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北师大版九年级下册7 切线长定理巩固练习
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这是一份北师大版九年级下册7 切线长定理巩固练习，文件包含北师大版九年级数学下册同步精品讲义第17讲切线长定理原卷版docx、北师大版九年级数学下册同步精品讲义第17讲切线长定理解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共52页， 欢迎下载使用。
知识精讲
知识点01 切线长定理
1．切线长：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
注意：
切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.
2．切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
注意：
切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.
知识点02 圆外切四边形
圆外切四边形
四边形的四条边都与同一个圆相切,那这个四边形叫做圆的外切四边形.
圆外切四边形性质
圆外切四边形的两组对边之和相等.
注意：
不是所有的四边形都有内切圆
能力拓展
考法01 应用切线长定理求解
【典例1】如图，分别与相切于点、过圆上点作的切线分别交于点，若，则的周长是（ ）
A．4B．8C．10D．12
【答案】D
【详解】解：∵分别与相切于点，
的切线分别交于点，，
∴，
∴的周长．
故选：D．
【即学即练】如图，分别切于点A，B，C．若的半径为的长为，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
同理，，
，
在中，，
∴．
故选C．
【典例2】如图是的切线，切点分别为P，C，D．若，则的长是（ ）
A．2.5B．3C．3.5D．2
【答案】B
【详解】解：∵是的切线，切点分别为P，C，D，，
∴，
∴，
故选B．
【即学即练】如图，的内切圆⊙O与，BC，CA分别相切于点D，E，F，，则AD的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设，
∵的内切圆⊙O与，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴，
∵，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴．
故选：D．
考法02 应用切线长定理求证
【典例3】已知：如图，为的直径，为的切线，D、B为切点，交于点E，的延长线交于点F，连接．以下结论：①；②点E为的内心；③；④．其中正确的只有（ ）
A．①②B．②③④C．①③④D．①②④
【答案】D
【详解】连接OD，DE，EB，
∵CD与BC是⊙O的切线，∴∠ODC=∠OBC=90°，OD=OB，
∵OC=OC
∴Rt△CDO≌Rt△CBO，
∴∠COD=∠COB，
∴∠COB=∠DAB=∠DOB，
∴AD∥OC，故①正确；
∵CD是⊙O的切线，
∴∠CDE=∠DOE，而∠BDE=∠BOE，
∴∠CDE=∠BDE，即DE是∠CDB的角平分线，同理可证得BE是∠CBD的平分线，
因此E为△CBD的内心，故②正确；
若FC=FE，则应有∠OCB=∠CEF，应有∠CEF=∠AEO=∠EAB=∠DBA=∠DEA，
∴弧AD=弧BE，而弧AD与弧BE不一定相等，故③不正确；
设AE、BD 交于点G，由②可知∠EBG=∠EBF，
又∵BE⊥GF，
∴FB=GB，
由切线的性质可得，点E是弧BD的中点，∠DCE=∠BCE，
又∵∠MDA=∠DCE（平行线的性质）=∠DBA，
∴∠BCE=∠GBA，
而∠CFE=∠ABF+∠FAB，∠DGE=∠ADB+∠DAG，∠DAG=∠FAB（等弧所对的圆周角相等），
∴∠AGB=∠CFE，
∴△ABG∽△CEF，
∴CE•GB=AB•CF，
又∵FB=GB，
∴CE•FB=AB•CF
故④正确．
因此正确的结论有：①②④．
故选：D．
【即学即练】如图AB、BC、CD分别与⊙O 相切于E、 F、G 三点且ABDC，则下列结论：①CG=CF；②BE=BF；③∠BOC=90°；④△BEO～△BOC～△OGC中正确的个数是（ ）
A．4B．3
C．2D．1
【答案】A
【详解】连结OF，
∵AB、BC、CD分别与⊙O 相切于E、 F、G，
又因为CG与CF为切线长，BE与BF也为切线长，
∴CG=CF，BE=BF，
∴①CG=CF，②BE=BF正确；
∵AB、BC、CD分别与⊙O 相切于E、 F、G，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，
∴∠OEB=∠OFB=∠OFC=∠OGC=90º，
∴OB平分∠EBF，OC平分∠FCG，
∴∠EBO=∠FBO,∠FCO=∠GCO，
∴△BEO≌△BFO（AAS），△FCO≌△GCO（AAS），
∴∠EOB=∠FOB，∠FOC=∠GOC，
∵∠EOB+∠FOB+∠FOC+∠GOC=180º，
∴2∠FOB+2∠FOC=180º，
∴∠FOB+∠FOC=90º，
∴∠BOC=∠FOB+∠FOC=90º，
∴③∠BOC=90°正确；；
由△OBC、△BEO、△CGO都是直角三角形，
∵∠EOB+∠EBO=90º，∠EOB+∠EBO=90º，
∴∠GOC=∠EBO=∠OBC，
△BEO∽△BOC∽△OGC，
∴④△BEO～△BOC～△OGC正确，
①CG=CF；②BE=BF；③∠BOC=90°；④△BEO～△BOC～△OGC中正确的个数有4个，
故选择：A．
【典例4】如图，已知PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，射线PO交圆O于点D、点E．下列结论不一定成立的是( )
A．点E是△BPA的内心B．AB与PD相互垂直平分
C．点A、B都在以PO为直径的圆上D．PC为△BPA的边AB上的中线
【答案】B
【详解】解：如图，作EG⊥PA于G，EH⊥PB于H，作PO的中点F，并连结FB、FA、EB、EA、OB、OA，
由切线长定理可知PA=PB，∠BPO=∠APO，
∴△BPA为等腰三角形，且PC为△BPA的边AB上的中线，D不符合题意；
由切线的性质可知△OBP、△OAP为直角三角形，
∵F为PO的中点，∴FB=FA=，
