人教版七年级数学下册尖子生培优题典 专题9.8不等式（组）的新定义问题大题专练（重难点培优30题）（原卷版+解析）

这是一份人教版七年级数学下册尖子生培优题典 专题9.8不等式（组）的新定义问题大题专练（重难点培优30题）（原卷版+解析），共32页。

【拔尖特训】2023-2024学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题9.8不等式（组）的新定义问题大题专练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一．解答题（共30小题）1．（2022春•庐阳区校级期中）对于任意实数m、n，定义一种新运算：m*n＝m﹣3n+7，等式右边是通常的加减运算，例如：2*3＝2﹣3×3+7＝0．（1）（8*2）的平方根为 　 　；（2）若关于x的不等式组3t＜2*x＜7解集中恰有3个整数解，求t的取值范围．2．（2023春•嘉鱼县期末）定义一种新运算“a△b”：当a≥b时，a△b＝a+2b；当a＜b时，a△b＝a﹣2b．例如：3△（﹣4）＝3+2×（﹣4）＝﹣5，1△2＝1﹣2×2＝﹣3．（1）填空：（﹣4）△3＝　 　；（直接写结果）（2）若（3m﹣4）△（m+6）＝（3m﹣4）+2（m+6），求m的取值范围；（3）已知（3x﹣7）△（3﹣2x）＜﹣6，求x的取值范围．3．阅读下面材料：对于实数p，q，我们定义符号max{p，q}的意义为：当p≤q时，max{p，q}＝q；当p＞q时，max{p，q}＝p，如：max{2．﹣1}＝2；max{3，3}＝3．根据上面的材料回答下列问题：（1）max{﹣1，3}＝　 　；（2）当max{3x−12，2x+13}=2x+13时，求x的取值范围．4．（2020春•朝阳区校级期中）请你根据右框内所给的内容，完成下列各小题．（1）若m⊕n＝1，m⊕2n＝﹣2，分别求出m和n的值；（2）若m满足m⊕2≤0，且3m⊕（﹣8）＞0，求m的取值范围．5．（2022春•如皋市期末）对于任意实数m，n，定义一种新运算：m◎n＝m+n﹣5，其中，等式右边是通常的加减运算．如：2◎3＝2+3﹣5＝0．若关于x的不等式组t＜2◎x＜7恰有3个整数解，求t的取值范围．6．（2022春•新郑市期末）对于任意实数x，y定义一种新运算“#”：x#y＝xy+x﹣y．例如，3#5＝3×5+3﹣5＝13．（1）解不等式：3#x＜4；（2）若m＜2#x＜9，且该不等式组的解集中恰有两个整数解，请直接写出m的取值范围．7．（2018春•房山区期中）定义：对于任何有理数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣1.5]＝﹣2．（1）[﹣π]＝　 　；（2）如果[x−12]＝﹣5，求满足条件的所有整数x；（3）直接写出方程6x﹣3[x]+7＝0的解　 　．8．（2022春•唐县期末）规定min（m，n）表示m，n中较小的数（m，n均为实数），例如：min{3，﹣1}＝﹣1，min{2，2}=2据此解决下列问题：（1）min{﹣2，﹣3}＝　 　；（2）若min{3x﹣1，2}＝2，求x的取值范围；9．（2022春•大观区校级期中）在实数范围内定义一种新运算“⊕”其运算规则为：a⊕b＝2a−32（a+b），如1⊕5＝2×1−32（1+5）＝﹣7．（1）若x⊕4＝0，则x＝　 　．（2）若关于x的方程x⊕m＝﹣2⊕（x+4）的解为非负数，求m的取值范围．10．（2022春•三水区校级期中）定义一种新运算“a※b”：当a≥b时，a※b＝2a+b；当a＜b时，a※b＝2a﹣b．例如：3※（﹣4）＝2×3+（﹣4）＝2，（﹣6）※12＝2×（﹣6）﹣12＝﹣24．（1）填空；（﹣3）※2＝　 　；（2x2+2x+2）※（x2﹣4）＝　 　；（2）若（3x﹣4）※（2x+3）＝2（3x﹣4）+（2x+3），则x的取值范围为 　 　．（3）已知（2x﹣6）※（9﹣3x）＜7，求x的取值范围．11．（2018•余姚市模拟）请你阅读如图框内老师的新定义运算规定，然后解答下列各小题．（1）若x⊕y＝1，x⊕2y＝﹣2，分别求出x和y的值；（2）若x满足x⊕2≤0，且3x⊕（﹣8）＞0，求x的取值范围．12．（2022•南京模拟）定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a+2b；当a＜b时，a*b＝a﹣2b．例如：3*（﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6）*12＝﹣6﹣24＝﹣30．（1）填空：（﹣4）*3＝　 　．（2）若（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），则x的取值范围为 　 　；（3）已知（3x﹣7）*（3﹣2x）＜﹣6，求x的取值范围；（4）计算（2x2+4x+8）*（x2+4x﹣2）．13．（2020•张家界）阅读下面的材料：对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．根据上面的材料回答下列问题：（1）min{﹣1，3}＝　 　；（2）当min{2x−32，x+23}=x+23时，求x的取值范围．14．（2023春•罗湖区校级期末）已知关于x、y的方程组x−y=11−mx+y=7−3m．（1）当m＝2时，请解关于x、y的方程组x−y=11−mx+y=7−3m；（2）若关于x、y的方程组x−y=11−mx+y=7−3m中，x为非负数、y为负数，①试求m的取值范围；②当m取何整数时，不等式3mx+2x＞3m+2的解为x＜1．15．（2020春•海淀区校级期末）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．（1）在方程①3x﹣1＝0；②23x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组−x+2＞x−53x−1＞−x+2关联方程是　 　（填序号）．（2）若不等式组x−12＜11+x＞−3x+2的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是　 　（写出一个即可）．