必修第二册第六章 平面向量 专题6.6向量的数量积（重难点题型检测）习题及答案-2022-2023学年高一数学举一反三系列（人教A版2019）

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专题6.6 向量的数量积（重难点题型检测）-2022-2023学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）专题6.6  向量的数量积（重难点题型检测）【人教A版2019】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）（2022秋·福建泉州·高二期末）1．关于平面向量a,b,c，下列说法正确的是（    ）A．若a⋅c=b⋅c，则a=b B．(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅cC．若a2=b2，则a⋅c=b⋅c D．(a⋅b)⋅c=(b⋅c)⋅a（2022春·山东·高三阶段练习）2．设非零向量a，b满足a=2b，a+b=3b，则向量a在b方向上的投影向量（    ）A．-b B．b C．-a D．a（2022春·青海西宁·高三期中）3．已知向量a，b满足a=1，b=3，且a，b的夹角为30°，则a-2b=（    ）A．3 B．7 C．7 D．3（2022秋·河南商丘·高一期末）4．已知a→=1，b→=2，c→=4，a→,b→的夹角θ=π3，则a→-c→⋅b→-c→的最大值为（    ）A．17+47 B．12+85 C．18-25 D．20-37（2022春·山东青岛·高二阶段练习）5．已知向量c=a+tb(t∈R)，若a=1，b=2，当且仅当t=-14时，c取得最小值，则向量a与b的夹角为（    ）A．π6 B．π3 C．2π3 D．5π6（2022春·河北张家口·高三期中）6．已知△ABC中，AB=AC=2,A=2π3，设点M，N满足AM=λAB,AN=(1-λ)AC，λ∈R，若BN⋅CM=6，则λ=（    ）A．2 B．3 C．2或3 D．-2或3（2022·全国·高三专题练习）7．已知向量a,b,c满足a=1,2a+b=0,2c-a=c-b，则向量c-b与a夹角的最大值是（    ）A．π12 B．π6 C．π4 D．π3（2022秋·浙江·高一期中）8．已知平面向量a,b满足|a|=2，|b|=3，且|xa+(1-2x)b|(x∈R)的最小值32，则|a+yb|(y∈R)的最小值为（    ）A．32 B．1 C．2 D．1或2二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）（2022·辽宁·校联考二模）9．下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的有（    ）．A．a+b⋅c=a⋅c+b⋅c B．a-b≤a+bC．a⋅b≤a⋅b D．a⋅b⋅c=a⋅b⋅c（2022·全国·高一专题练习）10．e1，e2是夹角为23π的单位向量，a=e1-2e2，b=2e1+e2，则下列结论中正确的有（    ）A．a⊥b B．a=7 C．a-b=13 D．cosa,a-b=1114（2022春·重庆·高三阶段练习）11．如图，在△ABC中，BC=12,D,E是BC的三等分点，则（    ）A．AE=13AB+23ACB．若AB⋅AC=0，则AE在AB上的投影向量为23ABC．若AB⋅AC=9，则AD⋅AE=40D．若AD⋅AE=4,AB2+AC2=88（2022秋·江苏泰州·高一期中）12．折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB=120°,OA=3OC=3，点E在弧CD上.（    ）A．OA⋅CD=-2 B．若OE=uOC+uOD，则u=1C．若∠DOE=30°，则OE=33OC+233OD D．EA⋅EB的最小值为-132三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）（2023·高一课时练习）13．