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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数优秀达标测试
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数优秀达标测试，文件包含44对数函数-高一数学上学期同步讲与练人教A版必修第一册原卷版docx、44对数函数-高一数学上学期同步讲与练人教A版必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
一、对数函数的概念
1、定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为．
2、特殊的对数函数
（1）常用对数函数：以10为底的对数函数.
（2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数.
二、对数函数的图象
【小结】当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势，
又当时，a越大，图象向右越靠近x轴；时，a越小，图象向右越靠近x轴.
题型一 对数函数的概念理解
【例1】已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥
【答案】C
【解析】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数，
其中x是自变量，a是常数.
易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；
③中，是对数函数；④中，是对数函数；
⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.故选：C.
【变式1-1】给出下列函数：
①；②；③；④.
其中是对数函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；
③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数，故选:A.
【变式1-2】下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）
①；②；③；④；
⑤；⑥；⑦.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】由于①中自变量出现在底数上，①不是对数函数；
由于②中底数不能保证，且，②不是对数函数；
由于⑤⑦的真数分别为，，⑤⑦也不是对数函数；
由于⑥中的系数为2，⑥也不是对数函数；
只有③④符合对数函数的定义，故选：B.
【变式1-3】下列函数是对数函数的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对数函数（且），其中为常数，为自变量．
对于选项A，符合对数函数定义；
对于选项B，真数部分是，不是自变量，故它不是对数函数；
对于选项C，底数是变量，不是常数，故它不是对数函数；
对于选项D，底数是变量，不是常数，故它不是对数函数．
题型二 求对数函数的解析式
【例2】若对数函数的图象过点，则此函数的表达式为______.
【答案】
【解析】设对数函数为，，
因为对数函数的图象过点，
所以，即，解得，
所以.
【变式2-1】若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________.
【答案】-3
【解析】设（且），
将代入得.
所以，.
【变式2-2】若函数为对数函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知：函数为对数函数
所以或，
又且，所以，故选：B
【变式2-3】已知对数函数，则______．
【答案】2
【解析】由对数函数的定义，
可得，解得．
题型三 对数函数的定义域问题
【例3】函数的定义域是（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】D
【解析】由题意得，，
解得，即函数的定义域是.故选：D
【变式3-1】若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域是[1，3]，
∴，解得．
又，且，∴．
故函数的定义域是．故选：C.
【变式3-2】函数的定义域是__________．
【答案】
【解析】对于函数，
由，即，解得.
因此，函数的定义域为.
【变式3-3】函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，，．故选：D．
【变式3-4】若函数的定义域为，则（ ）
A．3 B．3 C．1 D．1
【答案】A
【解析】由，得，
由题意可知上式的解集为，
所以为方程的一个根，
所以，得，故选：A
【变式3-5】已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】根据条件可知在R上恒成立，
则，且，解得，
故a的取值范围是.
题型四 对数型函数过定点问题
【例4】已知函数且，则该函数图象恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数经过定点
所以函数且的图象经过定点.故选：B
【变式4-1】函数的图象恒过定点，则M为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数，令，解得，
此时，
所以函数恒过定点；故选：A
【变式4-2】函数（且）的图象经过的定点坐标为__________.
【答案】
【解析】，取
∴时，，即过定点
【变式4-3】函数（，且）恒过定点（3，2），则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】由题意，函数，
当时，即时，可得，即函数恒经过点，
又因为恒经过点，可得，解得，
所以.故选：C.
【变式4-4】函数的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】A
【解析】当时，，
所以函数的图像恒过定点
记，则有，解得
所以.故选：A
题型五 对数函数的图象问题
【例5】已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】因为函数为减函数，所以
又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即
又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，故选：D
【变式5-1】已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由图象可知在定义域内单调递增，所以，
令，即，
所以函数的零点为，结合函数图象可知，所以，
因此，故A错误；
，又因为，所以，因此不一定成立，故B错误；
因为，即，且，所以，故C正确；
因为，所以，即，故D错误，故选：C.