（3）若方程9﹣x＝2x，3+x＝2（x+12）都是关于x的不等式组x＜2x−mx−2≤m的关联方程，试求出m的取值范围．16．（2019春•宜宾期末）定义：对于任何有理数m，符号[m]表示不大于m的最大整数．例如：[4.5]＝4，[8]＝8，[﹣3.2]＝﹣4．（1）填空：[π]＝　 　，[﹣2.1]+5＝　 　；（2）如果[5−2x3]＝﹣4，求满足条件的x的取值范围；（3）求方程4x﹣3[x]+5＝0的整数解．17．（2020春•西城区校级期中）阅读理解：我们把对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为《x》，即当n为非负整数时，若n−12≤x＜n+12，则《x》＝n．例如：《0.67》＝1，《2.49》＝2，…．请解决下列问题：（1）《2》＝　 　；（2）若《2x﹣1》＝5，则实数x的取值范围是　 　；（3）①《2x》＝2《x》；②当m为非负整数时，《m+2x》＝m+《2x》；③满足《x》=32x的非负实数x只有两个，其中结论正确的是　 　．（填序号）18．（2022春•定远县期末）阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作[x]．例如，[3.2]＝3，[5]＝5，[﹣2.1]＝﹣3，那么，x＝[x]+a，其中0≤a＜1．例如，3.2＝[3.2]+0.2，5＝[5]+0，﹣2.1＝[﹣2.1]+0.9．请你解决下列问题：（1）[4.8]＝　 　，[﹣6.5]＝　 　；（2）如果[x]＝5，那么x的取值范围是 　 　；（3）如果[5x﹣2]＝3x+1，那么x的值是 　 　；（4）如果x＝[x]+a，其中0≤a＜1，且4a＝[x]+1，求x的值．19．（2023春•镇江期末）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞．即当n为非负整数时，若n−12≤x＜n+12，则＜x＞＝n．如：＜3.2＞＝3，＜3.5＞＝4，＜3.8＞＝4．根据以上材料，解决下列问题：（1）填空：＜3.45＞＝　 　；（2）若＜2x+1＞＝3，求x满足的条件；（3）下面两个命题：①如果x≥0，m为非负整数，那么＜x+m＞＝m+＜x＞；②如果x≥0，k为非负整数，那么＜kx＞＝k＜x＞；请判断在这两个命题中属于假命题的是 　 　，并举反例说明；（4）满足＜x＞=23x+1的所有非负实数x的值为 　 　．20．（2020春•崇川区校级期末）若x为实数，定义：[x]表示不大于x的最大整数．（1）例如[1.6]＝1，[π]＝　 　，[﹣2.82]＝　 　．（请填空）（2）[x]+1是大于x的最小整数，对于任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1，利用这个不等式，求出满足[x]＝2x﹣1的所有解．21．（2018春•开州区期末）设x是实数，现在我们用{x}表示不小于x的最小整数，如{3.2}＝4，{﹣2.6}＝﹣2，{4}＝4，{﹣5}＝5．在此规定下任一实数都能写出如下形式：x＝{x}﹣b，其中0≤b＜1．（1）直接写出{x}与x，x+1的大小关系是　 　（由小到大）；（2）根据（1）中的关系式解决下列问题：①求满足{3x+11}＝6的x的取值范围；②解方程：{3.5x+2}＝2x−14．22．（2022•南京模拟）阅读材料：我们定义一个关于有理数a，b的新运算，规定：a⊕b＝4a﹣3b．例如：5⊕6＝4×5﹣3×6＝2．完成下列各小题．（1）若a⊕b＝1，a⊕2b＝﹣5，分别求出a和b的值；（2）若m满足m⊕2≤0，且3m⊕（﹣8）＞0，求m的取值范围．23．（2020春•长沙期末）对x、y定义一种新运算F，规定：F（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数）．例如：F（2，3）＝2a+3b．（1）已知F（2，﹣1）＝﹣1，F（3，0）＝3．①求a，b的值．②已知关于p的不等式组F(3−2p，3)≥4F(2，2−3p)＜−1求p的取值范围；（2）若运算F满足−2＜F(1，2)≤4−1＜F(2，1)≤5，请你求出F（k，k）的取值范围（用含k的代数式表示，这里k为常数且k＞0）．24．（2023春•朝阳区校级期末）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整．问题：在关于x，y的二元一次方程组x−y=2x+y=a中，x＞1，y＜0，求a的取值范围．分析：在关于x、y的二元一次方程组中，利用参数a的代数式表示x，y，然后根据x＞1，y＜0列出关于参数a的不等式组即可求得a的取值范围．解：由x−y=2x+y=a解得x=a+22y=a−22，又因为x＞1，y＜0，所以a+22＞1a−22＜0解得 　 　．（2）请你按照上述方法，完成下列问题：①已知x﹣y＝4，且x＞3，y＜1，求x+y的取值范围；②已知a﹣b＝m，在关于x，y的二元一次方程组2x−y=−1x+2y=5a−8中，x＜0，y＞0，请直接写出a+b的取值范围 　 　（结果用含m的式子表示）．25．（2023•椒江区校级开学）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a⊕b＝a﹣3b+7，等式右边是通常的加减运算，例如：3⊕5＝3﹣3×5+7＝﹣5．（1）7⊕4＝　 　；2⊕(2−1)=　 　．（2）若2x⊕y＝12，x⊕3＝2y，求xy的平方根；（3）若3m＜2⊕x＜7，且解集中恰有3个整数解，求m的取值范围．26．（2020春•微山县期末）阅读新知现对x，y进行定义一种运算，规定f（x，y）=mx+ny2（其中m，n为常数且mn≠0），等式的右边就是加、减、乘、除四则运算．例如：f（2，0）=m×2+n×02=m应用新知（1）若f（1，1）＝5，f（2，1）＝8，求m，n的值；拓展应用（2）已知f（﹣3，0）＞﹣3，f（3，0）＞−92，且m+n＝16，请你求出符合条件的m，n的整数值．27．（2020春•邗江区期末）定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a+2b；当a＜b时，a*b＝a﹣2b．例如：3*（﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6）*12＝﹣6﹣24＝﹣30．