已知a=2，a与b的夹角为2π3，e是与b同向的单位向量，则a在b方向上的投影向量为 ．（2022春·广东·高三学业考试）14．已知向量a，b满足a=b=1，a⋅a-b=32，则2a-b= .（2023·全国·高三专题练习）15．已知|a|=2，b=1，a与b的夹角为45°，若向量2a-λb与λa-3b的夹角是锐角，则实数λ的取值范围是： ．（2022春·新疆·高三阶段练习）16．在△ABC中，AB=5，AC=3，且AB⋅AC=9，设P为平面ABC上的一点，则PA⋅PB+PC的最小值是 ．四．解答题（共6小题，满分44分）（2022秋·广西桂林·高一期中）17．已知|a|=4，|b|=2，且a与b夹角为120°．求：(1)(a-2b)⋅(a+b)；(2)|2a-b|（2022秋·北京·高一阶段练习）18．已知a=2,b=3,a-b=7.(1)求a与b夹角的余弦值.(2)当a+2b与ka-b的夹角为钝角时，求k的取值范围.（2022·高一课时练习）19．如图，在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=60°，DB=2AD，CE=2EB．(1)设CD=xAB+yAC，求x，y的值，并求CD；(2)求AB⋅DE的值．（2022秋·河南南阳·高一期中）20．如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=60∘，AD=3DB，AE=2EC，P为线段DE上的一动点．(1)若AP=xAB+yAC，求8x+9y的值；(2)求PB⋅PC的最小值．（2022秋·山东·高一阶段练习）21．在△ABC中，a、b、c分别为角A，B，C的对边，平面内点O满足(OA+OB)⋅AB=(OB+OC)⋅BC=(OC+OA)⋅CA=0，且b2-2b+c2=0．(1)证明：点O为三角形的外心；(2)求BC⋅AO的取值范围．（2022·高一课时练习）22．已知向量e1,e2，且e1=e2=1，e1与e2的夹角为π3.m=λe1+e2，n=3e1-2e2.（1）求证：2e1-e2⊥e2；（2）若m=n，求λ的值；（3）若m⊥n，求λ的值；（4）若m与n的夹角为π3，求λ的值.参考答案：1．B【分析】利用向量垂直及数量积的定义可判断A，根据平面向量数乘的分配律即可判断B，利用数量积的定义可判断CD．【详解】对于A，若c和a，b都垂直，显然a，b至少在模的方面没有特定关系，所以命题不成立；对于B，这是平面向量数乘的分配律，显然成立；对于C，若a2=b2，则a=b，a⋅c=a⋅ccosa,c,b⋅c=b⋅ccosb,c，而cosa,c与cosb,c不一定相等，所以命题不成立；对于D，a⋅b⋅c与a⋅b⋅c分别是一个和c，a共线的向量，显然命题a⋅b⋅c=a⋅b⋅c不一定成立．故选：B．2．A【分析】设a,b的夹角为α，求出cosα=-12即得解.【详解】解：设a,b的夹角为α，由a+b=3b得a2+b2+2a·b=3b2,∴4b2+b2+4b2cosα=3b2,∴cosα=-12.所以向量a在b方向上的投影向量为|a|cosα⋅b|b|=2|b|×-12×b|b|=-b.故选：A3．C【分析】计算出a⋅b=32，再根据a-2b=a-2b2计算出结果.【详解】由题意得：a⋅b=a⋅bcos30°=3×32=32，所以a-2b=a-2b2=a2-4a⋅b+4b2=1-6+4×3=7.故选：C4．A【分析】设a→+b→，c→的夹角为α，进而由题知a→+b→=7，a→-c→⋅b→-c→=17-47cosα，再结合三角函数性质求解即可.【详解】解：设a→+b→，c→的夹角为α.因为a→=1，b→=2，a→,b→的夹角θ=π3，所以a→+b→2=1+2a→⋅b→+4=5+2×2×cosπ3=7，即a→+b→=7，所以a→-c→⋅b→-c→=a→⋅b→-a→+b→⋅c→+c→2=2×cosπ3-a→+b→⋅c→cosα+16 =17-47cosα≤17+47.当且仅当cosα=-1时等号成立.故选：A5．