【变式5-2】已知函数f(x)=ln(x+a)的图象不经过第四象限，则a的取值范围是（ ）
A．(0，1) B．(0， ) C．(0，1] D．[1，+∞)
【答案】D
【解析】的图象是由的图象向左平移个单位所得．
的图象过点，函数为增函数，因此．故选：D．
【变式5-3】如图是对数函数的图象，已知a值取，，，，则相应的，，，的a值依次是（ ）
A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，
【答案】B
【解析】∵当时，图象呈上升趋势；
当时，图象呈下降趋势，
又当时，a越大，图象向右越靠近x轴；
时，a越小，图象向右越靠近x轴，
故，，，对应的a值依次是，，，．故选：B．
【变式5-4】在同一平面直角坐标系中，一次函数与对数函数（且）的图象关系可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，
．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，
．由对数图象知，此时直线的纵截距，保持一致，
．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，
故选：．
【变式5-5】设幂函数，指数函数，对数函数在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之间的大小关系错误的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A：要判断的是幂函数的图像，
根据的图像可以判断，故A正确；
对于B：要判断的是指数函数的图像，
作出x=1，看交点，交点高，底数越大，所以，故B正确；
对于C、D：要判断的是对数函数的图像，
作出y=1，看交点，交点越靠由，底数越大，
所以，故D正确，C错误；
题型六 指对幂比较大小
【例6】设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，，
又由对数函数的性质:当时，底数越大，图像越低，可得，
所以，故选: D.
【变式6-1】设，，，则三者大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
故.故选：C
【变式6-2】已知，，，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，， ，
是单调递增，，，
，，
是单调递增，，，
， ，
是单调递增，，，
，，
是单调递增，，，
综上所述，，故选：D.
【变式6-3】函数是定义在R上的偶函数，且在单调递增，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由偶函数知，
又，，，
显然，
又在单调递增，则.故选：C.
题型七 对数型函数的单调性
【例7】函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知的定义域为，
令，则，函数单调递增，
当时，关于单调递减，关于单调递减，
当时，关于单调递增，关于单调递增，
故的递增区间为．故选：D．
【变式7-1】函数的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，
二次函数的对称轴为：，
所以二次函数的单调递增区间为，递减区间为，
而函数是正实数集上的减函数，根据复合函数的单调性质可知：
函数的单调增区间为，故选：C
【变式7-2】若函数在区间上是单调增函数，则实数a的取值范围是___．
【答案】
【解析】由函数在区间上是单调增函数，
只需函数在上是单调增函数，且当时恒成立，
所以满足解得．
【变式7-3】已知f（x）＝在区间[2，＋∞）上为减函数，则实数a的取值范围是________．
【答案】（－4，4]
【解析】二次函数的对称轴为x＝，
由已知，应有≤2，且满足当x≥2时y＝x2－ax＋3a>0，
即解得－4故答案为：（－4，4]
【变式7-4】已知函数在定义域上是增函数，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为在定义域上是增函数，
当时单调递增且，
当时也单调递增，
所以，即，
所以，即；故选：B
题型八 解对数型不等式
【例8】若实数x满足不等式，则实数x的取值范围是______．
【答案】
【解析】，
，解得或.
【变式8-1】不等式的解集为______.
【答案】
【解析】由，可得，
所以，
解得：或，
不等式的解集为.
【变式8-2】设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．，
【答案】C
【解析】由，得：，因为，所以，取交集得：．
所以的取值范围是，故选：C.
【变式8-3】不等式的解集是_______．
【答案】当时，解集为；当时，解集为
【解析】∵，
∴原不等式等价于，
当>1时，，解得0＜x＜2．
当时，，解得2＜x＜4．
∴当>1时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为
故答案为：当>1时，解集为；当时，解集为
【变式8-4】已知实数，且满足不等式，则不等式的解集为________．
【答案】
【解析】因为，所以，而，则，于是 .
【变式8-5】设函数，则使得成立的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】方法一 :
由得，
则，解得或.