（1）填空：（﹣4）*3＝　 　．（2）若（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），则x的取值范围为　 　．（3）计算（2x2﹣4x+7）*（x2+2x﹣2）＝　 　．（4）已知（3x﹣7）*（3﹣2x）＜﹣6，求x的取值范围．28．（2020•河北模拟）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n＝mn﹣3n．例如4☆2＝4×2﹣3×2＝8﹣6＝2，请根据上述知识解决下列问题：（1）x☆12＞4，求x取值范围；（2）若|x☆（−14）|＝3，求x的值；（3）若方程x☆□x＝6，□中是一个常数，且此方程的一个解为x＝1，求□中的常数．29．（2023春•海州区期末）对x，y定义一种新运算F，规定：F（x，y）＝（mx+ny）（3x﹣y）（其中m，n均为非零常数）．例如：F（1，1）＝2m+2n，F（﹣1，0）＝3m．（1）已知F（1，﹣1）＝﹣8，F（1，2）＝13．①求m，n的值；②关于a的不等式组F(a，3a+1)＞−95F(5a，2−3a)≥340，求a的取值范围；（2）当x2≠y2时，F（x，y）＝F（y，x）对任意有理数x，y都成立，请直接写出m，n满足的关系式．30．（2023春•大连期末）对x，y定义一种新的运算P，规定：P（x，y）=mx+ny，(x≥y)nx+my，(x＜y)（其中mn≠0）．已知P（2，1）＝7，P（﹣1，1）＝﹣1．（1）求m、n的值；（2）若a＞0，解不等式组P(2a，a−1)＜4P(−12a−1，−13a)≤−5．我们定义一个关于有理数a，b的新运算，规定：a⊕b＝4a﹣3b．例如：5⊕6＝4×5﹣3×6＝2．【拔尖特训】2023-2024学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题9.8不等式（组）的新定义问题大题专练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一．解答题（共30小题）1．（2022春•庐阳区校级期中）对于任意实数m、n，定义一种新运算：m*n＝m﹣3n+7，等式右边是通常的加减运算，例如：2*3＝2﹣3×3+7＝0．（1）（8*2）的平方根为 　±3　；（2）若关于x的不等式组3t＜2*x＜7解集中恰有3个整数解，求t的取值范围．【分析】（1）原式利用题中的新定义化简，求出平方根即可；（2）已知不等式利用题中的新定义化简，根据解集中恰有3个整数解，确定出t的范围即可．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：8*2＝8﹣3×2+7＝8﹣6+7＝9，则9的平方根是±3；故答案为：±3；（2）根据题中的新定义化简得：3t＜2﹣3x+7＜7，解得：23＜x＜﹣t+3，∵该不等式的解集有3个整数解，∴该整数解为1，2，3，∴3＜﹣t+3≤4，解得：﹣1≤t＜0．2．（2023春•嘉鱼县期末）定义一种新运算“a△b”：当a≥b时，a△b＝a+2b；当a＜b时，a△b＝a﹣2b．例如：3△（﹣4）＝3+2×（﹣4）＝﹣5，1△2＝1﹣2×2＝﹣3．（1）填空：（﹣4）△3＝　﹣10　；（直接写结果）（2）若（3m﹣4）△（m+6）＝（3m﹣4）+2（m+6），求m的取值范围；（3）已知（3x﹣7）△（3﹣2x）＜﹣6，求x的取值范围．【分析】（1）根据新定义计算可得；（2）根据新定义结合已知条件知3m﹣4≥m+6，解之可得；（3）由题意可得3x−7≥3−2x3x−7+2(3−2x)＜−6或3x−7＜3−2x3x−7−2(3−2x)＜−6，分别求解可得．【解答】解：（1）（﹣4）*3＝﹣4﹣2×3＝﹣10，故答案为：﹣10；（2）∵（3m﹣4）△（m+6）＝（3m﹣4）+2（m+6），∴3m﹣4≥m+6，解得：m≥5；（3）由题意知，3x−7≥3−2x3x−7+2(3−2x)＜−6或3x−7＜3−2x3x−7−2(3−2x)＜−6，解得：x＞5或x＜1．3．阅读下面材料：对于实数p，q，我们定义符号max{p，q}的意义为：当p≤q时，max{p，q}＝q；当p＞q时，max{p，q}＝p，如：max{2．﹣1}＝2；max{3，3}＝3．根据上面的材料回答下列问题：（1）max{﹣1，3}＝　3　；（2）当max{3x−12，2x+13}=2x+13时，求x的取值范围．【分析】（1）根据定义即可求得；（2）根据题意得出3x−12≤2x+13，解不等式即可求得结论．【解答】解：（1）max{﹣1，3}＝3，故答案为3；（2）由定义得，3x−12≤2x+13，9x﹣3≤4x+2，5x≤5，x≤1，故的取值范围是x≤1．4．（2020春•朝阳区校级期中）请你根据右框内所给的内容，完成下列各小题．（1）若m⊕n＝1，m⊕2n＝﹣2，分别求出m和n的值；（2）若m满足m⊕2≤0，且3m⊕（﹣8）＞0，求m的取值范围．【分析】（1）根据新定义列出关于m、n的方程组，解之可得；（2）根据新定义列出关于m、n的不等式组，解之可得．【解答】解：（1）根据题意，得：4m−3n=14m−6n=−2，解得：m=1n=1；（2）根据题意，得：4m−6≤012m+24＞0，解得：﹣2＜m≤32．故m的取值范围是﹣2＜m≤32．5．（2022春•如皋市期末）对于任意实数m，n，定义一种新运算：m◎n＝m+n﹣5，其中，等式右边是通常的加减运算．如：2◎3＝2+3﹣5＝0．若关于x的不等式组t＜2◎x＜7恰有3个整数解，求t的取值范围．【分析】已知不等式利用题中的新定义化简，根据解集中恰有3个整数解，确定出t的范围即可．【解答】解：由题意得：t＜2+x﹣5＜7．即t＜x﹣3＜7，∴t+3＜x＜10，∵该不等式组恰有3个整数解，即整数解x＝7，8，9，∴6≤t+3＜7，解得3≤t＜4．故t的取值范围是3≤t＜4．6．（2022春•新郑市期末）对于任意实数x，y定义一种新运算“#”：x#y＝xy+x﹣y．例如，3#5＝3×5+3﹣5＝13．（1）解不等式：3#x＜4；（2）若m＜2#x＜9，且该不等式组的解集中恰有两个整数解，请直接写出m的取值范围．【分析】（1）根据新定义列出不等式3x+3﹣x＜4，解之即可；（2）由新定义得出2x+2−x＞m①2x+2−x＜9②，解之得出x＞m﹣2且x＜7，结合不等式组的整数解个数得出4≤m﹣2＜5，解之即可．