∴点A、B都在以PO为直径的圆上，C不符合题意；
在△PBE和△PAE中，，
∴△PBE≌△PAE，∴EB=EA，∴∠EBA=∠EAB，
∵PA是⊙O的切线，∴∠PAE=∠EBA，∴∠PAE=∠EAB，∴EG=EC，
∵PO平分∠BPA，∴EH=EG，
∴EH=EG=EC，∴点E是△BPA的内心，A不符合题意；
∵PC=CD不一定成立，AB与PD不一定相互垂直平分，B符合题意；
故选B．
【即学即练】如图，切于点切于点交于点，下列结论中不一定成立的是（ ）
A．B．平分
C．D．
【答案】D
【详解】解：连接OA，OB，AB，AB交PO于点G，
由切线长定理可得：∠APO＝∠BPO，PA＝PB，
又∵PG=PG，
∴△PAG≌△PBG，
从而AB⊥OP．
因此A．B．C都正确．
无法得出AB＝PA＝PB，可知：D是错误的．
综上可知：只有D是错误的．
故选：D．
考法03 圆的综合问题
【典例5】如图，是的弦，点是上的动点（不与、重合），，垂足为，点是的中点．若的半径是，则长的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：∵
∴
∵点是的中点
∴
∴当为直径时，最大；
∵的半径是；
∴
∴
故选：A．
【即学即练】如图，C为半圆弧的中点，P为弧上任意一点，，且与交于点D，连接．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】如图所示，以为斜边作等腰直角三角形，则，连接，，，
∵的直径为，C为半圆弧的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴点D的运动轨迹为以Q为圆心，为半径的圆弧，
∵，C为半圆弧的中点，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴中，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴的最小值为：
故选：A
【典例6】如图，是的直径，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．6B．C．D．
【答案】C
【详解】解：过A作关于直线的对称点，连接，，
∵关于直线对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
过O作于Q，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的最小值．
故选：C．
【即学即练】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（ ）
A．7B．5C．D．
【答案】B
【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．
答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．
∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，
∴PC2＝CM•CA，
∴，
∵∠PCM＝∠ACP，
∴△PCM∽△ACP，
∴，
∴PMPA，
∴AP+BP＝PM+PB，
∵PM+PB≥BM，
在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，
∴BM5，
∴AP+BP≥5，
∴AP+BP的最小值为5．
故选：B．
分层提分
题组A 基础过关练
1．平面内，⊙的半径为，点到圆心的距离为，过点可作⊙的切线条数（ ）
A．条B．条C．条D．无数条
【答案】A
【详解】⊙的半径为，点到圆心的距离为，
,
点与⊙的位置关系是：点在⊙的内部，
过点可以作⊙的条切线．
故选：A．
2．如图，已知、分别切于、，切于，，，则周长为（ ）
A．20B．22C．24D．26
【答案】C
【详解】、分别切于、，
，，
，
、分别切于、，切于，
，，
，
故选：C．
3．如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵、、是的切线，
∴AP=AC，BP=BD，
∵，，
∴AP=3，
∴BD=BP=AB-AP=2．
故选：B
4．如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，的周长为14，则的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【详解】解：与，，分别相切于点，，
，，，
的周长为14，
故选：．
5．如图，是的切线，切点分别为P、C、D，若，，则BD的长是（ ）
A．2.5B．2C．1.5D．1
【答案】B
【详解】解：∵为的切线，
∴，
∵为的切线，
∴，
∵，，
∴．
故选：B．
6．如图，⊙O是的内切圆，D，E，F分别为切点，且．已知，，则四边形OFCE的面积为（ ）
A．1B．15C．D．4
【答案】D
【详解】解：如图，连接，设半径为，则，，，，
∵，，，
∴,
∴，，
∴，
∴，
∵，分别为切点，且，，
∴四边形是正方形，
∴四边形的面积为．
故选：D．
7．如图，，是的切线，切点分别为，．若，，则的长为________．
【答案】
【详解】解：∵，分别为的切线，
∴，，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
8．如图，P为 外一点， 分别切 于点 ， 切 于点 ，分别交 于点 ，若 ，则 的周长为 __．
【答案】
【详解】解： 分别切 于点 ， 切 于点 ，，
， ， ，
的周长
，
故答案为： ．
9．如图，中，，点在边上，以为直径作交的延长线于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵交的延长线于点，
∴点，在圆上，
∴，且是圆的半径，
∴，
∵，
∴，
∵中，，
∴在中，，
∴，即，且点在圆上，
∴是的切线．
（2）解：在中，，，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知，设圆的半径为，
∴，且，
∴，即，解得，，
故的半径为．
10．如图，与相切于点C，经过上的点D，交于点，，是的直径．
(1)求证：是的切线；
