初中数学苏科版九年级下册6.4 探索三角形相似的条件优秀练习题

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两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
如图： l1∥l2∥l3，直线a、b分别与l1、l2、l3交于点A、B、C和点D、E、F、，则有：

1.；
2.；
3..
当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广.
例：如图，△ABC中，D、E分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上，下面比例式中，不一定能判断ED∥BC的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】B
【解析】A、∵，∴，
而∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE，∴∠B＝∠D，∴BC∥DE，所以A选项的结论正确；
B、∵，而∠BAC＝∠DAE，
∴不能判断△ABC与△ADE相似，不能得到∠B＝∠D，
∴不能判断BC∥DE，所以B选项的结论不正确；
C、∵，而∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE，∴∠B＝∠D，∴BC∥DE，所以C选项的结论正确；
D、∵，而∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE，∴∠B＝∠D，∴BC∥DE，所以D选项的结论正确．
故选B．
知识点二、由平行判定三角形相似
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，如图所示：
例：如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AD、BC上，且EF∥CD，G为边AD延长线上一点，连接BG，则图中与△ABG相似的三角形有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【解答】D
【解析】如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，AD∥BC，
∴△DGM∽△AGB，△DGM∽△CBM，
∵EF∥CD，
∴△DGM∽△EGN，△CBM∽△FBN，
∴△DGM∽△AGB∽△FBN∽△CBM∽△EGN．
故选D．
知识点三、由两角关系判定三角形相似
两角分别相等的两个三角形相似，如图所示：
例：如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AC上，且AD平分∠BAC，若∠ABE＝∠C，BE与AD相交于点F．则图中相似三角形的对数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】B
【解析】①在△ABE与△ACB中，∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAB，则△ABE～△ACB；
②∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2．
∵∠1＝∠2，∠ABF＝∠C，
∴△ABF∽△ACD；
综合①②知，共有2对相似三角形，
故选B．
知识点四、由两边及夹角的关系判定两三角形相似
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，如图所示：
例：如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A．AC2＝AD•ABB．BC2＝BD•ABC．∠ACD＝∠BD．∠ADC＝∠ACB
【解答】B
【解析】A、∵AC2＝AD•AB，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、∵BC2＝BD•AB，
∴，
添加∠A＝∠A，不能推出△ACD∽△ABC，故本选项符合题意；
C、∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；
D、∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；
故选B．
知识点五、由三边关系判定两个三角形相似
三边成比例的两个三角形相似，如图所示：
例：如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，不一定能使△ADE与△ABC相似的条件是（ ）
A．∠AED＝∠BB．∠ADE＝∠CC．D．
【解答】C
【解析】由题意得，∠A＝∠A，
A、当∠ADE＝∠B时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；
B、当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；
C、当时，不能推断△ADE与△ABC相似；故选项符合题意；
D、当时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意．
故选C．
巩固练习
一．选择题
1．如图．在△ABC中，DE∥BC，∠B＝∠ACD，则图中相似三角形有（ ）
A．2对B．3对C．4对D．5对
