八年级数学下册同步精品压轴题期末考试压轴题模拟训练(一)(学生版+解析)

这是一份八年级数学下册同步精品压轴题期末考试压轴题模拟训练(一)(学生版+解析)，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如图，在中，，，P为AC边上的一个动点(不与A、C重合)，则的最小值是( )
A．B．3C．1D．
2．如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形，连接，分别交，于点． 已知，正方形的面积为24，则图中阴影部分的面积之和为( )
A．B．C．D．
3．如图，将矩形纸片折叠，使落在上，为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，点不动，将边折起，使点落在上的点处，连接，若，，则的长为( )
A．B．2C．D．
4．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，以线段为边在第四象限内作等边，点C为x轴正半轴上一动点()，连接，以线段为边在第四象限内作等边，直线交y轴于点E．下列结论正确的有( )个．
(1)；
(2)的度数随着点C位置的变化而改变；
(3)点E的位置不随着点C位置的变化而变化，点E的坐标是；
(4)当点C的坐标为时，四边形的面积S与m的函数关系式为S＝m2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图，在正方形中，E为边上一点，过点D作，与的延长线交于点F．连接，与边交于点G，与对角线交于点H，与相交于点I．下列结论：①；②；③；④若，则；⑤连接，则．其中结论正确的序号是( )．
A．①②④B．①②③⑤C．③④⑤D．①②③④⑤
二、填空题
6．如图，四边形为菱形，点在菱形对角线的延长线上，点在边上，线段与交于点，且，其中，，则线段的长为__________．
7．如图，菱形的边长为，，为的中点，在对角线上存在一点，使的周长最小，则的周长的最小值为 ______ ．
8．如图，，点在边上，，点为边上一动点，连接，与关于所在的直线对称，点，分别为，的中点，连接并延长交所在直线于点，连接，当为直角三角形时，的长为__________
9．如图，在菱形中，，，E为中点，F为上一点，且，则的长为___________．
10．在矩形中，点D是的中点，点E是AB上一点，且，，交于F，下列结论：①平分；②；③；④，其中正确的是____________．
三、解答题
11．为落实《健康中国行动()》等文件精神，某学校准备购进一批足球和排球促进校园体育活动．据了解，某体育用品超市每个足球的价格比排球的价格多20元，用500元购买的足球数量和400元购买的排球数量相等．
(1)求每个足球和排球的价格；
(2)学校决定购买足球和排球共50个，且购买足球的数量不少于排球的数量，求本次购买最少花费多少钱？
(3)在(2)方案下，体育用品超市为支持学校体育活动，对足球提供8折优惠，排球提供7.5折优惠．学校决定将节约下的资金全部用于再次购买足球和排球(此时按原价购买，可以只购买一种)，求再次购买足球和排球的方案．
12．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线分别交x轴、y轴于点A、C，过点C的直线交x轴正半轴于点B．
(1)求点B坐标；
(2)点P为线段上一点(不与点B、C重合)，连接，过点O作交于点Q，连接，设点P横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
(3)在(2)的条件下，点D为y轴负半轴上一点，连接、、，若，，求D点的坐标．
13．如图1，四边形为菱形，，，，且．

(1)点B坐标为______，点A坐标为______，四边形的面积为______；
(2)点E在线段上运动，为等边三角形．
①如图2，求证：，并求的最小值；

②如图3，点E在线段上运动时，点F的横坐标是否发生变化？若不变，请求出点F的横坐标．若变化，请说明理由．

14．已知，四边形是正方形，绕点旋转，，，连接，

(1)如图，求证：；
(2)直线与相交于点．
①如图，于点，点，证明矩形是正方形；
②如图，连接，若，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值．
15．如图1，在中，，，，点P，Q分别是上的动点，P从C出发以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，Q从A出发以每秒8个单位长度的速度向终点B运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为t秒．过点Q作于点M．

