初中数学人教版八年级下册第十九章 一次函数19.2 一次函数19.2.2 一次函数综合训练题

这是一份初中数学人教版八年级下册第十九章 一次函数19.2 一次函数19.2.2 一次函数综合训练题，共46页。试卷主要包含了如图，在平面直角坐标系中，直线等内容，欢迎下载使用。


(1)求点A的坐标；
(2)在y轴左侧作直线轴，分别交直线AB，直线AC于点F，G，当时，过点G作直线轴于点H．能否在直线GH上找一点P，使的值最小，求出P点的坐标；
(3)在第二象限是否存在点R，使得为等腰直角三角形，存在，求出所有点R的坐标；不存在，说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线()交于点P，．
(1)求直线的解析式；
(2)连接、，若直线上存在一点Q，使得，求点Q的坐标；
(3)将直线向下平移1个单位长度得到直线，直线l与x轴交于点E，点N为直线l上的一点，在平面直角坐标系中，是否存在点M，使以点O，E，N，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
3．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点，，我们将称为点M与点N的“纵2倍直角距离”，记作dMN．
例如：点M(，7)与N(5，6)的“纵2倍直角距离”，
(1)①已知点，，，则在这三个点中，与原点O的“纵2倍直角距离”等于3的点是________；
②已知点，点P在第一象限，若点P与原点O的“纵2倍直角距离”，请求y关于x的函数关系式，并在图1中画出所有满足条件的点P组成的图形．
(2)若直线上恰好有两个点与原点O的“纵2倍直角距离”等于3，直接写出b的取值范围________．
(3)已知点A(1，1)，B(3，1)，点T(t，0)是x轴上的一个动点，正方形CDEF的顶点坐标分别为，，，．若线段AB上存在点G，正方形CDEF上存在点H，使得，直接写出t的取值范围________．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线：分别与x轴，y轴交于点B，C．直线：．
(1)直接写出点B，C的坐标：B________；C________．
(2)若D是直线上的点，且的面积为6，求直线的函数表达式；
(3)在(2)的条件下，且当点D在第一象限时，设P是射线上的点，在平面内存在点Q．使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接求点Q的坐标．
5．如图，平面直角坐标系中，已知点在y轴正半轴上，点，点在x轴正半轴上，且
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当，时，过点B的直线与成夹角，试求该直线与交点的横坐标；
(3)如图3，当时，点D在的延长线上，且，连接，射线交于点E．当点B在y轴负半轴上运动时，的度数是否为定值？如果是，请求出的度数；如果不是，请说明理由．
6．在平面直角坐标系中，，若P为矩形内(不包括边界)一点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于，则称P为矩形的矩宽点，例如：下图中的为矩形的一个距宽点．
(1)在点，，，，中，矩形的矩宽点是___；
(2)若为矩形的矩宽点，求m的值；
(3)已知一次函数．它的图像经过定点___，若一次函数的图象上存在矩形ABCO的矩宽点，则k的取值范围是___．(直接写出答案)
7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点
(1)求m的值和一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)在轴上是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
8．美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线l过等腰直角三角形的直角顶点C：过点A作于点D，过点B作于点E研究图形，不难发现：．(无需证明)：
(1)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，，点C的坐标为，A点的坐标为，求B点坐标；
(2)如图3，在平面直角坐标系中，直线：分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线绕点A顺时针或逆时针旋转得到，请任选一种情况求的函数表达式；
(3)如图4，在平面直角坐标系，点，过点B作轴于点A，作轴于点C，P为线段上的一个动点，点位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，，，，轴于点C，轴于点D，且E是y轴正半轴上的一点，．
(1)求点E的坐标；(用含m的式子表示)
(2)如备用图1，已知，连接，若，则：
①求m的值；
②如备用图2，若P，Q分别是线段，射线上的一点，求的最小值．
10．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数与y轴交于点，与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点C，点C的横坐标为3．
(1)求一次函数的表达式；
(2)点D为x轴正半轴上一点，若为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)点E为直线上一点(不与点C重合)，设点E的横坐标为m．
①若，请直接写出m的取值范围；
