高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.1 基本立体图形优秀学案设计

微专题2　立体几何中的翻折问题

高考全国卷中，立体几何重视考查几何元素间的位置关系、度量关系．回顾和审视全国卷历年试题的命制，我们发现有一条清晰的脉络，那就是特别重视基本平面几何图形性质的空间探索，也即特别重视平面图形翻折前后的几何元素间的位置关系、度量关系的变与不变的考查．这样命题有助于充分考查考生的空间想象能力，有助于从熟悉的平面图形要素的位置关系进入到空间几何体的几何要素关系的把握上．

类型1　筝形的翻折

筝形是指以一条对角线所在直线为对称轴的四边形，与菱形定义相对应．菱形是特殊的筝形．筝形的一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线．

在筝形从平面到空间变换的研究中，常常沿着其中一条对角线进行翻折．在翻折过程中，两条对角线垂直关系保持不变，这就成为高考试题命制的基础，常常利用两个对应的等腰三角形来描述空间筝形．

【例1】　(2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．

(1)证明：AC⊥BD；

(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

[解]　(1)证明：如图，取AC的中点O，连接DO，BO．

因为AD＝CD，所以AC⊥DO．

又由于△ABC是正三角形，

所以AC⊥BO．

从而AC⊥平面DOB，

故AC⊥BD．

(2)连接EO．

由(1)及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝AO．

在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2．

又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，

故∠DOB＝90°．

由题设知△AEC为直角三角形，所以EO＝AC．

又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝BD．

故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1．

类型2　等腰梯形的翻折

等腰梯形的翻折主要强调对腰的翻折，也即保持底面的矩形特征，两腰向中间翻折，而这里面就有两底的端点是否合拢的问题．

【例2】　如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD＝2，∠AFD＝90°，且二面角D­AF­E与二面角C­BE­F都是60°．

(1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；

(2)求该五面体的体积．

[解]　(1)证明：因为AF⊥DF，AF⊥EF，EF∩DF＝F，所以AF⊥平面EFDC．

又AF⊂平面ABEF，所以平面ABEF⊥平面EFDC．

(2)由(1)知∠DFE为二面角D­AF­E的平面角，故∠DFE＝60°．因为AB∥EF，所以AB∥平面EFDC．

又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，故AB∥CD，CD∥EF．

由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，所以∠CEF为二面角C­BE­F的平面角，故∠CEF＝60°．

如图，连接AC，AE，作CM⊥EF于M，

因为平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC＝EF，CM⊂平面EFDC，所以CM⊥平面ABEF．

因为AF＝2FD＝2，所以DF＝CE＝1，EF＝2，CM＝，CD＝1．

则V四棱锥A­EFDC＝××(EF＋CD)×CM×AF＝，

V三棱锥C­ABE＝××AB×BE×CM＝．

所以五面体ABCDEF的体积V＝V四棱锥A­EFDC＋V三棱锥C­ABE＝＋＝．

类型3　直角梯形的翻折

如图所示，在直角梯形中有一类由两个直角三角形(特别是其中一个是等腰直角三角形)拼接而成的直角梯形是翻折问题考查的热点．这类翻折问题，一般都沿着两个三角形的公共边进行翻折，翻折的位置往往强调两个面互相垂直，这样容易考查线面垂直和面面垂直中的性质定理与判定定理．具体操作时要注意翻折前后的点与线、线与线位置关系的变与不变，数量关系的变与不变．

【例3】　如图(1)，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，AB∥CD，AB＝4，AD＝CD＝2．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D­ABC，如图(2)所示．

(1)求证：BC⊥平面ACD；

(2)求几何体D­ABC的体积．

(1)　 　　　(2)

[解]　(1)在直角梯形ABCD中，因为∠ADC＝90°，AD＝CD＝2，

所以∠DAC＝45°，AC＝2．

又AB∥CD，AB＝4，所以∠ACB＝90°，BC＝2．

因为平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，AC⊥BC，所以BC⊥平面ACD．

(2)V三棱锥D­ABC＝V三棱锥B­ADC＝××AD×CD×BC＝．

类型4　矩形(正方形)的翻折

矩形是大家比较熟悉的平面图形，对于矩形的翻折问题，常常聚焦于具有一定长宽比的矩形翻折问题．如图所示．

类比于筝形，在图形沿着对角线BD或者CF翻折过程中，垂直关系始终保持不变，而这就是命题的落脚点．近几年全国卷高考题也进行了正方形的翻折研究．

【例4】　如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，E为BC的中点，把△ABE和△CDE分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P．

(1)求证：PE⊥平面PAD；

(2)求二面角P­AD­E的大小．

[解]　(1)证明：在矩形ABCD中，有EC⊥CD，EB⊥BA，

∴由题意知：PE⊥PD，PE⊥PA，而PD∩PA＝P，

∴PE⊥平面PAD．

(2)过E作EF⊥AD于F，连接PF，又AD⊂平面PAD，

由(1)知：PE⊥AD，而PE∩EF＝E，所以AD⊥平面PEF，

∴∠PFE为二面角P­AD­E的平面角，而AB＝，BC＝2，

∴PF＝PE＝1，FE＝，

则cos ∠PFE＝＝，

∵∠PFE∈[0，π]，

∴∠PFE＝．