,+∞上单调递增，
所以当x=−2时，函数fx取得最小值为−1e2．
当x→−∞时，x+1ex→0，当x→+∞时，x+1ex→+∞，
即x∈−∞,−2时，fx∈−1e2,0，x∈−2,+∞时，fx∈−1e2,+∞．
作函数fx图象如图所示，要使得方程fx=a有两个解，则a∈−1e2,0．
16
1
数学建模
水平二
【解析】设剪去小正方形的边长为x，
则容器的容积为：V=6−2x2x0Vʹ=6−2x6−6x，
令Vʹ=0，则x1=3（舍去），x2=1，
当00，函数单调递增，
当1所以当x=1时铁盒的容积最大，
故截去的小正方形边长为1m．
17
（1）单调增区间为−∞,−1，1,+∞；单调减区间为−1,1
（2）当x=−1时，fx的极大值为f−1=3；当x=1时，fx的极小值为f1=−1
数学运算
水平一
【解析】
（1）因为fx=x3−3x+1，所以fʹx=3x−1x+1，
设fʹx=0，可得x=1或x=−1，
当fʹx>0时，x>1或x<−1；当fʹx<0时，−1所以fx的单调增区间为−∞,−1，1,+∞，单调减区间为−1,1．
（2）由（1）可得，当x变化时，fʹx，fx的变化情况如下表：
x−∞,−1−1−1,111,+∞fʹx+0−0+fx单调递增3单调递减−1单调递增
当x=−1时，fx有极大值，并且极大值f−1=3，
当x=1时，fx有极小值，并且极小值f1=−1．
18
（1）单调递增区间为−∞,−23；单调递减区间为−23,1
（2）x=2 时，函数fx取得最大值7；x=1时，函数fx取得最小值
数学运算
水平二
【解析】
（1）函数fx=x3−12x2−2x+5，
fʹx=3x2−x−2=3x+2x−1，
令fʹx=0，解得x=−23，x=1．
令fʹx>0，解得x<−23，或x>1，
令fʹx<0，解得−23所以函数fx的单调增区间为−∞,−23，1,+∞；单调减区间为−23,1．
（2）由（1）可得：函数fx在区间−1,−23上单调递增，在−23,1上单调递减，在1,2上单调递增．
可得：x=−23时，函数fx取得极大值；x=1时，函数fx取得极小值．
f−23=15727，f1=72，f−1=112，f2=7．
所以x=2时，函数fx取得最大值7；x=1时，函数fx取得最小值72．
19
（1）y=4ex−3e
（2）k∈a+4ea+2,−a
数学运算
水平二
【解析】
（1）由fx=exx2+ax−a，
可得fʹx=exx2+a+2x．
当a=1时，f1=e，fʹ1=4e．
故曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y−e=4ex−1，即y=4ex−3e．
（2）令fʹx=exx2+a+2x=0，解得x=−a+2或x=0．
当−a+2≤0，即a≥−2时，在区间0,+∞上，fʹx≥0，所以fx是0,+∞上的增函数．
所以方程fx=k在0,+∞上不可能有两个不相等的实数根．
当−a+2>0，即a<−2时，fʹx,fx随x的变化情况如下表：
x00,−a+2−a+2−a+2,+∞fʹx0−0 +fx−a↘a+4ea+2 ↗
函数fx在0,+∞上的最小值为f−a+2=a+4ea+2．
因为函数fx是0,−a+2上的减函数，是−a+2,+∞上的增函数，
且当x≥−a时，有fx≥e−a−a>−a，
所以要使方程fx=k在0,+∞上有两个不相等的实数根，k的取值范围必须是a+4ea+2,−a．
20
（1）
（2）当x=4时，总造价最低，最低造价为30万元
数学建模
水平三
【解析】
（1）由题意可设点P的坐标为x,x+42x2x>0，
易得直线OB的方程为x−y=0，
则点P到直线x−y=0的距离为x−x+42x22=42x22=4x2，
PM的造价为5万元/百米，PN的造价为40万元/百米，
所以fx=5x+40⋅4x2=5x+32x2x>0．
（2）因为fx=5x+32x2x>0，
所以fʹx=51−64x3=5x3−64x3，
令fʹx=0，得x=4，列表如下：
x0,444,+∞fʹx−0+fx单调递减极小值单调递增
所以当x=4时，函数fx有极小值，也是最小值，最小值为f4=5×4+3242=30．
故当x=4时，总造价最低，最低造价为30万元．
21
（1）
（2）
数学运算
水平三
【解析】
（1）的导数为，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
故；
（2）对任意总存在，
使得等价于．
由（1）可知．
问题转化为在恒成立．
参变量分离得：，
令，，
则，由时，，得，
即在上单增．
故．
综上：，即a的取值范围为．
22
（1）当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减
（2）见解析
逻辑推理
水平三
【解析】
（1），
当时，，故在上单调递增，
当时，令，得到，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）设函数，即证恒成立，
则，
可知在上单调递增，
又由，，
所以在上有唯一实数根，且，
则，即．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以，
结合，可知，
，
则，
即不等式恒成立．