(2)当，时，求的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【详解】（1）证明：连接，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵与相切，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵是的切线，与相切，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
即的半径长为3．
题组B 能力提升练
1．已知的内切圆的半径为，且，的周长为16，则的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【详解】解：根据题意，作出图形，过点作，，，连接，如下图：
由切线长定理可得：，，，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
在中，，，
∴，
由勾股定理可得：，
的周长为16，可得：
解得，
故选：C．
2．圆O内切于三角形，在斜边上的切点为D，，，则内切圆的半径为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【详解】解：由题意得，是直角三角形，且，设内切圆与三边分别切于点D，E，F，连接，，如图，
∵是的内切圆，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴矩形为正方形；
设的半径为r，
∵四边形为正方形，
∴，
∵是的内切圆，
∴，，
∴，，，
在中，，
∴，
解得：（舍去），
∴的半径为2；
故选：A．
3．如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】B
【详解】解：∵，是的切线，切点分别是，，
∴，
∵、是的切线，切点是D，交，于点，，
∴，，
∵的周长为4，即，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
4．若直角三角形中两直角边之比是，则称直角三角形为完美三角形．如图，C是上半圆上一点，将沿着BC折叠，与直径AB交于圆心O右侧一点D，若是完美三角形，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：如图，作交于，连接，
∵弧是由部分沿折叠得到的，且，
∴，
又∵，
∴，
∵是完美三角形，
∴，，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
5．如图，的半径为2，，是的两条切线，切点分别为A，B．连接，，，，若，则的周长为（ ）
A．B．C．6D．3
【答案】A
【详解】解：∵，是的两条切线，切点分别为A，B，
∴，．
∵，
∴为等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为．
故选A．
6．如图，是的直径，半径于点，平分，交于点，交于点，连接，，给出以下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
【答案】D
【详解】解：设的半径为，则，
，，
平分，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
∽，
，
故正确，符合题意；
，
，
，
又∽，
，
，
故错误，不符合题意；
平分，
，
，
是的直径，半径于点，
，
故正确，符合题意；
，
又是的直径，半径于点，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
故正确，符合题意；
故选：D．
7．如图，正方形的边长为，点是边上一点，连接，过点作于点，连接并延长交于点，则的最大值是____．
【答案】1
【详解】解：以为直径作圆，因为，所以点在圆上．
当与圆相切时，最大．
此时，．
设，则，，
在中，利用勾股定理可得：
，
解得．
故答案为．
8．在平面直角坐标系xOy中，以点为圆心，单位长1为半径的圆与直线相切于点M，直线与y轴交于点N，当取得最小值时，k的值为______．
【答案】或##或
【详解】∵直线与y轴交于点N，
∴，且，
∴，
∵单位长1为半径的圆与直线相切于点M，
∴，
∴，
∴当时，取得最小值，
∴点，
设直线与x轴的交点为，
∴，，，，
∴，
∴，
解得：或，
故答案为：或
9．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且平分，过点E作于点F，延长，交延长线于点G．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)6．
【详解】（1）证明：如图，连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
点E在上，
是的切线；
（2）解：过点O作于点M，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
．
10．如图，已知点D在⊙O的直径延长线上，点C为⊙O上，过D作，与的延长线相交于E，为⊙O的切线，．
(1)求证：；
(2)求的长；
(3)若的平分线与⊙O交于点F，P为的内心，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：如图，
连接，
∵是⊙O的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）（2）方法一：
∵，
∴，
∵，
∴由勾股定理可得，，
∵，
∴由勾股定理可得，，
∵，
∴，
∴解得：或（舍去），
故．
方法二：
由弦切角定理得，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴由勾股定理可得，，
∵，
∴，
解得或（舍去）,
故．
（3）如图，连接，
∵平分，
∴，
∴，
∵为直径，，
∴，
∵P为的内心，
∴
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
方法二：
如图，连接，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，，
∴，
∵P为的内心，平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
题组C 培优拔尖练
1．如图，，切⊙O于A、B两点，切于点E，交，于C，D．若的周长等于3，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】∵，切⊙O于A、B两点，切于点E，交，于C，D．