B【分析】设向量a与b的夹角为θ，结合已知条件计算c2=a+tb2=a+tb2进而可得c，再由二次函数的性质可得c取得最小值的条件，结合θ的范围即可求解.【详解】因为c=a+tb，a=1，b=2，设向量a与b的夹角为θ，所以c2=a+tb2=a+tb2=a2+t2b2+2tabcosθ=4t2+4tcosθ+1=4t+cosθ22+1-cos2θ，所以c=4t+cosθ22+1-cos2θ，又因为当且仅当t=-14时，c最小，即-14+cosθ2=0，所以cosθ=12，因为0≤θ≤π，所以θ=π3，故选：B.6．D【分析】首先用基底AB,AC表示BN,CM，代入数量积公式，即可求解.【详解】BN=AN-AB=1-λAC-AB,CM=AM-AC=λAB-AC,所以BN⋅CM=1-λAC-ABλAB-AC=1-λ⋅λ⋅AB⋅AC-1-λ⋅AC2-λ⋅AB2+AB⋅AC =1-λ⋅λ⋅22⋅-12-41-λ-4λ+22⋅-12=2λ2-2λ-6,即2λ2-2λ-6=6⇔λ2-λ-6=0解得：λ=-2或λ=3.故选：D7．B【分析】根据题意化简得到(c-b)2-8a⋅c-b+12=0，得到a⋅c-b=(c-b)2+128，结合向量的夹角公式和基本不等式，即可求解.【详解】由题意知2c-a=c-b，可得2c-b+b-a=c-b，又由b=-2a，可得2c-b-3a=c-b，则4(c-b)2-6a⋅c-b+9a2=(c-b)2，即(c-b)2-8a⋅c-b+12=0，即a⋅c-b=(c-b)2+128，所以cosa,(c-b)=a⋅c-bac-b=(c-b)2+128c-b≥212(c-b)28c-b=32，当且仅当(c-b)2=12时，等号成立，所以向量c-b与a夹角的最大值是π6.故选：B.8．B【分析】设f(x)=|xa+(1-2x)b|2，a⋅b=t，则f(x)=(16-4t)x2+(2t-12)x+3，由f(x)的最小值为34，得4×(16-4t)×3-(2t-12)24×(16-4t)=34，且16-4t>0，解得t=0或t=3，然后分2种情况考虑|a+yb|(y∈R)的最小值，即可得到本题答案.【详解】设f(x)=|xa+(1-2x)b|2，a⋅b=t，则f(x)=a2⋅x2+2x(1-2x)a⋅b+(1-2x)2b2 =4x2+2x(1-2x)t+31-4x+4x2=(16-4t)x2+(2t-12)x+3因为|xa+(1-2x)b|(x∈R)的最小值32，所以f(x)的最小值为34，则4×(16-4t)×3-(2t-12)24×(16-4t)=34，且16-4t>0，解得t=0或t=3，当t=0，即a⋅b=0时，|a+yb|=4+2ya⋅b+3y2=4+3y2≥2，所以|a+yb|(y∈R)的最小值为2；当t=3，即a⋅b=3时，|a+yb|=4+2ya⋅b+3y2=3y2+6y+4=3(y+1)2+1≥1，所以|a+yb|(y∈R)的最小值为1，综上，|a+yb|(y∈R)的最小值为1.故选：B【点睛】本题主要考查向量的模的计算与二次函数值域的综合问题，考查学生的推理分析能力和计算能力.9．ABC【分析】由数量积的运算律，向量模的几何意义，数量积的定义判断各选项．【详解】A是向量数量积中乘法与加法的分配律，A正确；B．设OA=a，OB=b，则a-b=BA，O,A,B三点不共线时，OA+OB>AB，所以a-b≤ab，C正确；当a与c不共线时，一般a⋅b⋅c与a⋅b⋅c也是不共线的向量，不可能相等．D错．故选：ABC．10．BD【分析】由数量积公式可得e1⋅e2，计算a⋅b是否等于0可判断A选项；求出a2可判断B选项；对a-b平方再开方计算可判断C选项；计算出a⋅a-b，由向量的夹角公式计算可判断D选项．【详解】由向量e1，e2是夹角为23π的单位向量，可得e1⋅e2=e1e2cos2π3=-12，∵a=e1-2e2，b=2e1+e2，∴a⋅b=2e12-2e22-3e1⋅e2=2-2+32=32≠0，∴a⊥b不成立，故A错误；a2=e12-4e1⋅e2+4e22=1+4+2=7，∴a=7，故B正确；由a-b=-e1-3e2，可得a-b=e12+6e1⋅e2+9e22=1-3+9=7，故C错误；a⋅a-b=-e12-e1⋅e2+6e22=-1+6+12=112，则cosa,a-b=a⋅a-baa-b=1127×7=1114，故D正确．