方法二 :根据题意，函数，其定义域为，
有，即函数为偶函数，
设，则，
在区间上，为增函数且，在区间上为增函数，
则在上为增函数，
，
解得或，故选：D．
【变式8-6】已知函数，求不等式的解集．
【答案】或
【解析】，
则不等式，即或，
故或，
所以不等式的解集为或．
题型九 对数型函数的就奇偶性问题
【例9】已知函数，求函数的定义域，并判断其奇偶性.
【答案】；奇函数
【解析】由解得或，所以的定义域为，
定义域关于原点对称，且，
所以为奇函数.
【变式9-1】若函数是奇函数，则___________，___________.
【答案】1；0
【解析】因为函数是奇函数，
故，即，即.又，
故，
即，恒成立，
故，所以或，当时无意义.
当时满足奇函数.故
综上，，
【变式9-2】若函数为定义域上的奇函数，则实数的值为______．
【答案】4
【解析】因为为定义域上的奇函数，
，
所以恒成立解得.
【变式9-3】已知函数，若是奇函数，则实数a=______．
【答案】1
【解析】由题意，，即，
所以，化简得，解得．
题型十 对数型函数的值域问题
【例10】已知函数，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以，故选：D
【变式10-1】若，则函数的值域为________.
【答案】
【解析】因为，，
令，
因此，即的值域为．
【变式10-2】函数的最小值是（ ）．
A．10 B．1 C．11 D．
【答案】B
【解析】设，则，
因为，
所以，所以的最小值为1，故选：B
【变式10-3】已知函数（a>0且a≠1）的图象过点.
（1）求a的值及的定义域；
（2）求的单调递减区间；
（3）求在上的最小值.
【答案】（1），定义域；（2）；（3）
【解析】（1）的图象过点，
可得：，解得：
则有：
定义域满足：，解得：
故的定义域为
（2）由（1）知：
令
可得：在上单调递减
故的单调递减区间为：.
（3）令，
故当x=3时，
可得：
【变式10-4】若函数的最大值为0，则实数a的值为___________.
【答案】
【解析】因为的最大值为0，所以应有最小值1，
因此应有解得.a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
过定点
过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
函数值的变化
当0＜x＜1时，y＜0；
当x＞1时，y＞0
当0＜x＜1时，y＞0；
当x＞1时，y＜0
单调性
是(0，＋∞)上的增函数
是(0，＋∞)上的减函数
一、对数函数的概念
1、定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为．
2、特殊的对数函数
（1）常用对数函数：以10为底的对数函数.
（2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数.
二、对数函数的图象
【小结】当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势，
又当时，a越大，图象向右越靠近x轴；时，a越小，图象向右越靠近x轴.
题型一 对数函数的概念理解
【例1】已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥
【答案】C
【解析】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数，
其中x是自变量，a是常数.
易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；
③中，是对数函数；④中，是对数函数；
⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.故选：C.
【变式1-1】给出下列函数：
①；②；③；④.
其中是对数函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；
③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数，故选:A.
【变式1-2】下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）
①；②；③；④；
⑤；⑥；⑦.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】由于①中自变量出现在底数上，①不是对数函数；
由于②中底数不能保证，且，②不是对数函数；
由于⑤⑦的真数分别为，，⑤⑦也不是对数函数；
由于⑥中的系数为2，⑥也不是对数函数；
只有③④符合对数函数的定义，故选：B.
【变式1-3】下列函数是对数函数的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对数函数（且），其中为常数，为自变量．
对于选项A，符合对数函数定义；
对于选项B，真数部分是，不是自变量，故它不是对数函数；
对于选项C，底数是变量，不是常数，故它不是对数函数；
对于选项D，底数是变量，不是常数，故它不是对数函数．
题型二 求对数函数的解析式
【例2】若对数函数的图象过点，则此函数的表达式为______.
【答案】
【解析】设对数函数为，，
因为对数函数的图象过点，
所以，即，解得，
所以.
【变式2-1】若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________.
【答案】-3
【解析】设（且），
将代入得.
所以，.
【变式2-2】若函数为对数函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知：函数为对数函数
所以或，
又且，所以，故选：B
【变式2-3】已知对数函数，则______．
【答案】2
【解析】由对数函数的定义，
可得，解得．
题型三 对数函数的定义域问题
【例3】函数的定义域是（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】D
【解析】由题意得，，
解得，即函数的定义域是.故选：D
【变式3-1】若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域是[1，3]，
∴，解得．
又，且，∴．
故函数的定义域是．故选：C.