∴，，，
∵的周长为，
∴，
∴．
故选：A．
2．如图，是的直径，点、在上，点是弧的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：连接，如图所示：
是的直径，是的切线，
，
，
，
，
点是弧的中点，
，
，
，
，
故选：B．
3．如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接相交于点P，连接．已知于点E，．下列结论：①；②；③若，则；④若点P为的中点，则．其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．③④D．②④
【答案】B
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∴，
根据题意无法确定和之间的大小关系，
∴无法确定和4之间的大小关系，故①错误；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴＝，
∵，
∴＝，
∴＝＝，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴，故④正确．
故选：B．
4．如图，矩形OABC，，点M为 的内心，将矩形绕点C顺时针旋转90°，则点M的对应点坐标为（ ）
A．（，6 ）B．（6，）C．（ 1，1 ）D．（，6）
【答案】D
【详解】解：如图，在矩形OABC中，，
∴，
∴，
过点M作，垂足分别为D、E、F，∴，
∴四边形是矩形，
∵点 M 为的内心，
∴，
∴四边形BDME是正方形，
设设，则，，
∴，
解得，
∴，
设将矩形绕点 C 顺时针旋转90°后，点M的对应点为点，如图，
过点作轴于N，
∴，
∴，
又∵，，
∴（AAS），
∴，，
∴点的坐标为（，6），
故选：D．
5．如图，中，，，，点是的内心，则的长度为（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】C
【详解】根据点是的内心，画出的内切圆，如图，过点D作，，，垂足为E，F，H，连接AD，
根据内切圆的性质可知垂足E，F，H也是三边与的切点，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
6．如图，AB是半圆O的直径，点C、E是半圆上的动点（不与点A、B重合），且，射线AE，BC交于点F，M为AF中点，G为CM上一点，作，交于点N，则点C在从点A往点B运动的过程中，四边形的面积（ ）
A．先变大后变小B．先变小后变大
C．保持不变D．一直减小
【答案】A
【详解】解：如图，连接，，．
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴（SSS），
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴（ASA），
∴，
∴，
∵点C在从点A往点B运动的过程中，△OBC的面积先变大后变小，
∴四边形CGON的面积先变大后变小，
故选：A．
7．如图，的半径为，圆心，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为_____．
【答案】
【详解】连接，交于，过点作轴于点，连接，，
在中，
，
在中，，
∴，
∵，，
∴，即，
当点与点重合时，，
∴时取最小值，此时点在直线上取最小值，
∵，
∴，
∵点、点关于原点对称，
∴，即是的中点，
∴，
∴，
∴当最小时，取最小值，
∴；
故答案是：．
8．如图，矩形中，，分别与边相切，点M，N分别在上，，将四边形沿着翻折，使点B、C分别落在、处，若射线恰好与相切，切点为G，则线段的长为 __．
【答案】##
【详解】解：设与相切于点E，与相切于点H，
连接，过点N作于点F，如图，
∵分别与边相切，，
∴的直径为4，
∴．
∵为的切线，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形．
∴．
∵为的切线，
∴，，．
∵四边形沿着翻折，使点B、C分别落在、处，
∴，，，．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵四边形为直角梯形，，
∴，
设，则，，
∴，
解得：或（不合题意，舍去）．
∴．
故答案为：．
9．如图，是的切线，是的直径，与交于D，弧上一点E，使得点D成为弧的中点，连接与交于F．
(1)比较与的长度．并说明理由．
(2)当，时，求的长．
【答案】(1)，理由见解析
(2)2.8
【详解】（1）解：．
理由：连接．
∵是的切线，
∴，即．
∴．
∵是的直径，
∴．
∴．
∴．
∵D为的中点，
∴＝．
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）解：∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
由（1）知，且，
∴．
∴．
∴．
即的长为2.8．
10．如图，，，，点O为射线上一动点，以O为圆心，长为半径作，交射线于点P，交线段于点E，连接、相交于点G，与射线交于点F.
(1)在图1，若与直线相切，求弦的长；
(2)在图2，设（为锐角），，，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)如果与直线交另一点为Q，且四边形是梯形，求的半径.
【答案】(1)
(2)，
(3)
【详解】（1）∵与直线相切，
∴，即，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）过点A作于点M，连接，
虽然点O为射线上一动点，但是不变
由（1）所求数据知：，，
，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，且
∴，
∴，
∴，
∵（为锐角），
∴，即，即，
∴，
（3）连接，，设圆的半径为
由四边形是梯形，
若，且，
则，
∴，，
由（2）知，
∴，
∴，
若，且
则，
∴，
∴点G与点B或点D重合，
当G与点B重合时，点P也与点B重合，这样的圆不存在；
当G与点D重合时，由，点P不会在射线上，这样的圆也不存在；
综上所述，的半径为：
课程标准
1.理解切线长的定义；
2.理解切线长定理及圆外切四边形的性质；
3.能证明切线长定理；
4.能运用切线长定理进行有关的证明与计算.
