人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行教案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行教案，共29页。教案主要包含了【单元目标】，【单元知识结构框架】，【学情分析】，【教学设计思路/过程】，【教学问题诊断分析】，【教学成果自我检测】，【教学反思】等内容，欢迎下载使用。

一、【单元目标】
1．知识与技能：
1.正确理解基本事实4和等角定理；
2.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.
3．理解直线和平面平行的判定定理并能运用其解决相关问题.
4．通过对判定定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．
5．掌握空间平面与平面平行的判定定理，并能应用这个定理解决问题．
6．平面与平面平行的判定定理的应用．
2．数学学科素养
1.直观想象：基本事实4及等角定理的理解；探究归纳直线和平面平行的判定定理，找平行关系；
2.逻辑推理：基本事实4及等角定理的应用；空间直线、平面的平行.
3.数学运算：空间直线、平面的平行；
4.直观想象：空间图形中点、直线、平面之间的位置关系。
二、【单元知识结构框架】
三、【学情分析】
第一节是直线与直线平行是所有平行关系的基础，在初中已经学过平行四边形，中位线与底边等平行关系，本节教材重点介绍了平面的基本事实4,等角定理，对平面中直线与直线的平行关系进一步深化.也为后续线面平行、面面平行打下基础.
第二节是在直线与平面的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，本节内容既是直线与直线平行关系延续和提高，也是后续研究平面与平面平行的基础，既巩固了前面所学的内容，又为后面内容的学习做了知识上和方法上的准备，在教材中起着承前启后的作用。
第三节内容在立体几何学习中起着承上启下的作用,具有重要的意义与地位。空间中平面与平面之间的位置关系中,平行是一种非常重要的位置关系,它不仅应用较多。而且是空间问题平面化的典范空间中平面与平面平行的判定定理给出了由线面平行转化为面面平行的方法。
本节课是在前面已经学习空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点,类比直线与平面平行的判定定理探究过程,结合有关的实物模型,通过直观感知操作确认(合情推理),归纳出平面与平面平行的判定定理。本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用。
四、【教学设计思路/过程】
课时安排： 约3课时
第一课时：直线与直线平行
第二课时：直线与平面平行的判定
第三课时：平面与平面平行的判定
教学重点：直线与直线、直线与平面、平面与平面的判定定理；
教学难点：直线与直线、直线与平面、平面与平面性质定理.
教学方法/过程：
五、【教学问题诊断分析】
8.5.1 直线与直线平行
问题1：平行于同一条直线的两条直线有什么关系？用符号怎么表示？
【答案】平行线的传递性
基本事实4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号表示:a∥b,b∥c⇒a∥c.
【破解方法】通过教室里的具体线条举例给学生演示基本事实，让学生加深理解。
问题2：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角有什么关系？
【答案】定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
【破解方法】通过对定理分2种情况，结合平行四边形和三角形全等证明得定理，初步的感受立体几何的证明思路.
典例分析
题型一：基本事实4的应用
例1.如图所示，在正方体中，，，，分别为，，，的中点，求证：，，，四点共面．
【答案】证明：如图，连接，，，
因为正方体中，，，，分别为，，，的中点，
所以，，所以，
由平面的基本性质可知，，，，四点共面．
【变式训练】如图，已知、分别是正方体的棱和棱上的中点，求证：四边形是菱形．
【答案】证明：取棱中点为，连、，
由正方体性质，侧面为正方形，
又、分别为边、中点，
所以，，
从而四边形为平行四边形，
，，
又、分别为棱、中点，
由侧面为正方形，知四边形 为平行四边形，
所以，，
又，，
由平行公理可知，，
从而四边形为平行四边形．
由为正方体，不妨设其棱长为，易
知
而由四边形为平行四边形，从而即为菱形．
解题技巧（证明两直线平行的常用方法）
(1)利用平面几何的结论,如平行四边形的对边,三角形的中位线与底边;
(2)定义法:即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点;
(3)利用基本事实4:找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行.