②若，请直接写出点E的坐标．
11．如图1，直线分别与轴交于两点，过点的直线交轴负半轴于点．
(1)请直接写出直线的关系式：_________
(2)在直线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标：若不存请说明理由；
(3)如图2，，为轴正半轴上的一动点，以为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接．请直接写出的最大值：___________．
12．如图，长方形中，宽，点P沿着四边按方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，的面积S与运动时间t的关系如图所示．
(1)直接写出m＝ ，a＝ ，b＝ ；
(2)求长方形的长；
(3)当P点运动到中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，的面积为y，求当时，y与x之间的关系式．
13．如图①，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点逆时旋转得到线段，点恰好落在直线上时，过点作轴于点．
(1)求线段的长；
(2)如图②，将沿轴正方向平移得，当直线经过点时，直接写出点的坐标及线段的长；
(3)在(2)的条件下，若点在轴上，点在直线上，则是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
期末考试一次函数解答题压轴考点训练(三)
1．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，直线分别交轴，轴于点，，直线分别交轴，y轴于点C，D．
(1)求点A的坐标；
(2)在y轴左侧作直线轴，分别交直线AB，直线AC于点F，G，当时，过点G作直线轴于点H．能否在直线GH上找一点P，使的值最小，求出P点的坐标；
(3)在第二象限是否存在点R，使得为等腰直角三角形，存在，求出所有点R的坐标；不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或
【分析】(1)联立直线表达式，得到二元一次方程组，求出解即可得到点A坐标；
(2)求出点D，E坐标，得到，设，根据，求出点G坐标，设F关于直线的对称点，连接，求出的表达式，令，即可得出点P坐标；
(3)首先求出点C坐标，再分，，，三种情况，画出图形，结合全等三角形的判定和性质求解．
【详解】(1)解：联立：，
解得：，
∴点A的坐标为；
(2)在中，令，则，即，
在中，令，则，即，
∴，
设，
∵，
∴，代入中，
解得：，即，，
设F关于直线的对称点，连接，
则，
设直线的表达式为：，
将，代入，
得，解得：，
∴，令，得，
∴点P的坐标为；
(3)存在，
在中，令，则，即，
若，
如图，过点A作x轴的垂线，分别过点C和点R作y轴的垂线，分别交于E，D，
则，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
若，
过点A作x轴的垂线，垂足为E，过R作x轴的垂线，垂足为D，
同理可证：，
∴，，
∴；
若，
过点R作y轴的垂线，分别过点A和点C作x轴的垂线，分别交于D，E，
同理可证：，
∴，，设，
则，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴；
综上：存在点R，使得为等腰直角三角形，点R的坐标为或或．
【点睛】本题考查了一次函数综合应用，等腰直角三角形的判定和性质，最短路径问题，全等三角形的判定和性质，有一定难度，综合性较强，解题的关键是对于问题要画出图形，结合图形求解，注意分类讨论．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线()交于点P，．
(1)求直线的解析式；
(2)连接、，若直线上存在一点Q，使得，求点Q的坐标；
(3)将直线向下平移1个单位长度得到直线，直线l与x轴交于点E，点N为直线l上的一点，在平面直角坐标系中，是否存在点M，使以点O，E，N，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或；
【分析】(1)先求出，然后求出点C和点D的坐标，利用待定系数法，即可求出解析式；
(2)先求出点B和点P的坐标，然后求出四边形的面积，然后分类讨论：当点Q在点B的下方时；当点Q在点P的上方时；分别求出三角形的面积，即可求出点Q的坐标；
(3)先求出直线为，然后得到，然后分情况进行分析：当作为矩形的边时；当作为矩形的对角线时；分别求出两种情况的点M的坐标即可．
【详解】(1)解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，
∴令，则，
∴点A为，
∴，
∵，
∴点C为，点D为，
∴直线的解析式为；
(2)解：在中，令，则，
∴点B为，
∵，解得，
∴点P的坐标为；
∴；
∵点Q在直线上，则设点Q为，则
当点Q在点B的下方时，如下图：
∵，点P的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴点的坐标为；
当点Q在点P的上方时，如上图：
，
∴，
∴
解得：，
∴，
∴点的坐标为；
综合上述，点的坐标为或；
(3)解：∵直线向下平移1个单位长度得到直线，
∴直线为，
令，则，
∴点E的坐标为，
即；
当作为矩形的边时，如图：
∴点N的坐标为，
∴点M的坐标为；
当作为矩形的对角线时，如图：
∴点F的坐标为，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴点M的坐标为；