知识精讲
知识点01 切线长定理
1．切线长：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
注意：
切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.
2．切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
注意：
切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.
知识点02 圆外切四边形
圆外切四边形
四边形的四条边都与同一个圆相切,那这个四边形叫做圆的外切四边形.
圆外切四边形性质
圆外切四边形的两组对边之和相等.
注意：
不是所有的四边形都有内切圆
能力拓展
考法01 应用切线长定理求解
【典例1】如图，分别与相切于点、过圆上点作的切线分别交于点，若，则的周长是（ ）
A．4B．8C．10D．12
【答案】D
【详解】解：∵分别与相切于点，
的切线分别交于点，，
∴，
∴的周长．
故选：D．
【即学即练】如图，分别切于点A，B，C．若的半径为的长为，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
同理，，
，
在中，，
∴．
故选C．
【典例2】如图是的切线，切点分别为P，C，D．若，则的长是（ ）
A．2.5B．3C．3.5D．2
【答案】B
【详解】解：∵是的切线，切点分别为P，C，D，，
∴，
∴，
故选B．
【即学即练】如图，的内切圆⊙O与，BC，CA分别相切于点D，E，F，，则AD的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设，
∵的内切圆⊙O与，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴，
∵，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴．
故选：D．
考法02 应用切线长定理求证
【典例3】已知：如图，为的直径，为的切线，D、B为切点，交于点E，的延长线交于点F，连接．以下结论：①；②点E为的内心；③；④．其中正确的只有（ ）
A．①②B．②③④C．①③④D．①②④
【答案】D
【详解】连接OD，DE，EB，
∵CD与BC是⊙O的切线，∴∠ODC=∠OBC=90°，OD=OB，
∵OC=OC
∴Rt△CDO≌Rt△CBO，
∴∠COD=∠COB，
∴∠COB=∠DAB=∠DOB，
∴AD∥OC，故①正确；
∵CD是⊙O的切线，
∴∠CDE=∠DOE，而∠BDE=∠BOE，
∴∠CDE=∠BDE，即DE是∠CDB的角平分线，同理可证得BE是∠CBD的平分线，
因此E为△CBD的内心，故②正确；
若FC=FE，则应有∠OCB=∠CEF，应有∠CEF=∠AEO=∠EAB=∠DBA=∠DEA，
∴弧AD=弧BE，而弧AD与弧BE不一定相等，故③不正确；
设AE、BD 交于点G，由②可知∠EBG=∠EBF，
又∵BE⊥GF，
∴FB=GB，
由切线的性质可得，点E是弧BD的中点，∠DCE=∠BCE，
又∵∠MDA=∠DCE（平行线的性质）=∠DBA，
∴∠BCE=∠GBA，
而∠CFE=∠ABF+∠FAB，∠DGE=∠ADB+∠DAG，∠DAG=∠FAB（等弧所对的圆周角相等），
∴∠AGB=∠CFE，
∴△ABG∽△CEF，
∴CE•GB=AB•CF，
又∵FB=GB，
∴CE•FB=AB•CF
故④正确．
因此正确的结论有：①②④．
故选：D．
【即学即练】如图AB、BC、CD分别与⊙O 相切于E、 F、G 三点且ABDC，则下列结论：①CG=CF；②BE=BF；③∠BOC=90°；④△BEO～△BOC～△OGC中正确的个数是（ ）
A．4B．3
C．2D．1
【答案】A
【详解】连结OF，
∵AB、BC、CD分别与⊙O 相切于E、 F、G，
又因为CG与CF为切线长，BE与BF也为切线长，
∴CG=CF，BE=BF，
∴①CG=CF，②BE=BF正确；
∵AB、BC、CD分别与⊙O 相切于E、 F、G，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，
∴∠OEB=∠OFB=∠OFC=∠OGC=90º，
∴OB平分∠EBF，OC平分∠FCG，
∴∠EBO=∠FBO,∠FCO=∠GCO，
∴△BEO≌△BFO（AAS），△FCO≌△GCO（AAS），
∴∠EOB=∠FOB，∠FOC=∠GOC，
∵∠EOB+∠FOB+∠FOC+∠GOC=180º，
∴2∠FOB+2∠FOC=180º，
∴∠FOB+∠FOC=90º，
∴∠BOC=∠FOB+∠FOC=90º，
∴③∠BOC=90°正确；；
由△OBC、△BEO、△CGO都是直角三角形，
∵∠EOB+∠EBO=90º，∠EOB+∠EBO=90º，
∴∠GOC=∠EBO=∠OBC，
△BEO∽△BOC∽△OGC，
∴④△BEO～△BOC～△OGC正确，
①CG=CF；②BE=BF；③∠BOC=90°；④△BEO～△BOC～△OGC中正确的个数有4个，
故选择：A．
【典例4】如图，已知PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，射线PO交圆O于点D、点E．下列结论不一定成立的是( )
A．点E是△BPA的内心B．AB与PD相互垂直平分
C．点A、B都在以PO为直径的圆上D．PC为△BPA的边AB上的中线
【答案】B
【详解】解：如图，作EG⊥PA于G，EH⊥PB于H，作PO的中点F，并连结FB、FA、EB、EA、OB、OA，
由切线长定理可知PA=PB，∠BPO=∠APO，
∴△BPA为等腰三角形，且PC为△BPA的边AB上的中线，D不符合题意；
由切线的性质可知△OBP、△OAP为直角三角形，
∵F为PO的中点，∴FB=FA=，
∴点A、B都在以PO为直径的圆上，C不符合题意；
在△PBE和△PAE中，，
∴△PBE≌△PAE，∴EB=EA，∴∠EBA=∠EAB，
∵PA是⊙O的切线，∴∠PAE=∠EBA，∴∠PAE=∠EAB，∴EG=EC，
∵PO平分∠BPA，∴EH=EG，
∴EH=EG=EC，∴点E是△BPA的内心，A不符合题意；
∵PC=CD不一定成立，AB与PD不一定相互垂直平分，B符合题意；
故选B．
【即学即练】如图，切于点切于点交于点，下列结论中不一定成立的是（ ）