【解答】C
【解析】∵∠B＝∠ACD，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ACD∽△ADE，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB，
∵∠B＝∠DCE，
∴△CDE∽△BCD，
故共4对，
故选C．
2．如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（ ）
A．△BFEB．△BDCC．△BDAD．△AFD
【解答】C
【解析】∵△ABC与△BDE都是等边三角形，
∴∠A＝∠BDF＝60°，
∵∠ABD＝∠DBF，
∴△BFD∽△BDA，
∴与△BFD相似的三角形是△BDA，
故选C．
3．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE，则图中与△ACE全等或相似的三角形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】C
【解析】∵将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，
∴CE＝CB，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△ACE和△BCD中，
AC=BC∠ACE=∠BCDCE=CD，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
∴∠CAE＝∠B＝∠CEF＝45°，
∵∠ACE＝∠ECF，
∴△ACE∽△ECF；
∵∠FAD＝∠FEC＝45°，∠AFD＝∠EFC，
∴∠ADF＝∠ACE，
∵∠DAF＝∠CAE＝45°，
∴△ACE∽△ADF，
综上，图中与△ACE全等或相似的三角形有3个．
故选C．
4．如图，在△ABC中，∠B＝70°，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿图示中的虚线DE剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】C
【解析】A、剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意；
B、剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，符合题意．
D、可得∠BDE＝∠ACB，∠B＝∠B，剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意．
故选C．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（ ）
A．2411sB．95sC．2411s或95sD．以上均不对
【解答】C
【解析】设运动时间为t秒．
BP＝t，CQ＝2t，BQ＝BC﹣CQ＝6﹣2t，
当△BAC∽△BPQ，BPAB=BQBC，
即t8=6-2t6，
解得t=2411；
当△BCA∽△BPQ，BPBC=BQAB，
即t6=6-2t8，
解得t=95，
综上所述，当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为2411s或95s，
故选C．
6．已知△ABC是正三角形，点D是边AC上一动点（不与A、C重合），以BD为边作正△BDE，边DE与边AB交于点F，则图中一定相似的三角形有（ ）对．
A．6B．5C．4D．3
【解答】B
【解析】图中的相似三角形是△ABC∽△EDB，△BDC∽△BFE，△BFE∽△DFA，△BDC∽△DFA，△BDF∽△BAD．
理由：∵△ABC和△BDE是正三角形，
∴∠A＝∠C＝∠ABC＝60°，∠E＝∠BDE＝∠EBD＝60°，
∴△ABC∽△EDB，
可得∠EBF＝∠DBC，∠E＝∠C，
∴△BDC∽△BFE，
∴∠BDC＝∠BFE＝∠AFD，
∴△BDC∽△DFA，
∴△BFE∽△DFA，
∵∠DBF＝∠ABD，∠BDF＝∠BAD，
∴△BDF∽△BAD．
故选B．
7．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论正确的有（ ）
①∠BAE＝30°；②CE2＝AB•CF；③CF=53CD；④△ABE∽△AEF．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】B
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△BAE∽△CEF，
∴ABBE=CECF，
∵BE＝CE，
∴CE2＝AB•CF．
∵AB＝2CE，
∴CF=12CE=14CD，
故②正确，③错误，
∴BEAB=12，
∴∠BAE≠30°，故①错误；
设CF＝a，则BE＝CE＝2a，AB＝CD＝AD＝4a，DF＝3a，
∴AE＝25a，EF=5a，AF＝5a，
∴AEAF=25a5a=255，BEEF=2a5a=255．
∴AEAF=BEEF，
∵∠ABE＝∠AEF＝90°，
∴△ABE∽△AEF，故④正确．
故选B．
8．如图，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝3，BC＝4，DC＝6，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【解答】A