【变式3-2】函数的定义域是__________．
【答案】
【解析】对于函数，
由，即，解得.
因此，函数的定义域为.
【变式3-3】函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，，．故选：D．
【变式3-4】若函数的定义域为，则（ ）
A．3 B．3 C．1 D．1
【答案】A
【解析】由，得，
由题意可知上式的解集为，
所以为方程的一个根，
所以，得，故选：A
【变式3-5】已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】根据条件可知在R上恒成立，
则，且，解得，
故a的取值范围是.
题型四 对数型函数过定点问题
【例4】已知函数且，则该函数图象恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数经过定点
所以函数且的图象经过定点.故选：B
【变式4-1】函数的图象恒过定点，则M为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数，令，解得，
此时，
所以函数恒过定点；故选：A
【变式4-2】函数（且）的图象经过的定点坐标为__________.
【答案】
【解析】，取
∴时，，即过定点
【变式4-3】函数（，且）恒过定点（3，2），则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】由题意，函数，
当时，即时，可得，即函数恒经过点，
又因为恒经过点，可得，解得，
所以.故选：C.
【变式4-4】函数的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】A
【解析】当时，，
所以函数的图像恒过定点
记，则有，解得
所以.故选：A
题型五 对数函数的图象问题
【例5】已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】因为函数为减函数，所以
又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即
又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，故选：D
【变式5-1】已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由图象可知在定义域内单调递增，所以，
令，即，
所以函数的零点为，结合函数图象可知，所以，
因此，故A错误；
，又因为，所以，因此不一定成立，故B错误；
因为，即，且，所以，故C正确；
因为，所以，即，故D错误，故选：C.
【变式5-2】已知函数f(x)=ln(x+a)的图象不经过第四象限，则a的取值范围是（ ）
A．(0，1) B．(0， ) C．(0，1] D．[1，+∞)
【答案】D
【解析】的图象是由的图象向左平移个单位所得．
的图象过点，函数为增函数，因此．故选：D．
【变式5-3】如图是对数函数的图象，已知a值取，，，，则相应的，，，的a值依次是（ ）
A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，
【答案】B
【解析】∵当时，图象呈上升趋势；
当时，图象呈下降趋势，
又当时，a越大，图象向右越靠近x轴；
时，a越小，图象向右越靠近x轴，
故，，，对应的a值依次是，，，．故选：B．
【变式5-4】在同一平面直角坐标系中，一次函数与对数函数（且）的图象关系可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，
．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，
．由对数图象知，此时直线的纵截距，保持一致，
．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，
故选：．
【变式5-5】设幂函数，指数函数，对数函数在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之间的大小关系错误的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A：要判断的是幂函数的图像，
根据的图像可以判断，故A正确；
对于B：要判断的是指数函数的图像，
作出x=1，看交点，交点高，底数越大，所以，故B正确；
对于C、D：要判断的是对数函数的图像，
作出y=1，看交点，交点越靠由，底数越大，
所以，故D正确，C错误；
题型六 指对幂比较大小
【例6】设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，，
又由对数函数的性质:当时，底数越大，图像越低，可得，
所以，故选: D.
【变式6-1】设，，，则三者大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
故.故选：C
【变式6-2】已知，，，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，， ，
是单调递增，，，
，，
是单调递增，，，
， ，
是单调递增，，，
，，
是单调递增，，，
综上所述，，故选：D.
【变式6-3】函数是定义在R上的偶函数，且在单调递增，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由偶函数知，
又，，，
显然，
又在单调递增，则.故选：C.