综合上述，则点M的坐标为或；
【点睛】本题考查了矩形的性质，一次函数的图像和性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出图形，从而运用分类讨论的思想进行解题．
3．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点，，我们将称为点M与点N的“纵2倍直角距离”，记作dMN．
例如：点M(，7)与N(5，6)的“纵2倍直角距离”，
(1)①已知点，，，则在这三个点中，与原点O的“纵2倍直角距离”等于3的点是________；
②已知点，点P在第一象限，若点P与原点O的“纵2倍直角距离”，请求y关于x的函数关系式，并在图1中画出所有满足条件的点P组成的图形．
(2)若直线上恰好有两个点与原点O的“纵2倍直角距离”等于3，直接写出b的取值范围________．
(3)已知点A(1，1)，B(3，1)，点T(t，0)是x轴上的一个动点，正方形CDEF的顶点坐标分别为，，，．若线段AB上存在点G，正方形CDEF上存在点H，使得，直接写出t的取值范围________．
【答案】(1)①，，；②作图见解答过程；
(2)；
(3)
【分析】(1)①根据题意分别计算三个点与原点O的“纵2倍直角距离”即可；
②根据题意，写出P点的解析式和取值范围，作图即可；
(2)根据(1)中的图象可以得出与原点O的“纵2倍直角距离”等于3的点的图象，确定直线与图象有两个交点时b的临界值，再求出取值范围即可；
(3)在坐标系中画出图象根据图象确定C点和E点的临界值，再求出取值范围即可．
【详解】(1)①由题意知，，
，
，
故答案为：，，；
②由题知，，
即，
∵，
∴，
∴满足条件的点P组成的图形如下：
(2)如图2所示，根据(1)②图象可以得出与原点O的“纵2倍直角距离”等于3的点的图形如下：
根据图象可知，当直线在直线和直线之间时，直线上恰好有两个点与原点O的“纵2倍直角距离”等于3，
当直线过时，，
解得，
当直线过时，，
解得，
∴b的取值范围为；
故答案为：；
(3)当G点与A点重合时，则，
因正方形顶点纵坐标小于1，只考虑的情形；
当时，，满足条件的图形为线段，
当时，，满足条件的图形为线段；
当点G从点A移动到点B时，对应满足条件的H点的图形也平移2个单位得到线段，此时它们对应的解析式分别为、，
如图，
由图得点H的位置在阴影部分，即符合条件的正方形的位置在线段与线段之间，或在线段与线段之间，
(Ⅰ)图中正方形在线段下方位置时，点D与H重合，
∵，
此时，，
解得，
图中正方形在线段上方位置时，点F与H重合，
可得，，
解得，
∴t的取值范围为：；
(Ⅱ)图中正方形在线段上方位置时，点F与H重合，
可得，，
解得，
图中正方形在线段下方位置时，点D与H重合，
可得，，解得，
∴t的取值范围为：；
综上，t的取值范围为：；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数和直角坐标系的知识，熟练利用图象求临界值进而求取值范围是解题关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线：分别与x轴，y轴交于点B，C．直线：．
(1)直接写出点B，C的坐标：B________；C________．
(2)若D是直线上的点，且的面积为6，求直线的函数表达式；
(3)在(2)的条件下，且当点D在第一象限时，设P是射线上的点，在平面内存在点Q．使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接求点Q的坐标．
【答案】(1)；
(2)或
(3)或或
【分析】(1)将代入解析式，求得点B坐标；将代入解析式，求得点C坐标；
(2)设，可得即为以为底边上的高，列方程，即可解答．
(3)分两种情况讨论，即为边或为对角线两种情况讨论，由菱形的性质和两点距离公式可求解．
【详解】(1)解：直线：分别与x轴，y轴交于点B，C，
将代入，可得，
，
将代入，可得，
解得，
．
(2)解：D是直线上的点，
，
由条件得，，
∴，
∴，
∴或，
设CD的解析式为：
①当时，
，
，
对应的解析式为
②当时，
，
，
对应的解析式为
综上，直线CD的解析式为或．
(3)解：当点D在第一象限时，直线的解析式为，
设点，
①当以为边时，
若四边形为菱形时：，可得方程：，
解得，(舍去)，
，
，，
；
若四边形为菱形时：，可得方程：，
解得，(舍去)，
，
同理可得；
②当以为对角线时，
与互相垂直平分，
P点的纵坐标为2，即，，
，
．
综上所述，点Q的坐标为或或．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，菱形的性质，两点距离公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
5．如图，平面直角坐标系中，已知点在y轴正半轴上，点，点在x轴正半轴上，且
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当，时，过点B的直线与成夹角，试求该直线与交点的横坐标；
(3)如图3，当时，点D在的延长线上，且，连接，射线交于点E．当点B在y轴负半轴上运动时，的度数是否为定值？如果是，请求出的度数；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)或
(3)的度数是定值，
【分析】(1)根据，得出，结合，即可得出，则；
(2)根据题意得出点A、C的坐标分别为：、，即可求出直线的表达式为：，过点B作于点H，作轴，交于点G，用等面积法求出，即可得出，最后根据两点之间的距离公式列出方程求解即可；
