环节一【课时检测】基本初等函数的导数提高题

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基本初等函数的导数提高题1． 与曲线y=x2相切，且与直线x+2y+1=0垂直的直线的方程为（   ）A． y=2x−2 B． y=2x+2 C． y=2x−1 D． y=2x+1【答案】C【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，直线的方程．根据导数的几何意义列方程求出切点，再求出切线方程即可．【解答】解：设切点为Px0，y0，由导数的几何意义可得y'=2x所以所求直线的斜率k=2x0，又直线x+2y+1=0的斜率为−12，所以（2x0）⋅（−12）=−1，解得x0=1，则y0=x02=1，k=2，所以所求直线的方程为y−1=2（x−1），即y=2x−1，故选C．2． 曲线y=ex上的点到直线y=x−2的最短距离是（  ）A． 2 B． 2 C． 322 D． 1【答案】C【解析】【分析】本题考查导数几何意义与点到直线距离公式，考查基本分析求解能力，属基础题．先求与y=x−2平行且与y=ex相切的切线切点，再根据点到直线距离公式得结果．【解答】设与y=x−2平行的直线与y=ex相切，则切线斜率k=1．∵y=ex，∴y'=ex，    由y'=ex=1得x=0 ．当x=0时，y=e0=1，即切点坐标为0，1，则点0，1到直线y=x−2的距离是曲线y=ex上的点到直线y=x−2的最短距离，∵点0，1到直线的距离为d=0−1−212+−12=322，∴曲线y=ex上的点到直线l：y=x−2的距离的最小值为322， 故选C．3． 求曲线在点处的切线的斜率和切线方程．【答案】解：设y=f（x）．∴f'10=110ln10，曲线在点处的切线的斜率为，切线方程为，即【解析】本题考查了基本初等函数的导数、利用导数求函数在一点处的切线方程，属一般题．先求导函数从而求出切线的斜率，再由点斜式写出切线的直线方程．4． 已知曲线y=1x（1）求曲线在点P（1，1）的切线方程；（2）求曲线过点Q（1，0）的切线方程；（3）求满足斜率为−13的曲线的切线方程．【答案】解：∵y=1x，∴y'=−1x2．（1）显然P（1，1）是曲线上的点．所以P为切点，所求切线斜率为函数y=1x在P（1，1）点导数．即k=f'（1）=−1．所以曲线在P（1，1）处的切线方程为y−1=−（x−1），即为y=−x+2．（2）显然Q（1，0）不在曲线y=1x上．则可设过该点的切线的切点为A（a，1a）．那么该切线斜率为k=f'（a）=−1a2．则切线方程为y−1a=−1a2（x−a）．它过点Q（1，0），则−1a=−1a2（1−a），解得a=12．∴切线方程为4x+y−4=0．（3）设切点为B（b，1b），由k=−1b2=−13，得b=±3．当b=3时，切线方程为x+3y−23=0．当b=−3时，切线方程为x+3y+23=0．【解析】本题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题．学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．（1）根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可； （2）设出曲线过点Q切线方程的切点坐标A（a，1a），把切点的横坐标代入，求出的导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把Q的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可； （3）设出切点坐标，由切线的斜率为−13，把切点的横坐标代入导函数中求出的函数值等于−13列出关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点的横坐标，代入曲线方程即可求出相应的纵坐标，根据切点坐标和斜率分别写出切线方程即可．