【解析】∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°．
∵AD∥BC
∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，
∴∠PAD＝∠PBC＝90°．
设AP的长为x，则BP长为7﹣x．
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则AP：BP＝AD：BC，
即x：（6﹣x）＝3：4，
解得：x=187
②若△APD∽△BCP，则AP：BC＝AD：BP，
即x：4＝3：（6﹣x），
整理得：x2﹣6x+12＝0，
∵△＜0，
这种情形不存在，
∴满足条件的点P的个数是1个，
故选A．
9．坐标平面上横、纵坐标都为整数的点叫做整点．已知A（2，0），点B（3，1），O为坐标原点，在第一象限内取一整点C，使O，B，C三点所构成的三角形与△AOB相似．那么C点不同的位置一共有（ ）
A．1处B．2处C．3处D．4处
【解答】C
【解析】∵A（2，0），点B（3，1），
∴AB=2，OA＝2，OB=10，
当点C为（4，3）时，
BC=5，OB=10，OC＝5，
∴ABBC=OAOB=OBOC=105，
∴△AOB∽△BOC．
当点C'为（1，1）时，
则OC'＝AB=2，OB＝OB=10，BC'＝OA＝2，
∴△AOB≌△C′BO（SSS），
∴△AOB∽△C'BO，
当点C″为（5，5）时，
则OC″＝52，OB=10，BC″＝25，
∵ABOB=OABC″=OBOC″=55，
∴△AOB∽△BC″O，
综上所述：当点C为（4，3）或（1，1）或（5，5）时，以O，B，C三点所构成的三角形与△AOB相似，
故选C．
10．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，如下结论：①BE=22GE；②△AGE≌△ECF；⑧∠FCD＝45°；④△GBE∽△ECH，其中，正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】C
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DCB＝90°，AB＝BC，
∵AG＝CE，
∴BG＝BE，
由勾股定理得：BE=22GE，∴①正确；
∵BG＝BE，∠B＝90°，
∴∠BGE＝∠BEG＝45°，
∴∠AGE＝135°，
∴∠GAE+∠AEG＝45°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∵∠BEG＝45°，
∴∠AEG+∠FEC＝45°，
∴∠GAE＝∠FEC，
在△GAE和△CEF中
AG=CE∠GAE=∠CEFAE=EF
∴△AGE≌△ECF，∴②正确；
∴∠AGE＝∠ECF＝135°，
∴∠FCD＝135°﹣90°＝45°，∴③正确；
∵∠BGE＝∠BEG＝45°，∠AEG+∠FEC＝45°，
∴∠FEC＜45°，
∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；
即正确的有3个．
故选C．
11．如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，对于下列结论：①AC＝FG；②四边形CBFG是矩形；③△ACD∽△FEQ．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②C．①③D．②③
【解答】A
【解析】①∵四边形ADEF为正方形，
∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，
∴∠CAD+∠FAG＝90°，
∵FG⊥CA，
∴∠GAF+∠AFG＝90°，
∴∠CAD＝∠AFG，
在△FGA和△ACD中，∠G=∠C∠AFG=∠CADAF=AD，
∴△FGA≌△ACD（AAS），
∴AC＝FG．
故正确；
②∵BC＝AC，
∴FG＝BC，
∵∠ACB＝90°，FG⊥CA，
∴FG∥BC，
∴四边形CBFG是矩形．
故正确；
③∵∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，∠E＝∠C＝90°，
∴△ACD∽△FEQ．
故正确．
综上所述，正确的结论是①②③．
故选A．
二．填空题
12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝4，D为BC的中点，E为AB上的动点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜12），连接DE，当△BDE与△ABC相似时，t的值为 ．
【解答】4或7或9．
【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝8，
∵D为BC中点，
∴BD＝2，
∵0≤t＜12，
∴E点的运动路线为从A到B，再从B到AB的中点，
按运动时间分为0≤t≤8和8＜t＜12两种情况，
①当0≤t≤8时，AE＝t，BE＝BC﹣AE＝8﹣t，
当∠EDB＝90°时，则有AC∥ED，
∴△BDE∽△BCA，
∵D为BC中点，
∴E为AB中点，
此时AE＝4，可得t＝4；
当∠DEB＝90°时，
∵∠DEB＝∠C，∠B＝∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴BEBC=BDAB，
即8-t4=28，
解得t＝7；
②当8＜t＜12时，则此时E点又经过t＝7秒时的位置，此时t＝8+1＝9；