(1)______，______．(用含t的代数式表示)
(2)如图2，已知点D为中点，连接，以为邻边作平行四边形．
①当时，求的长；
②在运动过程中，是否存在某一时刻，使得平行四边形的一边落在的某边上？若存在，求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
期末考试压轴模拟训练(一)
一、单选题
1．如图，在中，，，P为AC边上的一个动点(不与A、C重合)，则的最小值是( )
A．B．3C．1D．
【答案】A
【分析】以A为顶点，为一边，在下方作，过B作于D，交于P，由是等腰直角三角形可得，即，故取最小值即是取最小值，此时B、P、D共线，且，的最小值即是的长，根据，，可得，即可得答案．
【详解】解：以A为顶点，为一边，在下方作，过B作于D，交于P，如图：
由作图可知：是等腰直角三角形，
∴，∴，
∴取最小值即是取最小值，此时B、P、D共线，且，的最小值即是的长，
∵，，∴，∴，
∴，，∴的最小值是．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形中的最小路径，解题的关键是作辅助线，把的最小值转化为求的最小值．
2．如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形，连接，分别交，于点． 已知，正方形的面积为24，则图中阴影部分的面积之和为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设，则，根据勾股定理可得的平方的值，再根据题意可得，然后可得阴影部分的面积之和为梯形的面积．
【详解】解：，
，
设，
则，
，
，
根据题意可知：
，，
，
，
，
，
阴影部分的面积之和为：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明、全等图形、梯形的面积，首先要正确理解题意，然后会利用勾股定理和梯形的面积解题．
3．如图，将矩形纸片折叠，使落在上，为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，点不动，将边折起，使点落在上的点处，连接，若，，则的长为( )
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】证明，推出，再证明，由直角三角形的性质求出，则可得结论．
【详解】解：由翻折的性质可知，，，
在和中，
，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，
，
由翻折的性质可知，，，，
，．
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明四边形是矩形．
4．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，以线段为边在第四象限内作等边，点C为x轴正半轴上一动点()，连接，以线段为边在第四象限内作等边，直线交y轴于点E．下列结论正确的有( )个．
(1)；
(2)的度数随着点C位置的变化而改变；
(3)点E的位置不随着点C位置的变化而变化，点E的坐标是；
(4)当点C的坐标为时，四边形的面积S与m的函数关系式为S＝m2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】(1)易证，即可证明，即可解题；
(2)根据可得，可得的度数不会随着点C位置的变化而改变；即可证明该结论错误．
(3)根据题意易得到，然后在中根据直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半可以得到，从而得到E的坐标是固定的；
(4)根据，可得四边形的面积，即可解题．
【详解】解：(1)∵是等边三角形，
∴，，
又∵是等边三角形
∴，，
∴，
即，
在和中，
，
∴；(1)正确；
(2)∵，
∴，
又∵，
∴，
∴的度数不会随着点C位置的变化而改变；(2)错误；
(3)∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点E的位置不会发生变化，E的坐标为；(3)正确；
(4)过点B作轴于F，过点D作轴于H，
∵，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，，
∴，
，
∴四边形的面积
故(4)错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、面积相等的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证是解题的关键．
5．如图，在正方形中，E为边上一点，过点D作，与的延长线交于点F．连接，与边交于点G，与对角线交于点H，与相交于点I．下列结论：①；②；③；④若，则；⑤连接，则．其中结论正确的序号是( )．
A．①②④B．①②③⑤C．③④⑤D．①②③④⑤
【答案】D
【分析】由题意易证，即得出，故①正确；由全等三角形的性质可得出，结合勾股定理即得出，故②正确；由题意可求出，结合全等三角形的性质可得出，故③正确；根据正方形的性质易得出，从而可求出，即可求出，再由求解，即可判断④正确；证明，即得出，进而即可证，故⑤正确．
【详解】解：在正方形中，，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴．
∵，
∴根据勾股定理，得，故②正确；
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，故③正确；
在正方形中，，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，故④正确；
连接，如图，
∵，
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即∠．
在和中，
∴，
∴，
∴，故⑤正确．
综上所述，正确的有①②③④⑤．
故选D．
【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识．熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题关键．
二、填空题
6．如图，四边形为菱形，点在菱形对角线的延长线上，点在边上，线段与交于点，且，其中，，则线段的长为__________．
【答案】7
【分析】过点作交于点，过点作于点，则四边形是矩形，连接，证明四边形是正方形，进而证明，结合已知条件即可求解．
【详解】解：如图所示，
过点作交于点，过点作于点，则四边形是矩形，连接，
∵四边形是菱形，
∴
∴
∵，
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
根据菱形的对称性可知，
∴
∴中，
∴，∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，菱形的性质，正方形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
7．如图，菱形的边长为，，为的中点，在对角线上存在一点，使的周长最小，则的周长的最小值为 ______ ．
【答案】/
【分析】连接交于点，连接，．由的长为定值，即得出的长度最小时的周长最小．再根据菱形的性质可推出的最小长度为的长，此时点P与点重合．结合题意易证是等边三角形，进而可求出，最后由三角形周长公式求解即可．
【详解】解：如图，连接交于点，连接，．