故选：BD．11．AD【分析】根据平面向量线性运算的性质，结合投影向量的定义、平面向量数量积的运算性质逐一判断即可.【详解】对于A，AE=AC+CE=AC+13CB=AC+13AB-AC=13AB+23AC，故A正确；对于B，因为AB⋅AC=0，所以AB⊥AC，由题意得E为BC的一个三等分点（靠C点更近），所以AE在AB上的投影向量为13AB，故B不正确；对于C，AD=AC+CD=AC+23CB=AC+23AB-AC=23AB+13AC，AE=13AB+23AC，故AD⋅AE=29AB2+29AC2+59AB⋅AC=29AB2+29AC2+5，又CB=AB-AC⇒CB2=AB2+AC2-2AB⋅AC=144，所以AB2+AC2=2AB⋅AC+144=162，故AD⋅AE=29AB2+29AC2+5=41，故C错误；对于D，AD⋅AE=29AB2+29AC2+59AB⋅AC=4，而AB2+AC2-2AB⋅AC=144⇒AB⋅AC=12AB2+AC2-72，代入得12AB2+AC2=44⇒AB2+AC2=88，故选项D正确，故选：AD12．BCD【分析】A选项先利用OA⋅CD=OA⋅(CO+OD)，再按照数量积运算即可；B选项由平行四边形法则即可判断；C选项通过OC⋅OE=0,OD⋅OE=32,解方程组即可；D选项先表示出EA⋅EB，再结合正弦函数的范围求出最小值.【详解】OA⋅CD=OA⋅(CO+OD)=OA⋅CO+OA⋅OD=3×1×-1+3×1×-12=-92，A错误；由OE=uOC+uOD知，E为弧CD的中点，又∠AOB=120°，由平行四边形法则可知则OE=OC+OD，故u=1，B正确.由∠DOE=30°知，OC⋅OE=0,OD⋅OE=1×1×cos30∘=32，设OE=xOC+yOD，则OC⋅OE=OC⋅xOC+yOD=x-12y=0,OD⋅OE=OD⋅xOC+yOD=-12x+y=32,解得x=33,y=233,故OE=33OC+233OD，C正确.EA⋅EB=(EO+OA)⋅(EO+OB)=EO2+EO⋅OB+OA⋅EO+OA⋅OB=1-3cos∠BOE-3cos120°-∠BOE-92 =-32cos∠BOE-332sin∠BOE-72=-72-3sin∠BOE+30°≥-132，当且仅当∠BOE=60°时，等号成立，故EA⋅EB的最小值为-132，D正确.故选：BCD.13．-e【分析】根据则a在b方向上的投影向量的定义可得【详解】a在b方向上的投影向量为acos⋅e=2cos2π3⋅e=-e，故答案为：-e.14．7【分析】先根据a⋅a-b=32求出a⋅b=-12，故求出2a-b2，求出2a-b【详解】a⋅a-b=32，所以a2-a⋅b=32，因为a=b=1，所以1-a⋅b=32，所以a⋅b=-12，2a-b2=4a2-4a⋅b+b2=4+2+1=7，所以2a-b= 7故答案为：715．(1,6)∪(6,6)【分析】根据题意便知2a-λb⋅λa-3b>0，从而根据条件进行数量积的运算便可得出λ2-7λ+6<0，解该不等式，剔除夹角为零的情况，便可得出λ的取值范围.【详解】解：2a-λb与λa-3b夹角为锐角时，2a-λb⋅λa-3b=2λa2-6+λ2a⋅b+3λb2=4λ-6+λ2+3λ>0；解得1<λ<6；当λ=6时，2a-λb与λa-3b分别为2a-6b与6a-3b同向，夹角为零，不合题意，舍去；∴实数λ的取值范围为1,6∪6,6.故答案为：1,6∪6,6.【点睛】考查数量积的运算及其计算公式，以及向量夹角的概念，解一元二次不等式，此题容易漏掉考虑向量同向的情况.16．-132##-6.5【分析】根据数量积的运算律求出AB+AC，则PA⋅PB+PC=2PA2+PA⋅AB+AC，再根据数量积的定义及二次函数的性质计算可得.【详解】解：由题意得：AB+AC2=AB2+AC2+2AB⋅AC=25+9+18=52，则AB+AC=213，∵PA,AB+AC∈0,π，则PA⋅PB+PC=PA⋅PA+AB+PA+AC=2PA2+PA⋅AB+AC=2PA2+PA×AB+AC×cosPA,AB+AC ≥2PA2-PA×AB+AC=2PA2-213PA=2PA-1322-132≥-132，（当且仅当PA=132时取等）．