【小单元教案】高中数学人教A版(2019)必修第一册--5.2.2 同角三角函数的基本关系（第3课时）（课时教学设计2）

5.2.2 同角三角函数的基本关系教学设计（第3课时）

（一）教学内容

同角三角函数的基本关系：平方关系、商数关系

（二）教学目标

1.通过探究及推导同角三角函数的基本关系，在公式的形成过程中理解同角三角函数关系及其联系，发展学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等素养；

2.能够熟练运用公式解决“由一个三角函数值求其他三角函数值的求值问题(知一求二)”，能灵活运用公式证明简单的三角恒等式，并掌握公式的简单变换；

3.经历同角三角函数的基本关系公式的探索，体验发现原理和应用原理的过程，积累数学学习的基本活动经验，在一系列问题解决中感悟数形结合、分类讨论、方程思想、化归转化等基本数学思想方法。

（三）教学重点、难点

教学重点：引导学生自主探索、发现、证明同角三角函数的基本关系公式，准确、熟练、灵活应用两个公式解决相关的求值问题和证明简单的三角恒等式。

教学难点：“知一求二”的求值问题时的分类讨论，进行求值和证明中公式的灵活变换。

（四）教学过程

问题1：已知α=120度，它是第几象限角？你能求出sinα,cosα,tanα的值吗？说说你是怎么求的？

师生活动：

（1）教师给出问题，提醒学生回顾任意角的三角函数的定义及其在各象限的符号；

（2）学生回忆已学的概念进行讨论交流，学生代表展示结果。

（3）学生辨析结果，教师引导学生总结要点：只要给出了一个角，就可以求出它的所有三角函数值。

追问1：那如果只给出了一个角的某一个三角函数值，你还能求出它的其他三角函数吗？

追问2：已知，那的值是多少呢？你是怎么求出的？

追问3：对于任意角α，sinα,cosα,tanα之间有什么样的关系呢？本节课就来研究这样的问题。

设计意图：《高中数学课程标准》指出：“高中数学课程应提高学生的思维能力”。教育心理学相关研究也表明，思维的动力源自学生认知结构与学习内容之间的不协调，学生思维的活跃度取决于他们解决问题的知识基础和心理需要。

问题是数学课堂教学的核心。要有效地提高学生的思维能力，在教学设计时就必须根据学生已有的学习基础、学习情况等认知起点，认真研究学生数学认知水平的差异，站在学生的立场去思考，从学生已有的思维出发提出问题。

上节课学习的三角函数的概念及其在各象限的符号情况，是本节课学习公式的起点和基础。通过问题串复习旧知，让学生回忆三角函数的定义及其所在象限符号，并在此基础上进行同角三角函数关系的探索。从数学知识之间的联系提出问题串，构建起逻辑连贯的学习过程，既明确了本节课的学习目标，还能引导学生解决新问题的兴趣和欲望，将对学生的数学核心素养培养落实在课堂。

问题2：既然sinα,cosα,tanα都是通过圆上同一点的坐标来定义的，那么你能从圆的几何性质出发来寻找它们间的关系吗？

师生活动：

(1)教师引导学生回顾圆的几何性质，将圆上点的坐标与三角函数联系起来；

(2)学生在教师的引导下，交流讨论，展示结果；

(3)师生辨析结果，得出公式。

追问1：结合定义，从圆的几何性质出发，如何探究sinα,cosα,tanα之间的关系呢？

追问2：你还能想到其他方法证明吗？

设计意图：通过圆的几何性质，结合坐标与三角函数，找到直角三角形，即可得到平方关系；或者根据圆的定义，结合距离公式，得到平方关系。利用圆的定义及几何性质进行证明，因为单位圆在三角函数一章的学习中发挥重要的作用，包括后续诱导公式的推导，两角差的余弦公式推导，所以课堂教学中还是要引导学生使用单位圆进行推导，理解单位圆在学习中的价值，即设角的终边与单位圆交于点P，则点P坐标为，而单位圆的标准方程是，也可得到.

问题3：（1）已知，求的值.

（2）判断下列各式是否成立？

①               ②

③                    ④

师生活动：

(1)教师展示上述问题，学生分组讨论；

(2)小组展示成果，其他小组评价补充；

(3)教师引导学生一起总结升华。

设计意图：通过层层设问，构造认知冲突，学生通过操作感知和小组讨论，辨伪纠错。同角三角函数的基本关系公式中的“同角”，只需要角度相同即可，至于角的形式无关紧要，比如等，同时还要注意商数关系式和三角恒等式都是对于使它们有意义的角而言的。

由特殊到一般，由具体到抽象，通过问题3，剖析公式的条件，进一步明确同角的意义，体会公式字母的可变性和关系的稳定性，帮助学生不但从形式上弄清了“同角”的含义，而且从本质上理角同角三角函数的基本关系。

问题4：

(1)已知，求的值；

(2)已知，且是第三象限角，求的值；

(3)已知，求的值；

(4)已知，求的值.

师生活动：小组合作求解，并请不同小组成员阐述求解过程、求解思路，师生一起总结方法，并比较不同方法的特点。

设计意图：通过由特殊到一般再由一般到特殊的课本例题和习题的变式训练，加深对公式的理解和巩固。问题4的各小题设置有梯度，循序渐进，适合学生的认知水平差异，夯实数学基础知识和基本技能。

在准确、熟练运用公式解决螺旋上升的问题串中体悟分类讨论和方程思想等基本数学思想方法。

问题5：已知，求下列式子的值：

(1)     

(2)      ；

(3)

师生活动：师生一起分析题意，小组合作求解，并请不同小组成员阐述求解过程、求解思路，师生一起总结方法，并比较不同方法的特点。

设计意图：“数学是思维的体操”，因此在教学中应该尽可能地为学生创造活动的机会。在课堂上创设条件让学生主动参与，提出问题一要引导学生观察、分析，给学生时间去思考，去交流，去展示。这里问题5的(2)和(3)略有难度，让学生主动思考，积极交流，大胆展示，踊跃点评，这样不仅可以发展学生的思维能力，同时还能发挥学生的主观能动性，培养学生的数学核心素养。

课堂小结

教师提出问题供学生思考：

问题6：(1)本节课学习了同角三角函数的哪些基本关系？每个关系式成立的条件是什么？

(2)本节课的学习主要解决了什么问题？根据一个三角函数值求另外两个三角函数值时如何进行分类讨论？

(3)本节课体现了哪些基本数学思想方法？你还有什么疑问吗？

师生活动：学生思考、小组讨论、推举代表发言，其它同学补充。教师引导学生对所学

知识、数学思想进行小结，并对学生回答情况进行评价和补充。

设计意图：课堂小结以问题串的方式请学生根据本节课的内容有针对性地从知识和方法的角度进行归纳总结，反思知识、方法上的体验、收获，进一步强化了学生对基础知识和基本技能的记忆和掌握，起到加深巩固的作用。同时积极关注学生的自主体验，不仅能让学生再次回归知识的生成过程，达成学生对知识的自我发现、自我生成、自我应用、自我完善，让学生获得了成功的自我效能感，还可以让学生体会数形结合、分类讨论、方程思想及化归转化等数学思想方法在解决问题的过程中的应用，让学生核心素养的培养在平时的课堂中落地生根。

（五）目标检测设计

课后作业：练习第4题、第5题，及习题A组第10题.

设计意图：通过三道课本习题作为作业进一步加深学生对本节基础知识和基本技能的掌握。一个新公式的熟练掌握，仅仅课堂几道例题是远远不够的，要达到熟练运用的效果，一定量的“及时重复”是必要的。

（六）教学反思