题型二：等角定理的应用
例2.已知，，，则
A．B．C．或D．大小无法确定
【答案】或
【解析】已知，，，
当角的方向相同时，，
当角的方向相反时，，
故选C．
【变式训练】设与的两边分别平行，若，则 ．
【答案】或
【解析】如图，
因为
所以，，
因为，
所以，，
所以，，
即若两角的两边互相平行，则这两个角相等或互补．
所以与相等或互补，
因为，
所以或，
故答案为：或．
解题技巧 (应用等角定理的注意事项)
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.注意观察两角的方向是否相同，若相同，则两角相等；若不同，则两角互补.
8.5.2 直线与平面平行的判定
问题1：观察开门与关门，门的两边是什么位置关系．当门绕着一边转动时，此时门转动的一边与门框所在的平面是什么位置关系？
【答案】平行.
【破解方法】通过开门与关门的具体的例子，体现从具体到抽象的处理思路.
问题2：直线与平面平行的判定定理是什么？
【答案】直线与平面平行的判定定理
【破解方法】通过直线与平面平行的判定定理的证明结合教室里的具体例子，让学生理解判定定理的三个条件.
问题3：直线与平面平行的性质定理是什么？
【答案】直线与平面平行的性质定理
【破解方法】利用性质定理的证明揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法，体现了数学中的转化与化归的思想．
典例分析：
题型一：直线与平面平行的判定
例1．如图，三棱柱中，平面，分别是的中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）设，，求三棱锥的体积．
【答案】（Ⅰ）证明：连接交于点，则为的中点．
直棱柱中，，分别是，的中点，
故为三角形的中位线，故．
由于平面，而不在平面中，
故有平面．
（Ⅱ），，
故此直三棱柱的底面为等腰直角三角形．
由为的中点可得平面，
．
，
同理，利用勾股定理求得，．
再由勾股定理可得，．
，
．
例2．如图四棱锥中，为菱形，、、分别是线段、、的中点．求证：平面．
【解答】解：证明：连接与交于点0，为的中点，为菱形，，
，得到为线段的中点，故与点重合．
，为的中点，又为的中点，
，又平面，平面．
平面．
例3．已知：正方形与正方形不共面，、分别在和上，．
求证：平面．
【解答】证明：（方法一）
连结并延长交于
则
所以’
又平面
平面
故平面’
（方法二）过作直线交直线于
连结
因为
所以’
于是平面平面
平面
所以平面’
解题技巧： (判定定理应用的注意事项)
(1)欲证线面平行可转化为线线平行解决.
(2)判断定理中有三个条件,缺一不可,注意平行关系的寻求.常常利用平行四边形、三角形中位线、等比例线段、相似三角形.
【变式训练】如图所示，边长为4的正方形 与正三角形 所在平面互相垂直，、分别是，的中点．
（1）求证：面
（2）求多面体的体积．
【解答】解：（1）连结、交于点，连接．
则正方形中，，
又，是的中位线，可得．
平面，平面，
平面．
（2），，
，．
又平面平面，平面平面，
底面，可得是的高线
因此多面体的体积为．
题型二：直线与平面平行的性质定理
例4．平面四边形中，在线段上，且，，，都是正三角形．将四边形沿翻折后，使点落在点位置，点落在点位置，且点在平面上的射影恰为线段的中点（即垂线段的垂足点），所得多面体，如图所示
（1）求棱锥的体积；
（2）证明：．
【解答】解：（1）由已知可得，，
又，
在平面的射影为线段的中点棱锥高，
（2）设中点为，中点为
连结、、，有，
由已知可得，在平面中有
又，
则，
四边形为平行四边形
．
同理可证，
，
四边形为平行四边形
故
例5．如图所示，在多面体中，四边形是边长为2的正方形，平面、平面、平面都与平面垂直，且、、都是正三角形．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求四棱锥的体积．
【解答】（Ⅰ） 证明：如图，分别取、的中点、，连接，．
和是为2的正三角形，
，，且．
又平面、平面都与平面垂直，
平面，平面
且，
四边形是平行四边形，
．
是的中位线，
，
．
例6．如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，，分别是棱，的中点，平面与平面交于，求证：
（1）平面；
（2）．
【解答】证明：（1）如图，取的中点，连接，．
，分别是，的中点，
．
平面，平面，
平面．
是的中点，四边形是平行四边形，
．
又平面，平面，
平面．
，
平面平面．
平面，
平面．
（2）平面平面，
且平面平面，
平面平面
【变式训练】如图：、分别是空间四边形的边、的中点，平面过分别交、于、．
求证：．
【解答】证明：、分别是空间四边形的边、的中点；
，
不在平面内，在平面内．
平面．
又平面过分别交、于、；
．
解题技巧 (性质定理应用的注意事项)
(1)欲证线线平行可转化为线面平行解决,常与判定定理结合使用.