题型七 对数型函数的单调性
【例7】函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知的定义域为，
令，则，函数单调递增，
当时，关于单调递减，关于单调递减，
当时，关于单调递增，关于单调递增，
故的递增区间为．故选：D．
【变式7-1】函数的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，
二次函数的对称轴为：，
所以二次函数的单调递增区间为，递减区间为，
而函数是正实数集上的减函数，根据复合函数的单调性质可知：
函数的单调增区间为，故选：C
【变式7-2】若函数在区间上是单调增函数，则实数a的取值范围是___．
【答案】
【解析】由函数在区间上是单调增函数，
只需函数在上是单调增函数，且当时恒成立，
所以满足解得．
【变式7-3】已知f（x）＝在区间[2，＋∞）上为减函数，则实数a的取值范围是________．
【答案】（－4，4]
【解析】二次函数的对称轴为x＝，
由已知，应有≤2，且满足当x≥2时y＝x2－ax＋3a>0，
即解得－4
【变式7-4】已知函数在定义域上是增函数，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为在定义域上是增函数，
当时单调递增且，
当时也单调递增，
所以，即，
所以，即；故选：B
题型八 解对数型不等式
【例8】若实数x满足不等式，则实数x的取值范围是______．
【答案】
【解析】，
，解得或.
【变式8-1】不等式的解集为______.
【答案】
【解析】由，可得，
所以，
解得：或，
不等式的解集为.
【变式8-2】设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．，
【答案】C
【解析】由，得：，因为，所以，取交集得：．
所以的取值范围是，故选：C.
【变式8-3】不等式的解集是_______．
【答案】当时，解集为；当时，解集为
【解析】∵，
∴原不等式等价于，
当>1时，，解得0＜x＜2．
当时，，解得2＜x＜4．
∴当>1时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为
故答案为：当>1时，解集为；当时，解集为
【变式8-4】已知实数，且满足不等式，则不等式的解集为________．
【答案】
【解析】因为，所以，而，则，于是 .
【变式8-5】设函数，则使得成立的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】方法一 :
由得，
则，解得或.
方法二 :根据题意，函数，其定义域为，
有，即函数为偶函数，
设，则，
在区间上，为增函数且，在区间上为增函数，
则在上为增函数，
，
解得或，故选：D．
【变式8-6】已知函数，求不等式的解集．
【答案】或
【解析】，
则不等式，即或，
故或，
所以不等式的解集为或．
题型九 对数型函数的就奇偶性问题
【例9】已知函数，求函数的定义域，并判断其奇偶性.
【答案】；奇函数
【解析】由解得或，所以的定义域为，
定义域关于原点对称，且，
所以为奇函数.
【变式9-1】若函数是奇函数，则___________，___________.
【答案】1；0
【解析】因为函数是奇函数，
故，即，即.又，
故，
即，恒成立，
故，所以或，当时无意义.
当时满足奇函数.故
综上，，
【变式9-2】若函数为定义域上的奇函数，则实数的值为______．
【答案】4
【解析】因为为定义域上的奇函数，
，
所以恒成立解得.
【变式9-3】已知函数，若是奇函数，则实数a=______．
【答案】1
【解析】由题意，，即，
所以，化简得，解得．
题型十 对数型函数的值域问题
【例10】已知函数，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以，故选：D
【变式10-1】若，则函数的值域为________.
【答案】
【解析】因为，，
令，
因此，即的值域为．
【变式10-2】函数的最小值是（ ）．
A．10 B．1 C．11 D．
【答案】B
【解析】设，则，
因为，
所以，所以的最小值为1，故选：B
【变式10-3】已知函数（a>0且a≠1）的图象过点.
（1）求a的值及的定义域；
（2）求的单调递减区间；
（3）求在上的最小值.
【答案】（1），定义域；（2）；（3）
【解析】（1）的图象过点，
可得：，解得：
则有：
定义域满足：，解得：
故的定义域为
（2）由（1）知：
令
可得：在上单调递减
故的单调递减区间为：.
（3）令，
故当x=3时，
可得：
【变式10-4】若函数的最大值为0，则实数a的值为___________.
【答案】
【解析】因为的最大值为0，所以应有最小值1，
因此应有解得.a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
过定点
过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
函数值的变化
当0＜x＜1时，y＜0；
当x＞1时，y＞0
当0＜x＜1时，y＞0；
当x＞1时，y＜0
单调性
是(0，＋∞)上的增函数
是(0，＋∞)上的减函数
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