【解答】解：（1）∵3#x＜4，∴3x+3﹣x＜4，解得x＜0.5；（2）∵m＜2#x＜9，∴2x+2−x＞m①2x+2−x＜9②，解不等式①，得：x＞m﹣2，解不等式②，得：x＜7，∵不等式组有2个整数解，∴4≤m﹣2＜5，∴6≤m＜7．7．（2018春•房山区期中）定义：对于任何有理数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣1.5]＝﹣2．（1）[﹣π]＝　﹣4　；（2）如果[x−12]＝﹣5，求满足条件的所有整数x；（3）直接写出方程6x﹣3[x]+7＝0的解　x=−83或x=−196　．【分析】（1）由定义直接得出即可；（2）根据题意得出﹣5≤x−12＜−4，求出x的取值范围，从而得出满足条件的所有正整数的解；（3）整理得出[x]=7+6x3，方程右边式子为整数，表示出x只能为负数，得出x﹣1＜7+6x3＜x，求出x的取值范围，确定出方程的解即可．【解答】解：（1）由题可得，[﹣π]＝﹣4；故答案为：﹣4；（2）﹣5≤x−12＜−4，解得﹣9≤x＜﹣7整数解为﹣9，﹣8；（3）由6x﹣3[x]+7＝0，得[x]=7+6x3，所以7+6x3为整数，则（7+6x）为3的倍数，即x=3n−76（n为整数），又x﹣1＜7+6x3＜x，解得−206＜x＜−146；易知n＝﹣3时，3n﹣7＝﹣16符合要求，n＝﹣4时，3n﹣7＝﹣19符合要求，所以x=−83或x=−196．故答案为：x=−83或x=−196．8．（2022春•唐县期末）规定min（m，n）表示m，n中较小的数（m，n均为实数），例如：min{3，﹣1}＝﹣1，min{2，2}=2据此解决下列问题：（1）min{﹣2，﹣3}＝　﹣3　；（2）若min{3x﹣1，2}＝2，求x的取值范围；【分析】（1）根据题中的新定义确定出所求即可；（2）根据题中的新定义得到3x﹣1与2的大小，求出x的范围即可．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：min{﹣2，﹣3}＝﹣3；故答案为：﹣3；（2）∵min{3x﹣1，2}＝2，∴3x﹣1≥2，解得：x≥1．9．（2022春•大观区校级期中）在实数范围内定义一种新运算“⊕”其运算规则为：a⊕b＝2a−32（a+b），如1⊕5＝2×1−32（1+5）＝﹣7．（1）若x⊕4＝0，则x＝　12　．（2）若关于x的方程x⊕m＝﹣2⊕（x+4）的解为非负数，求m的取值范围．【分析】（1）根据所给的运算列出关于x的方程，解方程即可．（2）根据所给的运算列出关于x的一元一次方程，解方程后得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：（1）∵a⊕b＝2a−32（a+b），∴x⊕4＝2x−32（x+4）=12x﹣6，∵x⊕4＝0，∴12x﹣6＝0，解得x＝12，故答案为：12；（2）∵a⊕b＝2a−32（a+b），∴x⊕m＝2x−32（x+m）=12x−32m，﹣2⊕（x+4）＝2×（﹣2）−32（﹣2+x+4）＝﹣4+3−32x﹣6=−32x﹣7，∴12x−32m=−32x﹣7，解得x=34m−72，∵关于x的方程（x⊕m）＝[﹣2⊕（x+4）]的解为非负数，∴34m−72≥0，∴m≥143，∴m的取值范围为m≥143．10．（2022春•三水区校级期中）定义一种新运算“a※b”：当a≥b时，a※b＝2a+b；当a＜b时，a※b＝2a﹣b．例如：3※（﹣4）＝2×3+（﹣4）＝2，（﹣6）※12＝2×（﹣6）﹣12＝﹣24．（1）填空；（﹣3）※2＝　﹣8　；（2x2+2x+2）※（x2﹣4）＝　5x2+4x　；（2）若（3x﹣4）※（2x+3）＝2（3x﹣4）+（2x+3），则x的取值范围为 　x≥7　．（3）已知（2x﹣6）※（9﹣3x）＜7，求x的取值范围．【分析】（1）根据新运算公式计算可得；（2）结合新运算公式知3x﹣4≥2x+3，解之可得；（3）分两种情况得到关于x的不等式组，分别求解可得．【解答】解：（1）（﹣3）※2＝2×（﹣3）﹣2＝﹣8；∵（2x2+2x+2）﹣（x2﹣4）＝x2+2x+6＝（x+1）2+5＞0，∴（2x2+2x+2）※（x2﹣4）＝2（2x2+2x+2）+（x2﹣4）＝5x2+4x；故答案为：﹣8，5x2+4x；（2）∵（3x﹣4）※（2x+3）＝2（3x﹣4）+（2x+3），∴3x﹣4≥2x+3，解得：x≥7，故答案为：x≥7．（3）当2x﹣6≥9﹣3x时，则2（2x﹣6）+（9﹣3x）＜7，解得3≤x＜10；当2x﹣6＜9﹣3x时，则2（2x﹣6）﹣（9﹣3x）＜7，解得x＜3；综上，x的取值范围为：x＜10．11．（2018•余姚市模拟）请你阅读如图框内老师的新定义运算规定，然后解答下列各小题．（1）若x⊕y＝1，x⊕2y＝﹣2，分别求出x和y的值；（2）若x满足x⊕2≤0，且3x⊕（﹣8）＞0，求x的取值范围．【分析】（1）根据定义新运算得到二元一次方程组，再解方程组即可求解；（2）根据定义新运算得到一元一次不等式组，再解不等式组即可求解．【解答】解：（1）根据题意得4x−3y=14x−3×2y=−2，解得x=1y=1；（2）根据题意得4x−3×2≤04×3x−3×(−8)＞0，解得﹣2＜x≤32．故x的取值范围是﹣2＜x≤32．12．（2022•南京模拟）定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a+2b；当a＜b时，a*b＝a﹣2b．例如：3*（﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6）*12＝﹣6﹣24＝﹣30．（1）填空：（﹣4）*3＝　﹣10　．（2）若（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），则x的取值范围为 　x≥5　；（3）已知（3x﹣7）*（3﹣2x）＜﹣6，求x的取值范围；（4）计算（2x2+4x+8）*（x2+4x﹣2）．【分析】（1）根据新定义计算可得；（2）结合新定义知3x﹣4≥x+6，解之可得；（3）由题意可得3x−7≥3−2x3x−7+2(3−2x)＜−6或3x−7＜3−2x3x−7−2(3−2x)＜−6，分别求解可得；（4）先利用作差法判断出2x2+4x+8＞x2+4x﹣2，再根据新定义计算（2x2+4x+8）*（x2+4x﹣2）即可求解．