A．B．平分
C．D．
【答案】D
【详解】解：连接OA，OB，AB，AB交PO于点G，
由切线长定理可得：∠APO＝∠BPO，PA＝PB，
又∵PG=PG，
∴△PAG≌△PBG，
从而AB⊥OP．
因此A．B．C都正确．
无法得出AB＝PA＝PB，可知：D是错误的．
综上可知：只有D是错误的．
故选：D．
考法03 圆的综合问题
【典例5】如图，是的弦，点是上的动点（不与、重合），，垂足为，点是的中点．若的半径是，则长的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：∵
∴
∵点是的中点
∴
∴当为直径时，最大；
∵的半径是；
∴
∴
故选：A．
【即学即练】如图，C为半圆弧的中点，P为弧上任意一点，，且与交于点D，连接．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】如图所示，以为斜边作等腰直角三角形，则，连接，，，
∵的直径为，C为半圆弧的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴点D的运动轨迹为以Q为圆心，为半径的圆弧，
∵，C为半圆弧的中点，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴中，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴的最小值为：
故选：A
【典例6】如图，是的直径，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．6B．C．D．
【答案】C
【详解】解：过A作关于直线的对称点，连接，，
∵关于直线对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
过O作于Q，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的最小值．
故选：C．
【即学即练】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（ ）
A．7B．5C．D．
【答案】B
【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．
答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．
∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，
∴PC2＝CM•CA，
∴，
∵∠PCM＝∠ACP，
∴△PCM∽△ACP，
∴，
∴PMPA，
∴AP+BP＝PM+PB，
∵PM+PB≥BM，
在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，
∴BM5，
∴AP+BP≥5，
∴AP+BP的最小值为5．
故选：B．
分层提分
题组A 基础过关练
1．平面内，⊙的半径为，点到圆心的距离为，过点可作⊙的切线条数（ ）
A．条B．条C．条D．无数条
【答案】A
【详解】⊙的半径为，点到圆心的距离为，
,
点与⊙的位置关系是：点在⊙的内部，
过点可以作⊙的条切线．
故选：A．
2．如图，已知、分别切于、，切于，，，则周长为（ ）
A．20B．22C．24D．26
【答案】C
【详解】、分别切于、，
，，
，
、分别切于、，切于，
，，
，
故选：C．
3．如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵、、是的切线，
∴AP=AC，BP=BD，
∵，，
∴AP=3，
∴BD=BP=AB-AP=2．
故选：B
4．如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，的周长为14，则的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【详解】解：与，，分别相切于点，，
，，，
的周长为14，
故选：．
5．如图，是的切线，切点分别为P、C、D，若，，则BD的长是（ ）
A．2.5B．2C．1.5D．1
【答案】B
【详解】解：∵为的切线，
∴，
∵为的切线，
∴，
∵，，
∴．
故选：B．
6．如图，⊙O是的内切圆，D，E，F分别为切点，且．已知，，则四边形OFCE的面积为（ ）
A．1B．15C．D．4
【答案】D
【详解】解：如图，连接，设半径为，则，，，，
∵，，，
∴,
∴，，
∴，
∴，
∵，分别为切点，且，，
∴四边形是正方形，
∴四边形的面积为．
故选：D．
7．如图，，是的切线，切点分别为，．若，，则的长为________．
【答案】
【详解】解：∵，分别为的切线，
∴，，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
8．如图，P为 外一点， 分别切 于点 ， 切 于点 ，分别交 于点 ，若 ，则 的周长为 __．
【答案】
【详解】解： 分别切 于点 ， 切 于点 ，，
， ， ，
的周长
，
故答案为： ．
9．如图，中，，点在边上，以为直径作交的延长线于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵交的延长线于点，
∴点，在圆上，
∴，且是圆的半径，
∴，
∵，
∴，
∵中，，
∴在中，，
∴，即，且点在圆上，
∴是的切线．
（2）解：在中，，，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知，设圆的半径为，
∴，且，
∴，即，解得，，
故的半径为．
10．如图，与相切于点C，经过上的点D，交于点，，是的直径．
(1)求证：是的切线；
(2)当，时，求的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【详解】（1）证明：连接，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵与相切，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵是的切线，与相切，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