(3)作于D，取，连接，，通过证明，得出，进而得出是等腰直角三角形，则，推出，即可得出结论的度数是定值，．
【详解】(1)证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)解：当，时，则，，
即点A、C的坐标分别为：、，
设直线的表达式为：，
将点、代入得：
，解得：，
直线的表达式为：，
如下图，过点B作于点H，作轴，交于点G，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
根据勾股定理可得：，
∵，
∴，即，
解得：，
∵，
则，
设点，
则，
解得：或，
故过点B的直线与交点的横坐标为：或；
(3)解：的度数是定值，，理由：
作于D，取，连接，，
∵，，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴可由平移所得，
∴，
∴，
∴．
∴的度数是定值，．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是
6．在平面直角坐标系中，，若P为矩形内(不包括边界)一点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于，则称P为矩形的矩宽点，例如：下图中的为矩形的一个距宽点．
(1)在点，，，，中，矩形的矩宽点是___；
(2)若为矩形的矩宽点，求m的值；
(3)已知一次函数．它的图像经过定点___，若一次函数的图象上存在矩形ABCO的矩宽点，则k的取值范围是___．(直接写出答案)
【答案】(1)D，F；
(2)或；
(3)，或．
【分析】(1)根据矩宽点的定义即可判断；
(2)根据矩宽点的定义构建方程即可解决问题；
(3)如图1中由题意可知，矩形的矩宽点只能在线段，，，上(不包括端点)，其中，，，，，．分别求出直线经过、、、时的的值即可解决问题；
【详解】(1)，
点是矩宽点，
，
点是矩宽点．
故答案为和．
(2)
分别令等于2可得：或
(3)将代入得，
所以一次函数的图像经过定点，
设
则
若，则，即，
∴此时点P在直线上满足题意
同理时，a＋b＝5 即b＝－a＋5
时，a＋b＝1 即b＝－a＋1

时 b－a＝－3 即b＝a＋3

L1：代入(1，0)，k＝－1
L2：代入(1，2)，k＝－3
L3：代入(3，2)，k＝3
L4：代入(4，1)，k＝1
所以k的取值范围为：或，
故答案为：，或
【点睛】本题考查一次函数综合题、矩形的性质、矩宽点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的射线思考问题，属于中考压轴题．
7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点
(1)求m的值和一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)在轴上是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1),
(2)6
(3)，，，
【分析】(1)根据正比例函数过，可得m，设一次函数解析式为代入求解即可；
(2)根据一次函数解析式求出B点坐标，然后利用三角形面积公式直接求解；
(3)根据A、B坐标，求出，然后分三种情况：分别是，，为底时求解即可．
【详解】(1)解：∵正比例函数过，
，
解得：，
，
设一次函数解析式为，且过A、C，得：
解得
∴一次函数解析式为：．
(2)解：由(1)可知，，
的面积为：．
(3)解：由(1)，，，，
，
情况一：当底是时，如图：

，
；
情况二：当底是时，如图：
M在A右侧，，
，
，
M 在A左侧，，
，
，
情况三、当底是时，如图：
，
，
，
，
解得：，
，
综上所述：，，，．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质和图像，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，熟练掌握一次函数的性质和图像，并利用数形结合和分论讨论思想思想解答是解题的关键．
8．美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线l过等腰直角三角形的直角顶点C：过点A作于点D，过点B作于点E研究图形，不难发现：．(无需证明)：
(1)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，，点C的坐标为，A点的坐标为，求B点坐标；
(2)如图3，在平面直角坐标系中，直线：分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线绕点A顺时针或逆时针旋转得到，请任选一种情况求的函数表达式；
(3)如图4，在平面直角坐标系，点，过点B作轴于点A，作轴于点C，P为线段上的一个动点，点位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)顺时针：；逆时针：
(3)能，
【分析】(1)如图1，过点轴于E．证明推出，可得；
(2)①若将直线绕点A顺时针旋转得到，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，由(1)的模型可得，求出，再由待定系数法求函数的解析式；②若将直线绕点A逆时针旋转得到，仿照①中方法求解即可；
(3)分两种情况讨论：当Q点下方时，过Q点作轴交y轴于点E，交于点F，由(1)的模型可得，，可得，，再由，求出(舍)；当Q点在上方时，同理可得，，再由，可求．