【解答】解：（1）（﹣4）*3＝﹣4﹣2×3＝﹣8﹣6＝﹣10．故答案为：﹣10；（2）∵（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），∴3x﹣4≥x+6，解得：x≥5．故答案为：x≥5；（3）由题意知3x−7≥3−2x3x−7+2(3−2x)＜−6或3x−7＜3−2x3x−7−2(3−2x)＜−6，解得：x＞5或x＜1．故x的取值范围是x＞5或x＜1；（4）∵2x2+4x+8﹣（x2+4x﹣2）＝2x2+4x+8﹣x2﹣4x+2＝x2+10＞0；∴2x2+4x+8＞x2+4x﹣2，原式＝2x2+4x+8+2（x2+4x﹣2）＝2x2+4x+8+2x2+8x﹣4＝4x2+12x+4．13．（2020•张家界）阅读下面的材料：对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．根据上面的材料回答下列问题：（1）min{﹣1，3}＝　﹣1　；（2）当min{2x−32，x+23}=x+23时，求x的取值范围．【分析】（1）比较大小，即可得出答案；（2）根据题意判断出2x−32≥x+23，解不等式即可判断x的取值范围．【解答】解：（1）由题意得min{﹣1，3}＝﹣1；故答案为：﹣1；（2）由题意得：2x−32≥x+233（2x﹣3）≥2（x+2）6x﹣9≥2x+44x≥13x≥134，∴x的取值范围为x≥134．14．（2023春•罗湖区校级期末）已知关于x、y的方程组x−y=11−mx+y=7−3m．（1）当m＝2时，请解关于x、y的方程组x−y=11−mx+y=7−3m；（2）若关于x、y的方程组x−y=11−mx+y=7−3m中，x为非负数、y为负数，①试求m的取值范围；②当m取何整数时，不等式3mx+2x＞3m+2的解为x＜1．【分析】（1）把m＝2代入原方程组，再利用加减法解方程组即可；（2）①把m看作常数，解方程组，根据x为非负数、y为负数，列不等式组解出即可；②根据不等式3mx+2x＞3m+2的解为x＜1，求出m的取值范围，综合①即可解答．【解答】解：（1）把m＝2代入方程组x−y=11−mx+y=7−3m中得：x−y=9①x+y=1②，①+②得：2x＝10，x＝5，①﹣②得：﹣2y＝8，y＝﹣4，∴方程组的解为：x=5y=−4；（2）①x−y=11−m①x+y=7−3m②，①+②得：2x＝18﹣4m，x＝9﹣2m，①﹣②得：﹣2y＝4+2m，y＝﹣2﹣m，∵x为非负数、y为负数，∴9−2m≥0−2−m＜0，解得：﹣2＜m≤92；②3mx+2x＞3m+2，（3m+2）x＞3m+2，∵不等式3mx+2x＞3m+2的解为x＜1，∴3m+2＜0，∴m＜−23，由①得：﹣2＜m≤92，∴﹣2＜m＜−23，∵m整数，∴m＝﹣1；即当m＝﹣1时，不等式3mx+2x＞3m+2的解为x＜1．15．（2020春•海淀区校级期末）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．（1）在方程①3x﹣1＝0；②23x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组−x+2＞x−53x−1＞−x+2关联方程是　③　（填序号）．（2）若不等式组x−12＜11+x＞−3x+2的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是　2x﹣2＝0　（写出一个即可）．（3）若方程9﹣x＝2x，3+x＝2（x+12）都是关于x的不等式组x＜2x−mx−2≤m的关联方程，试求出m的取值范围．【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；（2）解不等式组求得其整数解，根据关联方程的定义写出一个解为1的方程即可；（3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案．【解答】解：（1）①解方程3x﹣1＝0得：x=13，②解方程23x+1＝0得：x=−32，③解方程x﹣（3x+1）＝﹣5得：x＝2，解不等式组−x+2＞x−53x−1＞−x+2得：34＜x＜72，所以不等式组−x+2＞x−53x−1＞−x+2的关联方程是③，故答案为：③；（2）解不等式x−12＜1得：x＜1.5，解不等式1+x＞﹣3x+2得：x＞0.25，则不等式组的解集为0.25＜x＜1.5，∴其整数解为1，则该不等式组的关联方程为2x﹣2＝0．故答案为：2x﹣2＝0．（3）解方程9﹣x＝2x得x＝3，解方程3+x＝2（x+12）得x＝2，解不等式组x＜2x−mx−2≤m得m＜x≤m+2，∵方程9﹣x＝2x，3+x＝2（x+12）都是关于x的不等式组x＜2x−mx−2≤m的关联方程，∴1≤m＜2．16．（2019春•宜宾期末）定义：对于任何有理数m，符号[m]表示不大于m的最大整数．例如：[4.5]＝4，[8]＝8，[﹣3.2]＝﹣4．（1）填空：[π]＝　3　，[﹣2.1]+5＝　2　；（2）如果[5−2x3]＝﹣4，求满足条件的x的取值范围；（3）求方程4x﹣3[x]+5＝0的整数解．【分析】（1）根据题目所给信息求解；（2）根据题意得出：﹣4≤5−2x3＜−3，求出x的取值范围；（3）整理方程得[x]=4x+53，根据定义得出x﹣1＜4x+53≤x，解不等式组求得x的取值范围，即可求得整数x为﹣7，﹣6，﹣5，由[x]是整数，则满足4x+53为整数，即可求得x＝﹣5．【解答】解：（1）由题意得：[π]＝3，[﹣2.1]+5＝﹣3+5＝2，故答案为3，2；（2）根据题意得：﹣4≤5−2x3＜−3，解得：7＜x≤172，则满足条件的x的取值范围为7＜x≤172；（3）整理得：[x]=4x+53，∴x﹣1＜4x+53≤x解得不等式组的解集为：﹣8＜x≤﹣5，∴整数x为﹣7，﹣6，﹣5，∵[x]是整数，∴4x+53为整数，∴x＝﹣5，∴方程的整数解为x＝﹣5．17．（2020春•西城区校级期中）阅读理解：我们把对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为《x》，即当n为非负整数时，若n−12≤x＜n+12，则《x》＝n．