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    七年级下册第九章《不等式与一次不等式组》全章复习与巩固(提高)知识讲解学案
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    初中数学人教版七年级下册第九章 不等式与不等式组综合与测试精品学案

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    这是一份初中数学人教版七年级下册第九章 不等式与不等式组综合与测试精品学案,共8页。学案主要包含了学习目标,知识网络,要点梳理,典型例题,答案与解析,总结升华,思路点拨等内容,欢迎下载使用。

    《不等式与一次不等式组》全章复习与巩固(提高)知识讲解

     

    【学习目标】

    1.理解不等式的有关概念,掌握不等式的三条基本性质;

    2.理解不等式的解(解集)的意义,掌握在数轴上表示不等式的解集的方法;

    3.会利用不等式的三个基本性质,熟练解一元一次不等式或不等式组;

    4.会根据题中的不等关系建立不等式(组),解决实际应用问题;

    5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动,理解类比的方法是学习数学的一种重要途径.

    【知识网络】

    【要点梳理】

    要点一、不等式

    1.不等式:用符号(“≤”)(或“≥”),连接的式子叫做不等式.

    要点诠释:

    1)不等式的解:能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.

    2)不等式的解集:对于一个含有未知数的不等式,它的所有解组成这个不等式的解集.

    解集的表示方法一般有两种:一种是用最简的不等式表示,例如等;另一种是用数轴表示,如下图所示:

    3)解不等式:求不等式的解集的过程叫做解不等式

    2. 不等式的性质:

    不等式的基本性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.

    用式子表示:如果ab,那么a±cb±c

    不等式的基本性质2:不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.

    用式子表示:如果abc0,那么acbc()

    不等式的基本性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.

    用式子表示:如果abc0,那么acbc()

    要点二、一元一次不等式

    1. 定义:不等式的左右两边都是整式,经过化简后只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,这样的不等式叫做一元一次不等式,

    要点诠释:ax+b0ax+b0(a0)叫做一元一次不等式的标准形式.

    2.解法:

    解一元一次不等式步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
    要点诠释:不等式解集的表示:在数轴上表示不等式的解集,要注意的是三定:一是定边界点,二是定方向,三是定空实.

    3.应用:列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似,即:

    (1)审:认真审题,分清已知量、未知量;

    (2)设:设出适当的未知数;

    (3)找:找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字,如大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过等关键词的含义;

    (4)列:根据题中的不等关系,列出不等式;

    (5)解:解出所列的不等式的解集;

    (6)答:检验是否符合题意,写出答案.

    要点诠释:

    列一元一次不等式解应用题时,经常用到合算至少不足不超过不大于不小于等表示不等关系的关键词语,弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.

    要点三、一元一次不等式组
      关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组.
    要点诠释:

    (1)不等式组的解集不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.

    (2)解不等式组:求不等式组解集的过程,叫做解不等式组. 

    (3)一元一次不等式组的解法分别解出各不等式,把解集表示在数轴上,取所有解集的公共部分,利用数轴可以直观地表示不等式组的解集. 

    (4)一元一次不等式组的应用 根据题意构建不等式组,解这个不等式组;由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案.

    【典型例题】

    类型一、不等式 

    1. (2015春•天津期末)判断以下各题的结论是否正确(对的打“√”,错的打“×”).

    (1)若 b﹣3a<0,则b<3a    

    (2)如果﹣5x>20,那么x>﹣4;    

    (3)若a>b,则 ac2>bc2     

    (4)若ac2>bc2,则a>b;    

    (5)若a>b,则 a(c2+1)>b(c2+1).     

    (6)若a>b>0,则    

    【答案与解析

    解:(1)若由b﹣3a<0,移项即可得到b<3a,故正确;

    (2)如果﹣5x>20,两边同除以﹣5不等号方向改变,故错误;

    (3)若a>b,当c=0时则 ac2>bc2错误,故错误;

    (4)由ac2>bc2得c2>0,故正确;

    (5)若a>b,根据c2+1,则 a(c2+1)>b(c2+1)正确.

    (6)若a>b>0,如a=2,b=1,则正确.

    故答案为:√、×、×、√、√、√.

    总结升华本题考查了不等式的性质,两边同乘以或除以一个不为零的负数,不等号方向改变.

    2. 设x>y,试比较代数式-(8-10x)与-(8-10y)的大小,如果较大的代数式为正数,则其中最小的正整数x或y的值是多少?

    思路点拨比较两个代数式的大小,可以运用不等式的性质得出比较方法。

    【答案与解析

    解:可利用作差比较法比较大小.

          -(8-l0x)-[ -(8-l0y)]

        =-8+10x+8-10y

        =10x -10y.

        x>y,10x>10y,10x -10y>0

        -(8-l0x)>-(8-l0y).

        按题意-(8-l0x)>0,则10x>8.

       

        x的最小正整数值是1.

    总结升华两个数量的大小可以通过它们的差来判断:

    举一反三:

    【变式】己知:x<0.5,比较2-4x18x-9的大小.

    【答案】

    解:2-4x-(18x-9)=11-22x

    而又x<0.5,-22x>-11

    即11-22x>0

    2-4x>18x-9

    类型二、一元一次不等式   

    高清课堂:一元一次不等式章节复习 410551   例3(3)

    3. 已知关于x的不等式的解集是,求a的取值范围. 

    【答案解析

    解:法一:

    它的解集为

      . 

    法二:是关于x方程 的解,

    ,解得

    . 