综上可知t的值为4或7或9，
故答案为4或7或9．
13．如图，点P是边长为5的正方形ABCD内一点，且PB＝2，PB⊥BF，垂足为点B，请在射线BF上找一点M，使得以B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM＝ ．
【解答】2或252
【解析】∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝90°，BA＝BC，
∵PB⊥BF，
∴∠PBM＝90°，
∵∠ABP+∠CBP＝90°，∠CBP+∠CBM＝90°，
∴∠ABP＝∠CBM，
∴当BABC=BPBM时，△BAP∽△BCM，即55=2BM，解得BM＝2；
当BABM=BPBA时，△BAP∽△BMC，即5BM=25，解得BM=252，
综上所述，当BM为2或252时，以B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似．
故答案为2或252．
14．已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，要使△AEF与△ABC相似，则需要增加的一个条件是 ．（写出一个即可）
【解答】EF∥BC或∠AFE＝∠B或∠AEF＝∠C
【解析】要使△AEF与△ABC相似，
需要增加的一个条件是EF∥BC，
或者∠AFE＝∠B．
故答案为EF∥BC或∠AFE＝∠B或∠AEF＝∠C．
15．如图，∠B＝∠D，请你添加一个条件，使得△ABC∽△ADE，这个条件可以是 ．
【解答】∠C＝∠E或∠BAC＝∠DAE或∠BAD＝∠CAE或ABAD=BCDE
【解析】∵∠B＝∠D，
∴添加∠C＝∠E或∠BAC＝∠DAE或∠BAD＝∠CAE或ABAD=BCDE，可证△ABC∽△ADE．
故答案为∠C＝∠E或∠BAC＝∠DAE或∠BAD＝∠CAE或ABAD=BCDE．
16．如图，在△ABC和△APQ中，∠PAB＝∠QAC，若再增加一个条件就能使△APQ∽△ABC，则这个条件可以是 ．
【解答】∠P＝∠B或∠Q＝∠C或PAAB=AQAC
【解析】∵∠PAB＝∠QAC，
∴∠PAQ＝∠BAC，
若∠P＝∠B，则△APQ∽△ABC，
若∠Q＝∠C，则△APQ∽△ABC，
若PAAB=AQAC，则△APQ∽△ABC，
故答案为∠P＝∠B或∠Q＝∠C或PAAB=AQAC．
17．如图，点P是△ABC中AB边上的⼀点，请你添加⼀个条件使△ACP∽△ABC： ．
【解答】∠ACP＝∠B（或APAC=ACAB）．
【解析】∵∠PAC＝∠CAB，
∴当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC；
当APAC=ACAB时，△ACP∽△ABC．
故答案为∠ACP＝∠B（或APAC=ACAB）．
18．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点G，AF的中点为H，连接BG、DH．给出下列结论：
①AF⊥DE；②DG=85；③HD∥BG；④△ABG∽△DHF．
其中正确的结论有 ．（请填上所有正确结论的序号）
【解答】①④
【解析】∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，
∵E和F分别为BC和CD中点，
∴DF＝EC＝2，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠AFD＝∠DEC，∠FAD＝∠EDC，
∵∠EDC+∠DEC＝90°，
∴∠EDC+∠AFD＝90°，
∴∠DGF＝90°，即DE⊥AF，故①正确；
∵AD＝4，DF=12CD＝2，
∴AF=42+22=25，
∴DG＝AD×DF÷AF=455，故②错误；
∵H为AF中点，
∴HD＝HF=12AF=5，
∴∠HDF＝∠HFD，
∵AB∥DC，
∴∠HDF＝∠HFD＝∠BAG，
∵AG=AD2-DG2=855，AB＝4，
∴ABDH=ABHF=455=AGDF，
∴△ABG～△DHF，故④正确；
∴∠ABG＝∠DHF，而AB≠AG，
则∠ABG和∠AGB不相等，
故∠AGB≠∠DHF，
故HD与BG不平行，故③错误；
故答案为①④．
19．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△A1B1C1，当C，B1，C1三点共线时，旋转角为α，连接BB1，交于AC于点D，下面结论：
①△AC1C为等腰三角形；②CA＝CB1；③α＝135°；④△AB1D∽△ACB1；⑤ABB1C=6-22中，正确的结论的序号为 ．
【解答】①②④⑤
【解析】由旋转的性质可知AC1＝AC，
∴△AC1C为等腰三角形，即①正确；
∵∠ACB＝30°，
∴∠C1＝∠ACB1＝30°，
又∵B1AC1＝∠BAC＝45°，
∴∠AB1C＝75°，
∴∠CAB1＝180°﹣75°﹣30°＝75°，
∴CA＝CB1；
∴②正确；
∵∠CAC1＝∠CAB1+∠B1AC1＝120°，
∴旋转角α＝120°，故③错误；
∵∠BAC＝45°，
∴∠BAB1＝45°+75°＝120°，
∵AB＝AB1，
∴∠AB1B＝∠ABD＝30°，
在△AB1D与△BCD中，
∵∠ABD＝∠ACB1，∠AB1D＝∠BCD＝30°，
∴△AB1D∽△ACB1，即④正确；
在△ABD与△B1CD中，
∵∠ABD＝∠ACB1，∠ADB＝∠CDB1，
∴△ABD∽△B1CD，
∴ABB1C=ADB1D，
如图，过点D作DM⊥B1C，
