人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数第三课时课时训练

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数第三课时课时训练，共6页。试卷主要包含了若x∈，则下列结论正确的是，))等内容，欢迎下载使用。

A级——基础过关练
1．下列函数中，增长速度越来越慢的是( )
A．y＝6xB．y＝lg6x
C．y＝x6D．y＝6x
【答案】B
【解析】D中一次函数的增长速度不变，A，C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．
2．(多选)当a＞1时，有下列结论，其中正确的结论有( )
A．指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快
B．指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快
C．对数函数y＝lgax，当a越大时，其函数值的增长越快
D．对数函数y＝lgax，当a越小时，其函数值的增长越快
【答案】AD
【解析】结合指数函数及对数函数的图象可知A，D正确．故选AD.
3．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份( )
A．甲食堂的营业额较高
B．乙食堂的营业额较高
C．甲、乙两食堂的营业额相同
D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
【答案】A
【解析】设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a＞0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意可知，m＋8a＝m×(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m×(1＋x)4＝ eq \r(m(m＋8a)).因为y eq \\al(2,1) －y eq \\al(2,2) ＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2＞0，所以y1＞y2.故本年5月份甲食堂的营业额较高．
4．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表所示：
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( )
A．y＝2x－2B．y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)
C．y＝lg2xD．y＝ eq \f(1,2)(x2－1)
【答案】D
【解析】(方法一)相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5，3.5，4.5，6，逐渐增加，二次曲线拟合程度最好．故选D.
(方法二)比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x＝4，经检验易知选D.
5．若x∈(0，1)，则下列结论正确的是( )
A．2x＞x eq \s\up5(\f(1,2)) ＞lg xB．2x＞lg x＞x eq \s\up5(\f(1,2))
C．x eq \s\up5(\f(1,2)) ＞2x＞lg xD．lg x＞x eq \s\up5(\f(1,2)) ＞2x
【答案】A
【解析】结合y＝2x，y＝x eq \s\up5(\f(1,2)) 及y＝lg x的图象易知，当x∈(0，1)时，2x＞x eq \s\up5(\f(1,2)) ＞lg x．
6．某小型贸易公司为了实现年终10万元利润的目标，特制定了销售人员年终绩效奖励方案：当销售利润为x(单位：万元)(4≤x≤10)时，奖金y(单位：万元)随销售利润x的增加而增加，但奖金总数不超过2万元，同时奖金不超过销售利润的 eq \f(1,2)，则下列函数中，符合该公司奖励方案的函数模型是( )
A．y＝0.4xB．y＝lg x＋1
C．y＝x eq \s\up5(\f(1,2)) D．y＝1.125x
【答案】B
【解析】在选项B中，y＝lg x＋1在区间[4，10]上单调递增．当x＝10时，ymax＝2.作出y＝lg x＋1与y＝ eq \f(x,2)的图象，如图所示，由图知lg x＋1＜ eq \f(x,2)在x∈[4，10]上恒成立．故B正确．
7．有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的自驾车，其跑车时间均为x小时，跑过的路程分别满足关系式：f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝lg3(x＋1)，f4(x)＝2x－1，则5个小时以后跑在最前面的为( )
A．甲B．乙
C．丙D．丁
【答案】D
【解析】(方法一)分别作出四个函数的图象(图略)，利用数形结合，知5个小时后丁车在最前面．
(方法二)由于4个函数均为增函数，且f1(5)＝52＝25，f2(5)＝20，f3(5)＝lg3(5＋1)＝1＋lg32，f4(5)＝25－1＝31，f4(5)最大，所以5个小时后丁车在最前面．故选D.
8．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．
【答案】f(x)＞g(x)
【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图象如图所示．由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象的上方，故f(x)＞g(x).
9．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．
【答案】y＝x2
【解析】当x变大时，x比ln x增长要快，所以x2比x ln x增长要快．
10．画出函数f(x)＝ eq \r(x)与函数g(x)＝ eq \f(1,4)x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．
解：函数f(x)与g(x)的图象如图所示．
根据图象易得，当0≤x＜4时，f(x)＞g(x)；
当x＝4时，f(x)＝g(x)；
当x＞4时，f(x)＜g(x).
B级——能力提升练
11．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2xB．y＝ eq \f(1,10)x2＋2x
C．y＝ eq \f(2x,10)D．y＝0.2＋lg16x
【答案】C
【解析】将x＝1，2，3依次代入各函数表达式中得
与已知值0.2，0.4，0.76相比较可知选C.
12．(多选)在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示，下列说法中正确的有( )
A．前5 min温度增加越来越快B．前5 min温度增加越来越慢
C．5 min后温度保持匀速增加D．5 min后温度保持不变
【答案】BC
【解析】前5 min温度y随x增加而增加，增长速度越来越慢；5 min后，温度y随x的变化曲线是直线，即温度匀速增加，所以B，C正确．故选BC.
13．函数y1＝lg3x与函数y2＝3x，当x从1增加到m时，函数的增量分别是Δy1与Δy2，则Δy1________Δy2.(填“＞”“＝”或“＜”)
【答案】＜
【解析】由这两个函数的图象可知，指数函数增长得快些，所以Δy1＜Δy2.
14．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________.(填序号)
A B
【答案】(4) (1)
【解析】A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应．
15．假设有一套住房的房价从2013年的20万元上涨到2023年的40万元．下表给出了两种价格增长方式，其中P1是按直线上升的房价，P2是按指数增长的房价，t是2013年以来经过的年数．
(1)求函数P1＝f(t)的解析式；
(2)求函数P2＝g(t)的解析式；
(3)完成上表空格中的数据，并在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种价格增长方式的差异．
解：(1)设f(t)＝kt＋b(k≠0)，
则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝20，,10k＋b＝40，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝20，,k＝2.))
∴P1＝f(t)＝2t＋20.
(2)设g(t)＝mat(a＞0，且a≠1)，
则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝20，,ma10＝40，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝20，,a＝\r(10,2)．))
∴P2＝g(t)＝20×( eq\r(10,2))t＝20×2 eq \s\up6(\f(t,10)).
(3)表格中的数据如下表所示：
画出两个函数的图象如图所示．
由图象可以看出，在前10年，按P1增长的价格始终高于按P2增长的价格，但10年后，P2价格增长速度很快，远远超出P1的价格并且时间越长，差别越大．
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
x
1
2
3
y＝0.2x
0.2
0.4
0.6
y＝ eq \f(2x,10)
0.2
0.4
0.8
y＝ eq \f(1,10)x2＋2x
2.1
4.4
6.9
y＝0.2＋lg16x
0.2
0.45
0.2＋lg163
t
0
5
10
15
20
P1/万元
20
40
P2/万元
20
40
t
0
5
10
15
20
P1/万元
20
30
40
50
60
P2/万元
20
20 eq \r(2)
40
40 eq \r(2)
80