必修 第二册8.1 基本立体图形优秀第1课时导学案

8.1　基本立体图形

第1课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征

知识点1　空间几何体的定义、分类与相关概念

1．空间几何体：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．

2．分类：常见的空间几何体有多面体和旋转体两类．

3．多面体和旋转体

1．观察下列图片，这些都是我们日常熟知的一些物体：

①  　　②　  　③　  　④　  　⑤　  　⑥

(1)哪些物体围成它们的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形？

(2)哪些物体围成它们的面中既有平面图形，又有曲面图形？

(3)哪些物体围成它们的面都是曲面图形？

[提示]　(1)②④；(2)①③⑤；(3)⑥

1．下列实物不能近似看成多面体的是(　　)

A．钻石　　　B．骰子　　　C．足球　　　D．金字塔

C　[钻石、骰子、金字塔的表面都可以近似看成平面多边形，所以它们都能近似看成多面体．足球的表面不是平面多边形，故不能近似看成多面体．]

知识点2　棱柱的结构特征

1．棱柱的结构特征

2．棱柱的分类

直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱．

斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱．

正棱柱：底面是正多边形的直棱柱．

平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱．

3．常见的几种四棱柱之间的转化关系

四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体

2．棱柱的侧面一定是平行四边形吗？

[提示]　根据棱柱的概念可知，棱柱侧面一定是平行四边形．

2．下列命题正确的是(　　)

A．四棱柱是平行六面体

B．直平行六面体是长方体

C．长方体的六个面都是矩形

D．底面是矩形的四棱柱是长方体

C　[底面是平行四边形的四棱柱才是平行六面体，选项A错误；底面是矩形的直平行六面体才是长方体，选项B错误；底面是矩形的直四棱柱才是长方体，选项D错误；选项C显然正确．]

知识点3　棱锥的结构特征

3．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体一定是棱锥吗？

[提示]　不一定．因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”．

3．在三棱锥A­BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为(　　)

A．1　　　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4

D　[每个三角形都可以作为底面．]

知识点4　棱台的结构特征

4．棱台的上下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交于一点吗？

[提示]　根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点．

4．下面四个几何体中，是棱台的是(　　)

A　　　　　  　　　　B

C　　　　　　   　　　　　D

C　[A项中的几何体是棱柱．

B项中的几何体是棱锥；

D项中的几何体的棱AA′，BB′，CC′，DD′没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台；

C项中的几何体是由一个棱锥被一个平行于底面的平面截去一个棱锥剩余的部分，符合棱台的定义，是棱台．

故选：C．]

类型1　棱柱的结构特征

【例1】　(1)下列命题中，正确的是(　　)

A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面

C．棱柱的侧面是平行四边形，但底面不是平行四边形

D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形

(2)如图所示，长方体ABCD­A1B1C1D1．

①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？

②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？若是，请指出它们的底面．

(1)D　[由棱柱的定义可知，只有D正确，分别构造图形如下：

①　　　　　②　　　　　　③

图①中平面ABCD与平面A1B1C1D1平行，但四边形ABCD与A1B1C1D1不全等，故A错；图②中正六棱柱的相对侧面ABB1A1与EDD1E1平行，但不是底面，B错；图③中直四棱柱底面ABCD是平行四边形，C错，故选D．]

(2)[解]　①长方体是四棱柱．因为它有两个平行的平面ABCD与平面A1B1C1D1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义．

②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分，有两个平行的平面BB1M与平面CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1M­CC1N．同理，另一部分也是棱柱，可以用符号表示为四棱柱ABMA1­DCND1．

有关棱柱结构特征问题的解题策略

(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义：

①两个面互相平行；

②其余各面是四边形；

③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征．

(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．

1．(多选题)下列关于棱柱的说法正确的是(　　)

A．所有棱柱的两个底面都平行

B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余每相邻面的公共边互相平行

C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱

D．棱柱至少有五个面

ABD　[对于A、B、D，显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误．]

类型2　棱锥、棱台的结构特征

【例2】　(1)(多选题)下列关于棱锥、棱台的说法，正确的是(　　)

A．棱台的侧面一定不会是平行四边形

B．棱锥的侧面只能是三角形

C．由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥

D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥

(2)判断如图所示的几何体是不是棱台，为什么？

(1)ABC　[A正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；B正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；C正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；D错误，如图所示，四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．]

(2)[解]　①②③都不是棱台．因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是棱台，虽然②是由棱锥所截得的，但截面和底面不平行，故不是棱台，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台．

根据几何体的结构特征如何辨析其为棱锥还是棱台？

[提示]　(1)举反例法

结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．

(2)直接法

2．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台．(仅填相应序号)

①③④ 　⑥ 　⑤ 　[结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．]

类型3　多面体的表面展开图

【例3】　(1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)(　　)

(2)如图是三个几何体的平面展开图，请问各是什么几何体？

1．棱柱的侧面展开图是什么图形？正方体的表面展开图又是怎样的？

[提示]　棱柱的侧面展开图是平行四边形；正方体的表面展开图如图：

2．棱台的侧面展开图又是什么样的？

[提示]　棱台的侧面展开图是多个相连的梯形．

(1)A　[由选项验证可知选A．]

(2)[解]　图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点．把平面展开图还原为原几何体，如图所示．所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．

多面体展开图问题的解题策略

(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．

(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．

3．某人用如图所示的纸片，沿折痕向纸外折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”(字在灯的外表面)，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯逆时针旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①，②，③处应依次写上(　　)

A．快、新、乐　　 B．乐、新、快

C．新、乐、快   D．乐、快、新

A　[根据四棱锥图形，当灯逆时针旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为②年①③，故选A．]

1．下列说法正确的是(　　)

A．棱柱中相邻两个面的公共边叫做侧棱

B．棱柱中至少有两个面的形状完全相同

C．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面

D．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱

B　[A错误，底面和侧面的公共边不是侧棱；B正确，根据棱柱的特征知，棱柱的两个底面一定是全等的，故棱柱中至少有两个面的形状完全相同；C错误，正六棱柱的两个相对侧面互相平行；D错误，“其余各面都是平行四边形”并不能保证“相邻两个四边形的公共边都互相平行”，如图所示的几何体就不是棱柱．]

2．棱台不具备的特点是(　　)

A．两底面相似　 B．侧面都是梯形

C．侧棱都相等   D．侧棱延长后都交于一点

C　[由于棱锥的侧棱不一定相等，所以棱台的侧棱都相等的说法是错误的．]

3．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为(　　)

A．四棱柱　　B．四棱锥　　C．三棱柱　　D．三棱锥

D　[根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥．]

4．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是(　　)

A　　　　　B　　　  　C　　　　　D

D　[A，B，C中底面多边形的边数与侧面数不相等．]

5．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则在正方体表面上，从顶点A到顶点C1的最短距离为________．

2　[将侧面ABB1A1与上底面A1B1C1D1展开在同一平面上，连接AC1，则线段AC1的长即为所求．如图，AC1＝2．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)空间几何体的定义、分类是什么？

(2)棱柱、棱锥、棱台各有什么几何特征？

(3)如何解决多面体的表面展开图？