设DM＝x，则B1M＝x，B1D=2x，DC＝2x，DC＝2x，CM=3x，
∴AC＝B1C＝（3+1）x，
∴AD＝AC﹣CD＝（3-1）x，
∴ABB1C=ADB1D=(3-1)x2x=6-22，即⑤正确．
故答案为①②④⑤．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，点E，F分别在边BC，AC上，沿EF所在的直线折叠∠C，使点C的对应点D恰好落在边AB上，若△EFC和△ABC相似，则BD的长为 ．
【解答】165或52
【解析】在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC=AB2-BC2=52-42=3，
若△CEF与△ABC相似，分两种情况：
①若CF：CE＝3：4，
∵AC：BC＝3：4，
∴CF：CE＝AC：BC，
∴EF∥AB．
连接CD，如图1所示：
由折叠性质可知，CD⊥EF，
∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴csB=BCAB=45，
∴BD＝BC•csB＝4×45=165；
②若CE：CF＝3：4，
∵AC：BC＝3：4，∠C＝∠C，
∴△CEF∽△CBA，
∴∠CEF＝∠A．
连接CD，如图2所示：
由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD＝90°，
又∵∠A+∠B＝90°，
∴∠B＝∠ECD，
∴BD＝CD．
同理可得：∠A＝∠FCD，AD＝CD，
∴D点为AB的中点，
∴BD=12AB=52，
故答案为165或52．
21．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC边的中点，点P是线段AD上的动点，过P作PF⊥AE于F，当以点P、F、E为顶点的三角形与△ABE相似时，AP的长为 ．
【解答】3或256
【解析】分两种情况：
①若△EFP∽△ABE，如图1，则∠PEF＝∠EAB，
∴PE∥AB，
∴四边形ABEP为矩形，
∴PA＝EB＝3，
②若△PFE∽△ABE，如图2中，则∠PEF＝∠AEB，
∵AD∥BC
∴∠PAF＝∠AEB，
∴∠PEF＝∠PAF
∴PE＝PA．
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点，
Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3，
∴AE＝5，
∴EF=12AE=52，
∵△PFE∽△ABE，
∴PEAE=EFBE，
∴PE=256，PA=256．
∴满足条件的PA的值为3或256．
故答案为3或256．
22．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝5cm，AD＝3cm，BC＝2cm，P是AB上一点，若以P、A、D为顶点的三角形与△PBC相似，则PA＝ cm．
【解答】2或3
【解析】设AP＝xcm．则BP＝AB﹣AP＝（5﹣x）cm
以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，
①当AD：PB＝PA：BC时，
35-x=x2，
解得x＝2或3．
②当AD：BC＝PA：PB时，32=x5-x，解得x＝3，
∴当A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，AP的值为2或3．
故答案为2或3．
23．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，直线DE垂直平分BF，垂足为D．当△ACF是直角三角形时，BD的长为 ．
【解答】2或78
【解析】（1）当∠AFC＝90°时，AF⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BF=12BC∴BF＝4
∵DE垂直平分BF，
∵BC＝8
∴BD=12BF＝2．
（2）当∠CAF＝90°时，过点A作AM⊥BC于点M，
∵AB＝AC
∴BM＝CM
在Rt△AMC与Rt△FAC中，∠AMC＝∠FAC＝90°，∠C＝∠C，
∴△AMC∽△FAC，
∴ACFC=MCAC
∴FC=AC2MC
∵AC＝5，MC=12BC＝4
∴FC=254
∴BF＝BC﹣FC＝8-254=74
∴BD=12BF=78
故答案为2或78．
三．解答题
24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时△PCQ的面积为8cm2？
（2）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
【解答】（1）2s或4s；（2）当t=125秒或t=1811秒时，以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似
【解析】（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2．
由题意得，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝2xcm，
则12（6﹣x）•2x＝8，
整理得x2﹣6x+8＝0，
解得x1＝2，x2＝4．
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2．