例如：《0.67》＝1，《2.49》＝2，…．请解决下列问题：（1）《2》＝　1　；（2）若《2x﹣1》＝5，则实数x的取值范围是　114≤x＜134　；（3）①《2x》＝2《x》；②当m为非负整数时，《m+2x》＝m+《2x》；③满足《x》=32x的非负实数x只有两个，其中结论正确的是　②③　．（填序号）【分析】（1）根据题意判断即可；（2）我们可以根据题意所述利用不等式解答；（3）根据题意可以判断题目中各个结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：（1）《2》＝1．（2）若《2x﹣1》＝5，则5−12≤2x﹣1＜5+12，解得114≤x＜134．（3）《2x》＝2《x》，例如当x＝0.3时，《2x》＝1，2《x》＝0，故①错误；当m为非负整数时，不影响“四舍五入”，故《m+2x》＝m+《2x》，故②正确；《x》=32x，则32x−12≤x＜32x+12，解得﹣1＜x≤1，∵32x为非负整数，∴x＝0或23，故③正确．故答案为：1；114≤x＜134；②③．18．（2022春•定远县期末）阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作[x]．例如，[3.2]＝3，[5]＝5，[﹣2.1]＝﹣3，那么，x＝[x]+a，其中0≤a＜1．例如，3.2＝[3.2]+0.2，5＝[5]+0，﹣2.1＝[﹣2.1]+0.9．请你解决下列问题：（1）[4.8]＝　4　，[﹣6.5]＝　﹣7　；（2）如果[x]＝5，那么x的取值范围是 　5≤x＜6　；（3）如果[5x﹣2]＝3x+1，那么x的值是 　53　；（4）如果x＝[x]+a，其中0≤a＜1，且4a＝[x]+1，求x的值．【分析】（1）根据新定义直接求解；（2）根据[x]表示不超过x的最大整数的定义即可求解；（3）根据[x]表示不超过x的最大整数的定义得：3x+1≤5x﹣2＜3x+2，且3x+1是整数，计算可得结论；（4）根据4a＝[x]+1，表示a，再根据a的范围建立不等式x值．【解答】解：（1）[4.8]＝4，[﹣6.5]＝﹣7．故答案为：4，﹣7．（2）如果[x]＝5．那么x的取值范围是5≤x＜6．故答案为：5≤x＜6．（3）如果[5x﹣2]＝3x+1，那么3x+1≤5x﹣2＜3x+2．解得：32≤x＜2，∵3x+1是整数．∴x=53．故答案为：53．（4）∵x＝[x]+a，其中0≤a＜1，∴[x]＝x﹣a，∵4a＝[x]+1，∴a=[x]+14．∵0≤a＜1，∴0≤[x]+14＜1，∴﹣1≤[x]＜3，∴[x]＝﹣1，0，1，2．当[x]＝﹣1时，a＝0，x＝﹣1；当[x]＝0时，a=14，x=14；当[x]＝1时，a=12，x=112；当[x]＝2时，a=34，x=234；∴x＝﹣1或14或112或234．19．（2023春•镇江期末）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞．即当n为非负整数时，若n−12≤x＜n+12，则＜x＞＝n．如：＜3.2＞＝3，＜3.5＞＝4，＜3.8＞＝4．根据以上材料，解决下列问题：（1）填空：＜3.45＞＝　3　；（2）若＜2x+1＞＝3，求x满足的条件；（3）下面两个命题：①如果x≥0，m为非负整数，那么＜x+m＞＝m+＜x＞；②如果x≥0，k为非负整数，那么＜kx＞＝k＜x＞；请判断在这两个命题中属于假命题的是 　②　，并举反例说明；（4）满足＜x＞=23x+1的所有非负实数x的值为 　32或3　．【分析】（1）根据定义即可求解；（2）根据定义列出不等式即可求解；（3）通过举反例即可判断；（4）根据定义列出不等式即可求解．【解答】解：（1）∵3−12＜3.45＜3+12，∴＜3.45＞＝3，故答案为：3；（2）∵＜2x+1＞＝3，∴52≤2x+1＜72，解得：34≤x＜54；（3）②是假命题；反例为：x＝1.4，k＝2，＜kx＞＝＜2.8＞＝3，而k＜x＞＝2×＜1.4＞＝2×1＝2，＜kx＞≠k＜x＞；故答案为：②；（4）设 23x+1=m，m为整数，则x=3m−32，∴[x]＝[3m−32]＝m，∴m−12≤3m−32＜m+12，∴2≤m＜4，∵m为整数，∴m＝2，或m＝3，∴x=32或x＝3．20．（2020春•崇川区校级期末）若x为实数，定义：[x]表示不大于x的最大整数．（1）例如[1.6]＝1，[π]＝　3　，[﹣2.82]＝　﹣3　．（请填空）（2）[x]+1是大于x的最小整数，对于任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1，利用这个不等式，求出满足[x]＝2x﹣1的所有解．【分析】（1）根据[x]表示不大于x的最大整数即可求解；（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得x的取值范围，本题得以解决．【解答】解：（1）[π]＝3，[﹣2.82]＝﹣3．故答案为：3，﹣3．（2）∵对任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1，[x]＝2x﹣1，∴2x﹣1≤x＜2x﹣1+1，解得0＜x≤1，∵2x﹣1是整数，∴x＝0.5或x＝1，21．（2018春•开州区期末）设x是实数，现在我们用{x}表示不小于x的最小整数，如{3.2}＝4，{﹣2.6}＝﹣2，{4}＝4，{﹣5}＝5．在此规定下任一实数都能写出如下形式：x＝{x}﹣b，其中0≤b＜1．（1）直接写出{x}与x，x+1的大小关系是　x≤{x}＜x+1　（由小到大）；（2）根据（1）中的关系式解决下列问题：①求满足{3x+11}＝6的x的取值范围；②解方程：{3.5x+2}＝2x−14．【分析】（1）x＝{x}﹣b，其中0≤b＜1，b＝{x}﹣x，即0≤{x}﹣x＜1，即可判断三者的大小关系，（2）根据（1）中的关系得到关于x的一元一次不等式组，解之即可，②根据（1）中的关系得到关于x的一元一次不等式组，且2x−14为整数，即可求解．