故答案为：-132．17．(1)12(2)221【分析】（1）（2）利用向量的数量积的定义与运算法则，结合转化法即可得解.【详解】（1）因为|a|=4，|b|=2，a,b=120°，所以a2=a2=16,b2=b2=4，a⋅b=abcosa,b=4×2×-12=-4，所以(a-2b)⋅(a+b)=a2-a⋅b-2b2=16--4-2×4=12.（2）因为2a-b2=2a-b2=4a2-4a⋅b+b2=4×16-4×-4+4=84，所以2a-b=221.18．(1)23(2)-∞,-12∪-12,103【分析】（1）根据数量积的定义及数量积的运算性质求解即可；（2）利用向量夹角为钝角时，数量积为负建立不等式求解，注意向量反向共线的情况不合题意.【详解】（1）∵a-b=7，a=2，b=3，∴    a-b2=a2-2a⋅b+b2=2-2×2×3cos+9=7，解得cos=23（2）由（1）知，a⋅b=2×3×23=2当ka-b与a+2b的夹角为钝角时, (ka-b)⋅(a+2b)<0,即ka2-2b2+(2k-1)a⋅b=2k-18+2(2k-1)=6k-20<0，解得k<103，当ka-b与a+2b反向共线时，有ka-b=λ(a+2b) (λ<0)，即ka=λa-b=2λb，解得k=λ=-12，此时k=-12不满足题意.综上，实数k的取值范围-∞,-12∪-12,103.19．(1)x=13,y=-1，673；(2)73.【分析】（1）以AB→,AC→为基底，由向量的线性运算求出x,y，再由向量数量积的运算性质求模即可；（2）根据向量的线性运算转化为基底AB→,AC→表示，再由数量积的运算求解即可.【详解】（1）∵DB=2AD，∴AD=13AB，∴CD=AD-AC=13AB-AC=xAB+yAC，∴x=13,y=-1，∴|CD|=|13AB-AC| =19AB2-23AB⋅AC+AC2=19×4-23×2×3×12+9=673.（2）DE=BE-BD=-13CB+23AB= -13(AB-AC)+23AB=13AB+13AC∴AB⋅DE=AB⋅(13AB+13AC)=13AB2 +13AB⋅AC=43+13×2×3×12=73.20．(1)6(2)-289112【分析】（1）设DP=λDE，利用平面向量的线性运算可得出AP=34-34λAB+23λAC，可得出x=34-34λy=23λ，即可求得8x+9y的值；（2）设DP=λDE，其中0≤λ≤1，将PB、PC利用基底AB,AC表示，再利用平面向量数量的运算性质以及二次函数的基本性质可求得PB⋅PC的最小值.【详解】（1）解：设DP=λDE，则DP=λDE=λAE-AD=-34λAB+23λAC，因为AP=AD+DP=34AB-34λAB+23λAC=34-34λAB+23λAC，所以x=34-34λy=23λ，因此，8x+9y=6.（2）解：设DP=λDE，其中0≤λ≤1，PB=DB-DP=14AB-λDE=14AB+34λAB-23λAC=143λ+1AB-23λAC，PC=PB+BC=143λ+1AB-23λAC+AC-AB=34λ-1AB+133-2λAC，所以PB⋅PC=316λ-13λ+1AB2-29λ3-2λAC2+112-12λ2+13λ+3AB⋅AC=3λ-13λ+1-2λ3-2λ+12-12λ2+13λ+3=7λ2-112λ-32=7λ-11282-289112≥-289112．当且仅当λ=1128时，等号成立，故PB⋅PC的最小值为-289112．21．(1)证明见解析(2)-14,2【分析】（1）已知(OA+OB)⋅AB=(OB+OC)⋅BC=(OC+OA)⋅CA=0，根据向量的运算可得OA=OB=OC，得证点O为三角形的外心.（2）延长AO交外接圆于点D，则AD是圆O的直径，可得cos∠CAD=ACAD，cos∠BAD=ABAD，利用向量的加减和数量积的运算求得BC⋅AO=b-122-14，因为c2=2b-b2>0，所以00，所以0