即的半径长为3．
题组B 能力提升练
1．已知的内切圆的半径为，且，的周长为16，则的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【详解】解：根据题意，作出图形，过点作，，，连接，如下图：
由切线长定理可得：，，，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
在中，，，
∴，
由勾股定理可得：，
的周长为16，可得：
解得，
故选：C．
2．圆O内切于三角形，在斜边上的切点为D，，，则内切圆的半径为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【详解】解：由题意得，是直角三角形，且，设内切圆与三边分别切于点D，E，F，连接，，如图，
∵是的内切圆，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴矩形为正方形；
设的半径为r，
∵四边形为正方形，
∴，
∵是的内切圆，
∴，，
∴，，，
在中，，
∴，
解得：（舍去），
∴的半径为2；
故选：A．
3．如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】B
【详解】解：∵，是的切线，切点分别是，，
∴，
∵、是的切线，切点是D，交，于点，，
∴，，
∵的周长为4，即，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
4．若直角三角形中两直角边之比是，则称直角三角形为完美三角形．如图，C是上半圆上一点，将沿着BC折叠，与直径AB交于圆心O右侧一点D，若是完美三角形，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：如图，作交于，连接，
∵弧是由部分沿折叠得到的，且，
∴，
又∵，
∴，
∵是完美三角形，
∴，，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
5．如图，的半径为2，，是的两条切线，切点分别为A，B．连接，，，，若，则的周长为（ ）
A．B．C．6D．3
【答案】A
【详解】解：∵，是的两条切线，切点分别为A，B，
∴，．
∵，
∴为等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为．
故选A．
6．如图，是的直径，半径于点，平分，交于点，交于点，连接，，给出以下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
【答案】D
【详解】解：设的半径为，则，
，，
平分，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
∽，
，
故正确，符合题意；
，
，
，
又∽，
，
，
故错误，不符合题意；
平分，
，
，
是的直径，半径于点，
，
故正确，符合题意；
，
又是的直径，半径于点，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
故正确，符合题意；
故选：D．
7．如图，正方形的边长为，点是边上一点，连接，过点作于点，连接并延长交于点，则的最大值是____．
【答案】1
【详解】解：以为直径作圆，因为，所以点在圆上．
当与圆相切时，最大．
此时，．
设，则，，
在中，利用勾股定理可得：
，
解得．
故答案为．
8．在平面直角坐标系xOy中，以点为圆心，单位长1为半径的圆与直线相切于点M，直线与y轴交于点N，当取得最小值时，k的值为______．
【答案】或##或
【详解】∵直线与y轴交于点N，
∴，且，
∴，
∵单位长1为半径的圆与直线相切于点M，
∴，
∴，
∴当时，取得最小值，
∴点，
设直线与x轴的交点为，
∴，，，，
∴，
∴，
解得：或，
故答案为：或
9．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且平分，过点E作于点F，延长，交延长线于点G．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)6．
【详解】（1）证明：如图，连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
点E在上，
是的切线；
（2）解：过点O作于点M，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
．
10．如图，已知点D在⊙O的直径延长线上，点C为⊙O上，过D作，与的延长线相交于E，为⊙O的切线，．
(1)求证：；
(2)求的长；
(3)若的平分线与⊙O交于点F，P为的内心，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：如图，
连接，
∵是⊙O的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）（2）方法一：
∵，
∴，
∵，
∴由勾股定理可得，，
∵，
∴由勾股定理可得，，
∵，
∴，
∴解得：或（舍去），
故．
方法二：
由弦切角定理得，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴由勾股定理可得，，
∵，
∴，
解得或（舍去）,
故．
（3）如图，连接，
∵平分，
∴，
∴，
∵为直径，，
∴，
∵P为的内心，
∴
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
方法二：
如图，连接，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，，
∴，
∵P为的内心，平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
题组C 培优拔尖练
1．如图，，切⊙O于A、B两点，切于点E，交，于C，D．若的周长等于3，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】∵，切⊙O于A、B两点，切于点E，交，于C，D．
∴，，，
∵的周长为，
∴，
∴．
故选：A．
2．如图，是的直径，点、在上，点是弧的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：连接，如图所示：