(2)性质定理中有三个条件,缺一不可,注意平行关系的寻求.常利用中位线性质.
8.5.3 平面与平面平行
问题1：若平面α∥β，则α中所有直线都平行β吗？反之，若α中所有直线都平行β ，则α∥β吗？
【答案】平行，平行
【破解方法】通过思考与探究，让学生思考怎样判断两平面平行，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
问题2：平面与平面平行的判定定理是怎么样的？
【答案】如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 .
符号表示：
图形表示：
【破解方法】通过符号与图形表示定理，提高学生分析问题的能力。
问题3：平面与平面平行的性质定理是怎么样的？
【答案】平面与平面平行的性质定理
【破解方法】通过平面与平面的性质定理的三种语言表示及证明，结合具体的例子，让学生理解由面面平行证明线线平行的过程。
题型一：平面与平面的判定定理
例7．如图四棱锥中，为菱形，、、分别是线段、、的中点．求证：平面．
【解答】证明：连接与交于点0，为的中点，为菱形，，
，得到为线段的中点，故与点重合．
，为的中点，又为的中点，
，又平面，平面．
平面．
例8．已知：正方形与正方形不共面，、分别在和上，．
求证：平面．
【解答】证明：（方法一）
连结并延长交于
则
所以’
又平面
平面
故平面’
（方法二）过作直线交直线于
连结
因为
所以’
于是平面平面
平面
所以平面’
例9．如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，，分别是棱，的中点，平面与平面交于，求证：
（1）平面；
（2）．
【解答】证明：（1）如图，取的中点，连接，．
，分别是，的中点，
．
平面，平面，
平面．
是的中点，四边形是平行四边形，
．
又平面，平面，
平面．
，
平面平面．
平面，
平面．
（2）平面平面，
且平面平面，
平面平面
【变式训练】如图：、分别是空间四边形的边、的中点，平面过分别交、于、．
求证：．
【解答】证明：、分别是空间四边形的边、的中点；
，
不在平面内，在平面内．
平面．
又平面过分别交、于、；
．
解题技巧 证明面面平行的方法
（1）要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面即可．
（2）判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．
题型二：面面平行性质定理的应用
例11．如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于点B，A和D，C，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN∥平面α.
【证明】如图，过点A作AE∥CD交α于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，BD，AC.
因为AE∥CD，所以AE，CD确定平面AEDC.
则平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC，因为α∥β，所以AC∥DE.
又P，N分别为AE，CD的中点，
所以PN∥DE，PN⊄α，DE⊂α，所以PN∥α.
又M，P分别为AB，AE的中点，
所以MP∥BE，且MP⊄α，BE⊂α.
所以MP∥α，因为MP∩PN＝P，
所以平面MPN∥α.
又MN⊂平面MPN，所以MN∥平面α.
【变式训练】在本例中将M，N分别为AB，CD的中点换为M，N分别在线段AB，CD上，且eq \f(AM,MB)＝eq \f(CN,ND)，其他不变．
证明：MN∥平面α.
证明：作AE∥CD交α于点E，连接AC，BD，如图．
因为α∥β且平面AEDC与平面α，β的交线分别为ED，AC，所以AC∥ED，所以四边形AEDC为平行四边形，作NP∥DE交AE于点P，
连接MP，BE，于是eq \f(CN,ND)＝eq \f(AP,PE).
又因为eq \f(AM,MB)＝eq \f(CN,ND)，所以eq \f(AM,MB)＝eq \f(AP,PE)，所以MP∥BE.
而BE⊂α，MP⊄α，所以MP∥α.同理PN∥α.
又因为MP∩NP＝P，所以平面MPN∥平面α.
又MN⊂平面MPN，所以MN∥平面α.
【变式训练2】[变条件、变问法]两条异面直线与三个平行平面α，β，γ分别交于A，B，C和D，E，F，求证：eq \f(AB,BC)＝eq \f(DE,EF).