【详解】(1)解：如图2，过点轴于E，
∵点C的坐标为，A点的坐标为，
∴，，
∵等腰，，，
又∵轴，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴；
(2)解：①若将直线绕点A顺时针旋转得到，
如图3，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，
∵，
∴，
由(1)的模型可得，
∵与x轴的交点， ，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴；
②若将直线绕点逆时针旋转得到，
如图，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，
∵，
∴，
由(1)的模型可得，
∵与x轴的交点， ，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴；
(3)解：点A，P，Q能构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，理由如下：
当Q点下方时，过Q点作轴交y轴于点E，交于点F，
由(1)的模型可得，，
∴，，
∵，
∴，，
∵点，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵Q点在第一象限，
∴(舍)；
当Q点在上方时，如图5，
同理可得，，
∵，
∴，
解得．
综上所述：a的值为．
【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，结合坐标与图形性质解决问题，属于压轴题．
9．如图，在平面直角坐标系中，，，，轴于点C，轴于点D，且E是y轴正半轴上的一点，．
(1)求点E的坐标；(用含m的式子表示)
(2)如备用图1，已知，连接，若，则：
①求m的值；
②如备用图2，若P，Q分别是线段，射线上的一点，求的最小值．
【答案】(1)点E的坐标为；
(2)①；②的最小值为．
【分析】(1)根据证明，得到，推出，即可求解；
(2)①根据证明得到，而，，利用勾股定理即可求解；
②作点O关于直线的对称点，连接，则，由于，故只要求得的最小值即可得到的最小值，根据垂线段最短可知，当轴时，最小，据此进一步计算即可求解．
【详解】(1)解：∵，轴，轴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点E的坐标为；
(2)解：①连接，
由(1)可知，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
②作点O关于直线的对称点，连接，则，由于，故只要求得的最小值即可得到的最小值，
根据垂线段最短可知，当轴时，最小，由①得，
∴，，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
设点的坐标为，则的中点G的坐标为，直线与y轴的交点为Ｉ，则点Ｉ的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理得，
∵点O与点关于直线对称，
∴点G在直线上，
∴，即，
∴，
整理得，即，
解得，则，
∴点到x轴的距离为，
即的最小值为．
【点睛】本题主要考查一次函数的综合运用，坐标与图形，列代数式及轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数与y轴交于点，与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点C，点C的横坐标为3．
(1)求一次函数的表达式；
(2)点D为x轴正半轴上一点，若为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)点E为直线上一点(不与点C重合)，设点E的横坐标为m．
①若，请直接写出m的取值范围；
②若，请直接写出点E的坐标．
【答案】(1)
(2)或或
(3)①且；②或
【分析】(1)先求出点C的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式即可；
(2)设，分别表示出，分三种情况讨论，建立方程求解即可；
(3)①先利用待定系数法求直线的解析式，进而表示出，计算，可得且，当时，点E有两种情况，分别讨论当时，，当时，，进而求解即可；
②分别讨论当点E在直线上方和下方两种情况，以线段为边在其上方作正方形，连接，交于E，过点作轴于点P，通过证明，根据全等三角形的性质得出，再利用待定系数法求出直线的解析式，联立求解即可．
【详解】(1)∵点C的横坐标为3，
∴对于，令，得，
∴，
把，代入，
得，解得，
∴．
(2)当时，，
∴，
设，
∵，
∴，
当时，即，解得，
当时，即，解得或(舍去)，
当时，即，解得，
∴点D的坐标为或或；
(3)①设直线的解析式为，
把代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴且，
当时，点E有两种情况，讨论如下：
当时，，
解得，
∴；
当时，，
解得，
∴；
综上，且；
②当点E在直线上方时，
如图，以线段为边在其上方作正方形，连接，交于E，过点作轴于点P，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
设直线的解析式为，
把点B、N的坐标代入得，解得，
∴直线的解析式为，
联立，解得，
此时，点E坐标为；
当点E在直线下方时，同理可得，
∴直线的解析式为，
联立可得点E坐标为；