（2）设t秒后以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm．
当△PCQ∽△ACB时，PCAC=QCBC，即6-t6=2t8，
解得：t=125．
当△PCQ∽△BCA时，PCBC=QCAC，即6-t8=2t6，
解得：t=1811．
综上所述，当t=125秒或t=1811秒时，以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
25．在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，D是线段AB上一点，且DB＝4，过点D作DE与线段AC相交于点E，使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，求DE的长．请根据下列两位同学的交流回答问题：
（1）写出正确的比例式及后续解答；
（2）指出另一个错误，并给予正确解答．
【解答】见解析
【解析】解（1）DEBC=ADAB，
∴DE=AD⋅BCAB=2×56=53．
（2）另一个错在没有进行分类讨论，如图，过点D作∠ADE＝∠ACB，
则△ADE∽△ACB，
∴DECB=ADAC，
∴DE=AD⋅CBAC=2×54=52．
综合以上可得，DE=53或52．
26．如图，一块直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的BC边上，并且使一条直角边经过点D，另一条直角边与AB交于点Q．请写出一对相似三角形，并加以证明．（图中不添加字母和线段）
【解答】见解析
【解析】△BPQ∽△CDP，
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠QPD＝90°，
∴∠QPB+∠BQP＝90°，
∠QPB+∠DPC＝90°，
∴∠DPC＝∠PQB，
∴△BPQ∽△CDP．
27．在△ABC中，AD、CE分别是△ABC的两条高，且AD、CE相交于点O，试找出图中相似的三角形，并选出一组给出证明过程．
【解答】△ABD∽△CBE，△ODC∽△BEC，△OEA∽△BDA，△ODC∽△OEA．证明过程见解答．
【解析】图中相似的三角形有：△ABD∽△CBE，△ODC∽△BEC，△OEA∽△BDA，△ODC∽△OEA．
∵AD、CE分别是△ABC的两条高，
∴∠ADB＝∠CDA＝∠CEB＝∠AEC＝90°，
∴∠B+∠BCE＝90°，∠B+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠BCE，
∵∠EBC＝∠ABD，
∴△ABD∽CBE．
28．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从点A出发到点B止，动点E从点C出发到点A止．点D运动速度为1cm/s，点E运动速度为2cm/s．如果两个点同时运动，多长时间△ADE与△ABC相似？
【解答】3秒或4.8秒
【解析】如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t．
①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC．
∴AD：AB＝AE：AC，
∴t：6＝（12﹣2t）：12，
∴t＝3；
②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB．
∴AD：AC＝AE：AB，
∴t：12＝（12﹣2t）：6，
∴t＝4.8．
所以当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．
29．如图，已知AD•AC＝AB•AE，∠DAE＝∠BAC．求证：△DAB∽△EAC．
【解答】见解析
【解析】证明：∵AD•AC＝AB•AE，
∴ADAE=ABAC，
∵∠DAE＝∠BAC．
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△DAB∽△EAC．
30．如图，在平面直角坐标系中，点B（12，10），过点B作x轴的垂线，垂足为A．作y轴的垂线，垂足为C点D从O出发，沿y轴正方向以每秒1个单位长度运动；点E从O出发，沿x轴正方向以每秒3个单位长度运动；点F从B出发，沿BA方向以每秒2个单位长度运动．当E点运动到点A时，三点随之停止运动．设运动时间为t．
（1）用含t的代数式分别表示点E，点F的坐标．
（2）若△ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似，求t的值．
【解答】（1）点E的坐标为（3t，0），点F的坐标为（12，10﹣2t）；（2）267．
【解析】（1）由题可得OE＝3t，OD＝t，BF＝2t．
∵BA⊥x轴，BC⊥y轴，∠AOC＝90°，
∴∠AOC＝∠BAO＝∠BCO＝90°，
∴四边形OABC是矩形，
∴AB＝OC，BC＝OA．
∵B（12，10），
∴BC＝OA＝12，AB＝OC＝10，
∴AF＝10﹣2t，AE＝12﹣3t，
∴点E的坐标为（3t，0），点F的坐标为（12，10﹣2t）；
（2）①当△ODE∽△AEF时，
则有ODAE=OEAF，
∴t12-3t=3t10-2t，
解得t1＝0（舍），t2=267；
②当△ODE∽△AFE时，
则有ODAF=OEAE，
∴t10-2t=3t12-3t，
解得t1＝0（舍），t2＝6．
∵点E运动到点A时，三点随之停止运动，
∴3t≤12，
∴t≤4．
∵6＞4，
∴t＝6舍去，
综上所述：t的值为267．