    总结升华不等式解集中的端点值就是对应方程的解. 

    举一反三:

    【变式1如果关于的不等式正整数解为123, 则正整数应取怎样的值?

    【答案】解不等式得:

        为正整数且中的正整数解为1,2,3

        

        

    【变式2(2015•江都)如果关于x的不等式(a+1)x>a+1的解集为x<1,那么a的取值范围是      

    【答案】解:∵(a+1)x>a+1的解集为x<1,

    ∴a+1<0,

    ∴a<﹣1.

    类型三、一元一次不等式组

    4. 求不等式组的整数解. 

    思路点拨分别解出各不等式,取所有的公共部分.

    【答案与解析

    解不等式得:x<2

    解不等式得:x-1

    解不等式得:x>-2

    不等式组的解集为-1x<2

    故不等式组的整数解为-1,0,1

    总结升华求不等式组的特殊解的一般步骤是先求出不等式组的解集,再从中找出符合要求的特殊解.

    高清课堂:一元一次不等式章节复习 410551   例4(2)

    举一反三:

    【变式】若关于不等式组只有四个整数解,a的取值范围.

    【答案】

    解:由,得

       ,得

       不等式组的解集为

       只有四个整数解,,即

       a的取值范围.

    5. 某家电商场计划用32400元购进家电下乡指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台.三种家电的进价和售价如下表所示:

     

                价格

    种类

    进价(元/台)

    售价(元/台)

    电视机

    2000

    2100

     

    2400

    2500

    洗衣机

    1600

    1700

     

     (1)在不超出现有资金的前提下,若购进电视机的数量和冰箱的数量相同,洗衣机数量不大于电视机数量的一半,商场有哪几种进货方案?

     (2)国家规定:农民购买家电后,可根据商场售价的13%领取补贴.在(1)的条件下,如果这15台家电全部销售给农民,国家财政最多需补贴农民多少元?

    思路点拨 (1)设购进电视机、冰箱各x台,则洗衣机为(15-2x)台.根据两个关键词:不大于不超过就可以建立不等式组,根据x的取值讨论确定进货方案.(2)分别求出(1)中各方案所需的补贴,再比较确定国家财政的最多补贴.

    【答案解析

    解:(1)设购进电视机、冰箱各x台.

    依题意,得

    解这个不等式组得,6x7

      x为正整数.  x67

    方案一:购进电视机和冰箱各6台,洗衣机3台;

    方案二:购进电视机和冰箱各7台,洗衣机1台.

    (2)方案1需补贴:

    (6×2100+6×2500+3×1700)×13%=4251()

    方案二需补贴:

    (7×2100+7×2500+1×1700)×13%=4407()

          国家财政最多需补贴农民4407元.

    总结升华利用不等式解答实际问题的策略是:根据题意构建不等式();解这个不等式()由不等式()的整数解的个数确定方案.

    类型四、综合应用

    6.已知不等式组的解集为,试求mn的值.

    【答案解析

    解:解不等式,得

    解不等式  n-4(x-1)<1,得

    因为不等式组的解集为

    所以有   

    答:mn的值分别13

    总结升华先分别求出每一个不等式的解集,再求出这个不等式组的解集,然后根据题意,建立关于mn的方程求解.

    7.潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户,他们种植了AB两类蔬菜,两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表:

    种植户

    种植A类蔬菜面积(单位:亩)

    种植B类蔬菜面积(单位:亩)

    总收入(单位:元)

    3

    1

    12500

    2

    3

    16500

        说明:不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等.

        (1)AB两类蔬菜每亩平均收入各是多少元?

        (2)某种植户准备租20亩地用来种植AB两类蔬菜,为了使总收入不低于63000元,且种植A类蔬菜的面积多于种植B类蔬菜的面积(两类蔬菜的种植面积均为整数),求该种植户所有租地方案.

    【答案解析

     解:(1)AB两类蔬菜每亩平均收入分别是x元,y元.

        由题意得: 解得

        答:AB两类蔬菜每亩平均收入分别是3000元,3500元.

        (2)设用来种植A类蔬菜的面积a亩,则用来种植B类蔬菜的面积为(20-a)亩.

        由题意得:

        解得:10a14

      a取整数为:11121314

      租地方案为:

    类别

    种植面积单位:(亩)

    A

    11

    12

    13

    14

    B

    9

    8

    7

    6

     

    总结升华本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用,读懂统计表,能够从统计表中获得正确信息,及熟练解方程组和不等式组是解题的关键.

    举一反三:

    【变式】某花农培育甲种花木2株,乙种花木3株,共需成本1700元;培育甲种花木3株,乙种花木1株,共需成本1500元.

    (1)求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元?

    (2)据市场调研,1株甲种花木售价为760元, 1株乙种花木售价为540元.该花农决定在成本不超过30000元的前提下培育甲乙两种花木,若培育乙种花木的株数是甲种花木的3倍还多10株,那么要使总利润不少于21600元,花农有哪几种具体的培育方案?

    答案

    解:(1)设甲、乙两种花木的成本价分别为x元和y元. 

    由题意得:  解得:        

    (2)设种植甲种花木为a株,则种植乙种花木为(3a+10)株.

     则有:     

    解得:               

     由于a为整数,a可取18或19或20,所以有三种具体方案:

    种植甲种花木18株,种植乙种花木3a+10=64株;

    种植甲种花木19株,种植乙种花木3a+10=67株;

    种植甲种花木20株,种植乙种花木3a+10=70株.

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