【解答】解：（1）∵x＝{x}﹣b，其中0≤b＜1，∴b＝{x}﹣x，即0≤{x}﹣x＜1，∴x≤{x}＜x+1，故答案为：x≤{x}＜x+1，（2）①∵{3x+11}＝6，∴3x+11≤6＜（3x+11）+1，解得：﹣2＜x≤−53，即满足{3x+11}＝6的x的取值范围为：﹣2＜x≤−53，②∵{3.5x+2}＝2x−14，∴3.5x+2≤2x−14＜（3.5x+2）+1，且2x−14为整数，解不等式组得：−136＜x≤−32，∴−5512＜2x−14≤−314，整数2x−14为﹣4，解得：x=−158，即原方程的解为：x=−158．22．（2022•南京模拟）阅读材料：我们定义一个关于有理数a，b的新运算，规定：a⊕b＝4a﹣3b．例如：5⊕6＝4×5﹣3×6＝2．完成下列各小题．（1）若a⊕b＝1，a⊕2b＝﹣5，分别求出a和b的值；（2）若m满足m⊕2≤0，且3m⊕（﹣8）＞0，求m的取值范围．【分析】（1）根据新运算，得到方程组，解方程组即可求解；（2）根据新运算，得到不等式组，解不等式组即可．【解答】解：（1）根据题意，得4a−3b=14a−3×2b=−5，解得：a=74b=2，∴a和b的值分别为a=74，b＝2；（2）根据题意，得4m−3×2≤04×3m−3×(−8)＞0，解得：−2＜m≤32．∴m的取值范围−2＜m≤32．23．（2020春•长沙期末）对x、y定义一种新运算F，规定：F（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数）．例如：F（2，3）＝2a+3b．（1）已知F（2，﹣1）＝﹣1，F（3，0）＝3．①求a，b的值．②已知关于p的不等式组F(3−2p，3)≥4F(2，2−3p)＜−1求p的取值范围；（2）若运算F满足−2＜F(1，2)≤4−1＜F(2，1)≤5，请你求出F（k，k）的取值范围（用含k的代数式表示，这里k为常数且k＞0）．【分析】（1）①根据F（2，﹣1）＝﹣1，F（3，0）＝3列出关于a、b的方程组，解之可得；②由F(3−2p，3)≥4F(2，2−3p)＜−1列出关于p的不等式组，解之可得；（2）根据−2＜F(1，2)≤4−1＜F(2，1)≤5列出关于a、b的不等式组，相加得出a+b的取值范围，再进一步求解可得．【解答】解：（1）①由题意知2a−b=−13a=3，解得a=1b=3；②由题意知3−2p+9≥42+6−9p＜−1，解得1＜p≤4；（2）由题意知−2＜a+2b≤4−1＜2a+b≤5，∴﹣3＜3a+3b≤9，∴﹣1＜a+b≤3，∵F（k，k）＝ka+kb，且﹣k＜k（a+b）≤3k，∴﹣k＜F（k，k）≤3k．24．（2023春•朝阳区校级期末）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整．问题：在关于x，y的二元一次方程组x−y=2x+y=a中，x＞1，y＜0，求a的取值范围．分析：在关于x、y的二元一次方程组中，利用参数a的代数式表示x，y，然后根据x＞1，y＜0列出关于参数a的不等式组即可求得a的取值范围．解：由x−y=2x+y=a解得x=a+22y=a−22，又因为x＞1，y＜0，所以a+22＞1a−22＜0解得 　0＜a＜2　．（2）请你按照上述方法，完成下列问题：①已知x﹣y＝4，且x＞3，y＜1，求x+y的取值范围；②已知a﹣b＝m，在关于x，y的二元一次方程组2x−y=−1x+2y=5a−8中，x＜0，y＞0，请直接写出a+b的取值范围 　3﹣m＜a+b＜4﹣m　（结果用含m的式子表示）．【分析】（1）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可；（2）①根据（1）阅读中的方法解题即可求解；②解方程组2x−y=−1x+2y=5a−8得：x=a−2y=2a−3，根据x＜0，y＞0可得1.5＜a＜2，进一步得到a+b的取值范围．【解答】解：（1）a+22＞1①a−22＜0②，∵解不等式①得：a＞0，解不等式②得：a＜2，∴不等式组的解集为0＜a＜2，故答案为：0＜a＜2；（2）①设x+y＝a，则x−y=4x+y=a，解得：x=a+42y=a−42，∵x＞3，y＜1，∴a+42＞3a−42＜1，解得：2＜a＜6，即2＜x+y＜6；②解方程组2x−y=−1x+2y=5a−8得：x=a−2y=2a−3，∵x＜0，y＞0，∴a−2＜02a−3＞0，解得：1.5＜a＜2，∵a﹣b＝m，∴b＝a﹣m，a+b＝a+a﹣m，∵1.5＜a＜2，∴3﹣m＜a+a﹣m＜4﹣m，∴3﹣m＜a+b＜4﹣m．故答案为：3﹣m＜a+b＜4﹣m．25．（2023•椒江区校级开学）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a⊕b＝a﹣3b+7，等式右边是通常的加减运算，例如：3⊕5＝3﹣3×5+7＝﹣5．（1）7⊕4＝　2　；2⊕(2−1)=　﹣22+10　．（2）若2x⊕y＝12，x⊕3＝2y，求xy的平方根；（3）若3m＜2⊕x＜7，且解集中恰有3个整数解，求m的取值范围．【分析】（1）原式利用题中的新定义化简，计算即可求出值；（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算求出x与y的值，计算出xy的值，求出平方根即可；（3）已知不等式利用题中的新定义化简，根据解集中恰有3个整数解，确定出m的范围即可．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：7⊕4＝7﹣3×4+7＝2；2⊕（2−1）=2−3（2−1）+7=2−32+3+7＝﹣22+10；故答案为：2；﹣22+10；（2）∵2x⊕y＝12，x⊕3＝2y，∴2x−3y+7=12x−9+7=2y，解得：x=4y=1，则xy＝4，4的平方根是±2；（3）由题意得：2−3x+7＜7①2−3x+7＞3m②，由①得：x＞23，由②得：x＜3﹣m，∴不等式组的解集为23＜x＜3﹣m，∵该不等式组有3个整数解，整数解为1，2，3，∴3＜3﹣m≤4，解得：﹣1≤m＜0．26．（2020春•微山县期末）阅读新知现对x，y进行定义一种运算，规定f（x，y）=mx+ny2（其中m，n为常数且mn≠0），等式的右边就是加、减、乘、除四则运算．例如：f（2，0）=m×2+n×02=m应用新知（1）若f（1，1）＝5，f（2，1）＝8，求m，n的值；拓展应用（2）已知f（﹣3，0）＞﹣3，f（3，0）＞−92，且m+n＝16，请你求出符合条件的m，n的整数值．