综上，点E坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式，勾股定理，等腰三角形的定义，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．
11．如图1，直线分别与轴交于两点，过点的直线交轴负半轴于点．
(1)请直接写出直线的关系式：_________
(2)在直线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标：若不存请说明理由；
(3)如图2，，为轴正半轴上的一动点，以为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接．请直接写出的最大值：___________．
【答案】(1)
(2)当或时，
(3)
【分析】(1)根据直线与轴的交点，可求出点的坐标，再用待定系数法即可求解；
(2)设，分别用含的式子表示出出，由此即可求解；
(3)是等腰直角三角形，设，可表示出，再证，如图所示，当点在一条直线上时，的值最大，最大值为的值，可求得点R的坐标，根据勾股定理即可求解．
【详解】(1)解：∵直线分别与轴交于两点，令，则，
∴，且，
设直线的解析式为，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
故答案为：．
(2)解：由(1)可知直线的解析式为，直线的解析式为，
∴，
∴，
如图所示，点在直线上，过点作轴于，
∴设，，
∴，，，
∴，
若，则，
当时，，解得，，即；
当时，，解得，，即；
综上所述，当或时，．
(3)解：已知，设，
∴在中，，
∵是等腰直角三角形，，
∴；
如图所示，过点作轴于，
在中，，，
∴，∴，∴，
∴，，
∴，∴，且轴，
∴是等腰直角三角形，，则点的轨迹在射线上，
如图所示，作点关于直线的对称点，
连接，，，，
∵是等腰直角三角形，即，根据对称性质，
∴，∴轴，且，
∴，则，
如图所示，当点在一条直线上时，的值最大，最大值为的值；
∴由勾股定理得：，故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数，几何的综合，掌握待定系数法求解析式，将军饮马问题，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
12．如图，长方形中，宽，点P沿着四边按方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，的面积S与运动时间t的关系如图所示．
(1)直接写出m＝ ，a＝ ，b＝ ；
(2)求长方形的长；
(3)当P点运动到中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，的面积为y，求当时，y与x之间的关系式．
【答案】(1)1，4，9
(2)6
(3)
【分析】(1)当由三角形面积公式可得进而得到，然后代入可得a，，进而求得m；同理当时可求得b；
(2)由图像可得在时，的面积不变，然后根据题意可得当t=a时，S△ABP=8，则点P此时在BC的中点处，从而得出a和m的值，当t=b时，S△ABP=4，从而求得b的值；
(3)分，，三种情况，分别画出图形求解即可．
【详解】(1)解：当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1；4；9；
(2)解：在时，的面积不变，
此时：点P在上运动，速度为每秒2个单位，
∴，
在时，的面积为12，
∴，
∴，
∴长方形的长为6；
(3)解：根据题意可知，；
当时，如图，，
∴；
当时，如图，，
；
当时，如图，，
∴，
∴；
∴．
【点睛】本题属于一次函数的综合题，主要考查了学生观察图像的能力、用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
13．如图①，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点逆时旋转得到线段，点恰好落在直线上时，过点作轴于点．
(1)求线段的长；
(2)如图②，将沿轴正方向平移得，当直线经过点时，直接写出点的坐标及线段的长；
(3)在(2)的条件下，若点在轴上，点在直线上，则是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)或或
【分析】(1)用角角边证明，即可求解；
(2)根据(1)的结论求得，设，代入直线即可求得D的坐标，根据平移的性质设直线的解析式为，求得直线的解析式为，进而求得，即可求得的长；
(3)根据题意画出图形，过点C作交y轴于点P，确定直线的解析式为，得出，结合平行四边形的性质求解即可．
【详解】(1)解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
；
(2)设直线解析式为，把、代入
得，
解得，
故直线的解析式为，
∵由得：，
设，
而，
∴，
∵点D在直线上，把代入,
解得，
∴，点，
，
设直线的解析式为，
将点，代入得
解得，
，
平移，设直线的解析式为，将点代入得
，
解得，
直线的解析式为，
令，解得，
即，
，
(3)存在，理由如下，如图所示，
过点C作交y轴于点P，
∴设直线的解析式为：，
将点代入得：，
∴直线的解析式为：，∴，
∵，，
当时，四边形，四边形是平行四边形，
∴设点，，
∴，解得：或，或，
当时，四边形是平行四边形，∴，∴，∴
综上可得：或或．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，一次函数的性质、平行四边形的性质、三角形全等，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题的关键．