高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.1 基本立体图形第2课时课后练习题

8.1　基本立体图形

第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征

1.下列命题中正确的是(　　)

①圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个;

②圆柱的所有平行于底面的截面都是圆;

③圆台的两个底面可以不平行.

A.①② B.② C.②③ D.①③

解析:①中当圆锥过顶点的轴截面顶角大于90°时,其面积不是最大的;③圆台的两个底面一定平行.故①③错误.

答案:B

2.下列说法正确的是(　　)

A.圆锥的母线长等于底面圆直径

B.圆柱的母线与轴垂直

C.圆台的母线与轴平行

D.球的直径必过球心

解析:对于A,圆锥的母线长不一定等于底面圆直径;对于B,圆柱的母线与轴平行;对于C,圆台的母线与轴延长后相交于一点;D正确.

答案:D

3.从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体如图所示.现用一个平行于底面的平面去截这个几何体,则截面图形为(　　)

解析:截面图形应为图C所示的圆环面.

答案:C

4.如图,有一圆柱形的开口容器(下表面密封),其轴截面是边长为2的正方形,P是BC的中点,现有一只蚂蚁位于外壁A处,内壁P处有一米粒,则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为　　　　.

解析:侧面展开后得矩形ABCD,其中AB=π,AD=2,问题转化为在CD上找一点Q,使AQ+PQ最短.作P关于CD的对称点E,连接AE,AE与CD交于点Q,AE=,则AQ+PQ的最小值为.

答案:

5.下列说法中错误的是　　　　　(填序号). 

①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的;

②球的所有截面中过球心的截面的面积最大;

③圆台的所有平行于底面的截面都是圆面;

④圆锥的所有轴截面都是全等的等腰直角三角形.

解析:根据旋转体的定义可知,圆锥的所有轴截面是全等的等腰三角形.

答案:④

6.已知圆锥的底面半径为1 cm,高为 cm,其内部有一个内接正方体,则这个内接正方体的棱长为　　　　　. 

解析:过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面,得圆锥的轴截面SEF,正方体对角面CDD1C1,如图所示.

设正方体的棱长为xcm,

则CC1=xcm,C1D1=xcm,

作SO⊥EF于点O,

则SO=cm,OE=1cm,

∵△ECC1∽△ESO,

∴,

即,

∴x=,即内接正方体的棱长为cm.

答案: cm

7.一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,则截面的可能图形有　　　　　. 

解析:当截面平行于正方体的一个侧面时得③,当截面过正方体的对角线时得②,当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①,但无论如何都不能截出④.

答案:①②③

8.如图①②所示的两个组合体有什么区别?

①

②

解:图①所示的组合体是一个长方体上面又放置了一个圆柱,也就是一个长方体和一个圆柱拼接成的组合体;而图②所示的组合体是一个长方体中挖去了一个圆柱剩余部分构成的组合体.

9.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4,母线长为10 cm.求圆锥的母线长.

解:设圆锥的母线长为lcm,圆台上、下底面的半径分别为rcm,Rcm.

∵,

∴,

∴l=(cm).

故圆锥的母线长为cm.

10.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392 cm2,母线与轴的夹角是45°,求这个圆台的高、母线长和两底面的半径.

解:圆台的轴截面如图所示,设圆台上、下底面的半径分别为xcm,3xcm,延长AA1交OO1的延长线于点S,

在Rt△SOA中,∠ASO=45°,

则∠SAO=45°,

所以SO=AO=3x,SO1=A1O1=x,则OO1=2x.

又S轴截面=(6x+2x)·2x=392,得x=7.

所以圆台的高OO1=14(cm),

母线长l=OO1=14(cm),

两底面的半径分别为7cm,21cm.

11.如图所示,正方形ABCD的边长为a,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.若沿EF,FG,GH,HE将四角折起,试问能折成一个四棱锥吗?为什么?你从中能得到什么结论?对于圆锥有什么类似的结论?

解:连接EG,FH,将正方形ABCD分成四个一样的小正方形.若将正方形ABCD沿EF,FG,GH,HE折起,则四个顶点必重合于正方形的中心,故不能折成一个四棱锥.由此可以得到结论:所有棱锥的侧面三角形中以公共顶点为顶点的所有角之和必小于360°.

对于圆锥,有下列结论:圆锥的侧面展开图一定是一个扇形,绝不可能是圆,但可以是一个半圆.