【分析】（1）根据题中的新定义列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值；（2）根据题中的新定义列出不等式组，求得不等式组的解，根据m+n＝16确定出m、n的整数值．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：m+n2=52m+n2=8，解得：m=6n=4；（2）根据题中的新定义得：−3m+02＞−33m+02＞−92，解得：﹣3＜m＜2，∵m、n是整数，且m+n＝16，∴m=−2n=18或m=−1n=17或m=1n=15．27．（2020春•邗江区期末）定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a+2b；当a＜b时，a*b＝a﹣2b．例如：3*（﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6）*12＝﹣6﹣24＝﹣30．（1）填空：（﹣4）*3＝　﹣10　．（2）若（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），则x的取值范围为　x≥5　．（3）计算（2x2﹣4x+7）*（x2+2x﹣2）＝　4x2+3　．（4）已知（3x﹣7）*（3﹣2x）＜﹣6，求x的取值范围．【分析】（1）根据公式计算可得；（2）结合公式知3x﹣4≥x+6，解之可得；（3）先利用作差法判断出2x2﹣4x+7＞x2+2x﹣2，再根据公式计算（2x2﹣4x+7）*（x2+2x﹣2）即可得；（4）由题意可得3x−7≥3−2x3x−7+2(3−2x)＜−6或3x−7＜3−2x3x−7−2(3−2x)＜−6，分别求解可得；【解答】解：（1）（﹣4）*3＝﹣4﹣2×3＝﹣10，故答案为：﹣10；（2）∵（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），∴3x﹣4≥x+6，解得：x≥5，故答案为：x≥5．（3）∵2x2﹣4x+7﹣（x2+2x﹣2）＝x2﹣6x+9＝（x﹣3）2≥0；∴2x2﹣4x+7≥x2+2x﹣2，原式＝2x2﹣4x+7+2（x2+2x﹣2）＝2x2﹣4x+7+2x2+4x﹣4＝4x2+3；（4）由题意知3x−7≥3−2x3x−7+2(3−2x)＜−6或3x−7＜3−2x3x−7−2(3−2x)＜−6，解得：x＞5或x＜1；28．（2020•河北模拟）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n＝mn﹣3n．例如4☆2＝4×2﹣3×2＝8﹣6＝2，请根据上述知识解决下列问题：（1）x☆12＞4，求x取值范围；（2）若|x☆（−14）|＝3，求x的值；（3）若方程x☆□x＝6，□中是一个常数，且此方程的一个解为x＝1，求□中的常数．【分析】（1）根据已知公式得出12x−32＞4，解之可得答案；（2）根据公式得出|−14x+34|＝3，即可得出−14x+34=3或−14x+34=−3，解之可得答案；（3）根据公式得到□x2﹣3•□x＝6，把x＝1代入得到□﹣3□＝6，即可求得□＝﹣3．【解答】解：（1）∵x☆12＞4，∴12x−32＞4，解得：x＞11；（2）∵|x☆（−14）|＝3，∴|−14x+34|＝3，∴−14x+34=3或−14x+34=−3，解得：x＝﹣9或x＝15；（3）∵方程x☆□x＝6，∴□x2﹣3•□x＝6，∵方程的一个解为x＝1，∴□﹣3□＝6，∴□＝﹣3．29．（2023春•海州区期末）对x，y定义一种新运算F，规定：F（x，y）＝（mx+ny）（3x﹣y）（其中m，n均为非零常数）．例如：F（1，1）＝2m+2n，F（﹣1，0）＝3m．（1）已知F（1，﹣1）＝﹣8，F（1，2）＝13．①求m，n的值；②关于a的不等式组F(a，3a+1)＞−95F(5a，2−3a)≥340，求a的取值范围；（2）当x2≠y2时，F（x，y）＝F（y，x）对任意有理数x，y都成立，请直接写出m，n满足的关系式．【分析】（1）①根据定义的新运算F，将F（1，﹣1）＝﹣8，F（1，2）＝13代入F（x，y）＝（mx+ny）（3x﹣y），得到关于m、n的二元一次方程组，求解即可；②根据题中新定义化简已知不等式组，再求出不等式组的解集即可；（2）由F（x，y）＝F（y，x）列出关系式，整理后即可确定出m与n的关系式．【解答】解：（1）①根据题意得：F（1，﹣1）＝（m﹣n）（3×1+1）＝﹣8，即m﹣n＝﹣2；F（1，2）＝（m+2n）（3×1﹣2）＝13，即m+2n＝13，解得：m＝3，n＝5；②根据题意得：F（x，y）＝（3x+5y）（3x﹣y），F（a，3a+1）＝（3a+15a+5）（3a﹣3a﹣1）＝﹣18a﹣5，F（5a，2﹣3a）＝（15a+10﹣15a）（15a﹣2+3a）＝180a﹣20．由−18a−5＞−95①180a−20≥340②，解不等式①得：a＜5，解不等式②得：a≥2，故原不等式组的解集为2≤a＜5；（2）由F（x，y）＝F（y，x），得（mx+ny）（3x﹣y）＝（my+nx）（3y﹣x），整理得：（x2﹣y2）（3m+n）＝0，∵当x2≠y2时，F（x，y）＝F（y，x）对任意有理数x，y都成立，∴3m+n＝0，即n＝﹣3m．30．（2023春•大连期末）对x，y定义一种新的运算P，规定：P（x，y）=mx+ny，(x≥y)nx+my，(x＜y)（其中mn≠0）．已知P（2，1）＝7，P（﹣1，1）＝﹣1．（1）求m、n的值；（2）若a＞0，解不等式组P(2a，a−1)＜4P(−12a−1，−13a)≤−5．【分析】（1）先根据规定的新运算列出关于m、n的方程组，再解之即可；（2）由a＞0得出2a＞a﹣1，−12a﹣1＜−13a，根据新定义列出关于a的不等式组，解之即可．【解答】解：（1）由题意，得：2m+n=7−n+m=−1，解得m=2n=3；（2）∵a＞0，∴2a＞a，∴2a＞a﹣1，−12a＜−13a，∴−12a﹣1＜−13a，∴2×2a+3(a−1)＜4①3(−12a−1)+2×(−13a)≤−5②，解不等式①，得：a＜1，解不等式②，得：a≥1213，∴不等式组的解集为1213≤a＜1．我们定义一个关于有理数a，b的新运算，规定：a⊕b＝4a﹣3b．例如：5⊕6＝4×5﹣3×6＝2．