的长度固定，
要使的周长最小，只需要的长度最小即可．
四边形是菱形，
与互相垂直平分，
，
的最小长度为的长，此时点P与点重合．
菱形的边长为，为的中点，，
，
，
是等边三角形，
，，，
∴，
的最小周长．
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，垂线段最短，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识．理解的最小长度为的长，此时点P与点重合是解题关键．
8．如图，，点在边上，，点为边上一动点，连接，与关于所在的直线对称，点，分别为，的中点，连接并延长交所在直线于点，连接，当为直角三角形时，的长为__________
【答案】或2
【分析】当为直角三角形时，存在两种情况：①当时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：，根据直角三角形斜边中线的性质得：，最后利用勾股定理可得的长；②当时，如图2，证明是等腰直角三角形，可得．
【详解】解：当为直角三角形时，存在两种情况：
①当时，如图1，
与关于所在直线对称，
，，
点，分别为，的中点，
、是的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
；
②当时，如图2，
，
，
与关于所在直线对称，
，
是等腰直角三角形，
；
综上所述，的长为或2；
故答案为：或2．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．
9．如图，在菱形中，，，E为中点，F为上一点，且，则的长为___________．
【答案】
【分析】连接交于，过作于，证明，为等边三角形，可得，可得，，，，，，证明，而，可得，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：连接交于，过作于，
∵菱形中，，
∴，，，
∴，为等边三角形，
∴，
∵，为的中点，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，而，
∴，
∴，
∴，
∴．(负根舍去)
故答案为：
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的三角形的性质，二次根式的混合运算，灵活的应用以上知识解题是关键．
10．在矩形中，点D是的中点，点E是AB上一点，且，，交于F，下列结论：①平分；②；③；④，其中正确的是____________．
【答案】①②③④．
【分析】如图所示，延长交延长线于H，证明得到，再证明得到即可判断①；如图所示，过点B作于N，交延长线于M，则四边形是矩形，证明，得到，可证四边形是正方形，得到，即可判断②；设，则，则，求出，；利用勾股定理求出，，即可判断③；先求出，进而证明，得到，则，即可判断④．
【详解】解：如图所示，延长交延长线于H，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平分，故①正确；
如图所示，过点B作于N，交延长线于M，则四边形是矩形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，故②正确；
设，则，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题
11．为落实《健康中国行动()》等文件精神，某学校准备购进一批足球和排球促进校园体育活动．据了解，某体育用品超市每个足球的价格比排球的价格多20元，用500元购买的足球数量和400元购买的排球数量相等．
(1)求每个足球和排球的价格；
(2)学校决定购买足球和排球共50个，且购买足球的数量不少于排球的数量，求本次购买最少花费多少钱？
(3)在(2)方案下，体育用品超市为支持学校体育活动，对足球提供8折优惠，排球提供7.5折优惠．学校决定将节约下的资金全部用于再次购买足球和排球(此时按原价购买，可以只购买一种)，求再次购买足球和排球的方案．
【答案】(1)每个足球的价格为100元，每个排球的价格为80元
(2)本次购买最少花费4500元钱
(3)学校再次购买足球和排球的方案有3个：①只购买10个足球；②购买6个足球，5个排球；③购买2个足球，10个排球
【分析】(1)设每个足球的价格为x元，则每个排球的价格为元，由题意：用500元购买的足球数量和400元购买的排球数量相等，列出分式方程，解方程即可；
(2)设学校决定购买足球a个，本次购买花费y元，则购买排球个，求出，再由题意得，然后由一次函数的性质即可得出结论；
(3)求出学校节约资金1000元，设学校再次购买足球m个，排球n个，再由题意：学校决定将节约下的资金全部用于再次购买足球和排球，列出二元一次方程，求出非负整数解，即可解决问题．
【详解】(1)解：设每个足球的价格为x元，则每个排球的价格为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：每个足球的价格为100元，每个排球的价格为80元；
(2)解：设学校决定购买足球a个，本次购买花费y元，则购买排球个，
则，
解得：，
由题意得：，
∵，
∴y随a的增大而增大，
∴当时，y有最小值，
答：本次购买最少花费4500元钱；
(3)解：在(2)方案下，学校购买足球和排球各25个，花费4500元，
∵体育用品超市为支持学校体育活动，对足球提供8折优惠，排球提供7.5折优惠，
∴学校节约资金：(元)，
设学校再次购买足球m个，排球n个，
由题意得：，
整理得：，
∵m、n都是非负整数，
∴或或，
∴学校再次购买足球和排球的方案有3个：
①只购买10个足球；②购买6个足球，5个排球；③购买2个足球，10个排球．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)正确求出一次函数关系式；(3)找准等量关系，正确列出二元一次方程．
12．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线分别交x轴、y轴于点A、C，过点C的直线交x轴正半轴于点B．
(1)求点B坐标；
(2)点P为线段上一点(不与点B、C重合)，连接，过点O作交于点Q，连接，设点P横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
(3)在(2)的条件下，点D为y轴负半轴上一点，连接、、，若，，求D点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)由直线先求出点A，C坐标，从而求出直线的解析式，即可求出点B坐标；
(2)根据证明，得，由得，根据可得结论；
(3)延长至点N，使，连接，证明，，设，则，， ，．在中由勾股定理得，连接，可证明，过点D作于点K，交x轴于点M，可得，，求出即可．
【详解】(1)解：在中，当时，，
∴，
当时，，，
∴，
∵直线经过点C，
∴，
∴，
在中，当时，，
∴．
(2)解：∵，
∴，
∵，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
(3)解：设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
延长至点N，使，连接，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
中，，
∴；
设，则，，
∴，．
在中，，
即，
解得，
连接，设，，则，
∵，，，
∴，
过点D作于点K，交x轴于点M，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】考查了一次函数的综合应用，题目中涉及到了全等三角形的判定与性质，勾股定理，运用待定系数法求一次函数解析式等知识，解题的关键是根据题目正确的作出辅助线．
13．如图1，四边形为菱形，，，，且．