证明：连接AF交平面β于点M.
连接MB，ME，BE，AD，CF，因为α∥β，
所以ME∥AD.
所以eq \f(DE,EF)＝eq \f(AM,MF).
同理，BM∥CF，
所以eq \f(AB,BC)＝eq \f(AM,MF)，
即eq \f(AB,BC)＝eq \f(DE,EF).
解题技巧 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
[提醒]面面平行性质定理的实质：面面平行⇒线线平行，体现了转化思想．与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间的相互转化．
六、【教学成果自我检测】
1．课前预习
设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.
1．如图，在空间六边形（即六个顶点没有任何五点共面）中，每相邻的两边互相垂直，边长均等于，并且．求证：平面平面．
【分析】在平面内的两条相交直线和，证明平面，平面即可证明两个平面平行．
【答案】证明：作正方形和，并连接和．
，且，，
和都是正方形，且是平行四边形．
故它们的对应边平行且相等．
△，．
同理，．
，，平面．
同理，平面．
，平面．
、、、四点共面．
为正方形．
同理，也是正方形．
故是正方体．
易知，
平面．
同理，平面，
平面平面．
2．如图所示，已知正方体中，、、分别为、、的中点，求证：平面平面．
【分析】根据三角形中位线定理，结合正方体的几何特征，我们易得，同理可得，进而根据面面平行的判定定理即可得到平面平面．
【答案】证明：在正方体中，对角线，
、分别为、的中点，
，
同理可证：，
又，，
平面平面．
3．已知，在正方体中，、分别是、的中点，求证：平面平面．
【分析】根据面面平行的判定定理即可得到结论．
【答案】在正方体中，，
、分别是、的中点，
连结，为的中点），，
则四边形为平行四边形，
，
，
根据面面平行的推论可知，平面平面．
4．在正方体中，、、、、、分别是所在棱、、、、、的中点，求证：平面平面．
【分析】连结，，，连结，，，利用三角形的中位线定理证明线线平行，从而证明面面平行，然后利用平行于同一平面的两平面互相平行得结论．
【答案】证明：如图，
连结，，，连结，，．因为，分别为，的中点，所以，
平面，平面，所以平面，
同理平面，因为，所以平面平面，
同理可证平面平面．又，，
所以平面平面，则平面平面．
2．课堂检测
设计意图：例题变式练.
【变式1】如图，在三棱柱中，，分别为棱，的中点．求证：平面平面．
【分析】连接交于点，连接，得出为△的中位线，证明，平面，四边形为平行四边形，得出，平面，即可证明平面平面．
【答案】证明：连接交于点，连接．
由三棱柱可知四边形、均为平行四边形，所以为的中点．
因为为的中点，所以为△的中位线，所以．
又因为平面，平面，所以平面．
在平行四边形中，、分别为棱、的中点，所以为平行四边形，所以．
又因为平面，平面，所以平面．
又因为，所以平面平面．
【变式2】如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点．
（1）当为的中点时，求证：平面．
（2）当平面，求出点的位置，说明理由．
【分析】（1）取中点为，连接，，利用中位线、平行四边形性质及平行公理有，，即为平行四边形，则，最后根据线面平行的判定证结论；
（2）连接，，相交于，连接，由线面平行的性质得，利用相似比可得，即可判断的位置．
【答案】证明：（1）在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，
取中点为，连接，，
在中，为的中点，为中点，
，
在平行四边形中，为的中点，
，
，，
四边形为平行四边形，
，面，面，
平面；
解：（2）连接，，相交于，连接，
面，面面，面，
，
即存在点，为上靠近点的三等分点．
【变式3】已知是梯形，，是平面外一点，，点在棱上，且．
求证：平面．
【分析】利用线面平行的判定定理即可证明．
【答案】证明：连接交于点，连接，
，
．
又，．
．
又平面，平面，
平面．
3．课后作业
设计意图：巩固提升.
1.课本142页练习
2.课本习题8.5复习巩固及综合运用
七、【教学反思】
文字语言
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号语言
a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α
图形语言
文字语言
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
符号语言
a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b
图形语言
文字语言
图形语言
符号语言
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.
α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒
a∥b.