是的直径，是的切线，
，
，
，
，
点是弧的中点，
，
，
，
，
故选：B．
3．如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接相交于点P，连接．已知于点E，．下列结论：①；②；③若，则；④若点P为的中点，则．其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．③④D．②④
【答案】B
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∴，
根据题意无法确定和之间的大小关系，
∴无法确定和4之间的大小关系，故①错误；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴＝，
∵，
∴＝，
∴＝＝，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴，故④正确．
故选：B．
4．如图，矩形OABC，，点M为 的内心，将矩形绕点C顺时针旋转90°，则点M的对应点坐标为（ ）
A．（，6 ）B．（6，）C．（ 1，1 ）D．（，6）
【答案】D
【详解】解：如图，在矩形OABC中，，
∴，
∴，
过点M作，垂足分别为D、E、F，∴，
∴四边形是矩形，
∵点 M 为的内心，
∴，
∴四边形BDME是正方形，
设设，则，，
∴，
解得，
∴，
设将矩形绕点 C 顺时针旋转90°后，点M的对应点为点，如图，
过点作轴于N，
∴，
∴，
又∵，，
∴（AAS），
∴，，
∴点的坐标为（，6），
故选：D．
5．如图，中，，，，点是的内心，则的长度为（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】C
【详解】根据点是的内心，画出的内切圆，如图，过点D作，，，垂足为E，F，H，连接AD，
根据内切圆的性质可知垂足E，F，H也是三边与的切点，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
6．如图，AB是半圆O的直径，点C、E是半圆上的动点（不与点A、B重合），且，射线AE，BC交于点F，M为AF中点，G为CM上一点，作，交于点N，则点C在从点A往点B运动的过程中，四边形的面积（ ）
A．先变大后变小B．先变小后变大
C．保持不变D．一直减小
【答案】A
【详解】解：如图，连接，，．
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴（SSS），
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴（ASA），
∴，
∴，
∵点C在从点A往点B运动的过程中，△OBC的面积先变大后变小，
∴四边形CGON的面积先变大后变小，
故选：A．
7．如图，的半径为，圆心，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为_____．
【答案】
【详解】连接，交于，过点作轴于点，连接，，
在中，
，
在中，，
∴，
∵，，
∴，即，
当点与点重合时，，
∴时取最小值，此时点在直线上取最小值，
∵，
∴，
∵点、点关于原点对称，
∴，即是的中点，
∴，
∴，
∴当最小时，取最小值，
∴；
故答案是：．
8．如图，矩形中，，分别与边相切，点M，N分别在上，，将四边形沿着翻折，使点B、C分别落在、处，若射线恰好与相切，切点为G，则线段的长为 __．
【答案】##
【详解】解：设与相切于点E，与相切于点H，
连接，过点N作于点F，如图，
∵分别与边相切，，
∴的直径为4，
∴．
∵为的切线，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形．
∴．
∵为的切线，
∴，，．
∵四边形沿着翻折，使点B、C分别落在、处，
∴，，，．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵四边形为直角梯形，，
∴，
设，则，，
∴，
解得：或（不合题意，舍去）．
∴．
故答案为：．
9．如图，是的切线，是的直径，与交于D，弧上一点E，使得点D成为弧的中点，连接与交于F．
(1)比较与的长度．并说明理由．
(2)当，时，求的长．
【答案】(1)，理由见解析
(2)2.8
【详解】（1）解：．
理由：连接．
∵是的切线，
∴，即．
∴．
∵是的直径，
∴．
∴．
∴．
∵D为的中点，
∴＝．
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）解：∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
由（1）知，且，
∴．
∴．
∴．
即的长为2.8．
10．如图，，，，点O为射线上一动点，以O为圆心，长为半径作，交射线于点P，交线段于点E，连接、相交于点G，与射线交于点F.
(1)在图1，若与直线相切，求弦的长；
(2)在图2，设（为锐角），，，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)如果与直线交另一点为Q，且四边形是梯形，求的半径.
【答案】(1)
(2)，
(3)
【详解】（1）∵与直线相切，
∴，即，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）过点A作于点M，连接，
虽然点O为射线上一动点，但是不变
由（1）所求数据知：，，
，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，且
∴，
∴，
∴，
∵（为锐角），
∴，即，即，
∴，
（3）连接，，设圆的半径为
由四边形是梯形，
若，且，
则，
∴，，
由（2）知，
∴，
∴，
若，且
则，
∴，
∴点G与点B或点D重合，
当G与点B重合时，点P也与点B重合，这样的圆不存在；
当G与点D重合时，由，点P不会在射线上，这样的圆也不存在；
综上所述，的半径为：
课程标准
1.理解切线长的定义；
2.理解切线长定理及圆外切四边形的性质；
3.能证明切线长定理；
4.能运用切线长定理进行有关的证明与计算.
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