(1)点B坐标为______，点A坐标为______，四边形的面积为______；
(2)点E在线段上运动，为等边三角形．
①如图2，求证：，并求的最小值；

②如图3，点E在线段上运动时，点F的横坐标是否发生变化？若不变，请求出点F的横坐标．若变化，请说明理由．

【答案】(1)，，
(2)①证明见解析，；②不变，
【分析】(1)由平方和算术平方根的非负性可得出，，从而可求出．再利用菱形的性质结合，可求出，进而可求出，即得出，得出，又可求出，即得出，最后利用菱形的面积公式即可出；
(2)设交于J，由菱形的性质结合题意易证，都是等边三角形，即得出，从而可证．再结合，即可证，得出，即说明当时，的值最小．最后结合含30度角的直角三角形的性质求解即可；②过点F作于H．由全等的性质可得，即易证，得出，即说明点F的横坐标为，不变．
【详解】(1)解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
∵四边形为菱形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴．
胡答案为：，，；
(2)①证明：如图，设交于J．
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，都是等边三角形，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴当时，的值最小．
∵，
∴，
∴
∴AF的最小值为．
②解：不变．
理由：如图，过点F作于H．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴点F的横坐标为，不变．

【点睛】本题考查非负数的性质，坐标与图形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，综合性强．正确作出辅助线是解题关键．
14．已知，四边形是正方形，绕点旋转，，，连接，

(1)如图，求证：；
(2)直线与相交于点．
①如图，于点，点，证明矩形是正方形；
②如图，连接，若，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】(1)利用正方形性质，求得，，利用证明三角形全等即可；
(2)①根据，可得，又因为，，所以四边形是矩形，证明，可知从而证明，矩形是正方形；
②作交于点，作于点，证明是等腰直角三角形，求出的最小值，可得结论．
【详解】(1)证明：四边形是正方形，
，，
，，
，
，
在和中，
，
；
(2)①证明：如图中，设与相交于点，

，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，，
，
又，
，
，
矩形是正方形；
②作交于点，作于点，

此时，
，
，，
最大时，最小，，
，
由(2)①可知，是等腰直角三角形，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
15．如图1，在中，，，，点P，Q分别是上的动点，P从C出发以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，Q从A出发以每秒8个单位长度的速度向终点B运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为t秒．过点Q作于点M．

(1)______，______．(用含t的代数式表示)
(2)如图2，已知点D为中点，连接，以为邻边作平行四边形．
①当时，求的长；
②在运动过程中，是否存在某一时刻，使得平行四边形的一边落在的某边上？若存在，求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①；②存在，或2或3
【分析】(1)先利用含角的直角三角形的性质求出，进而得到，据此求出即可；
(2)①根据，求出，则，利用勾股定理分别求出，，进而求出，则；②分图2-1，2-2，2-3三种情况，讨论求解即可．
【详解】(1)解：∵在中，，，，
∴，
∵P从C出发以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，Q从A出发以每秒8个单位长度的速度向终点B运动，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：，；
(2)解：①∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵点D为中点，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得；
②如图2-1所示，当落在上时，则，
∴，
∴此时点D与点M重合，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或(舍去)；

如图2-2所示，当落在上时，延长到H使得，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
解得；

如图2-3所示，当点Q运动到点B时，此时在上，
∴；
综上所述，t的值为或2或3．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．