初中数学苏科版九年级下册6.7用相似三角形解决问题优秀复习练习题

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1.在平行光照射下，物体所产生的影子称为平行投影.（物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线）
2.太阳光可以看成是平行光.
3.在平行光的照射下，相同的时刻，相近的位置的不同物体的物高与影长成比例.
如：.
利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等，利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.
例：如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（ ）
A．17.5mB．17mC．16.5mD．18m
【解答】A
【解析】∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴，
∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝12.8m，
∴AC＝AB+BC＝14m，
∴，
解得，DC＝17.5，
即建筑物CD的高是17.5m，
故选A．
知识点二、中心投影
1.在点光源的照射下，物体所产生的影子称为中心投影，这个“点”就是中心.
2.路灯、台灯、手电筒的光线可以看成是一个点发出的，看以看作是点光源.
3.在点光源的照射下，不同物体的物高与影长不成比例，同一物体离点光源越近，影子越短；离点光源越远，影子越长.
4.等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长.
5.等长的物体平行于地面放置时，一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.
6.在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.
7.光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.
例：如图是圆桌正上方的灯泡（看做一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m．若灯泡距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为（ ）
A．0.36πm2B．0.81πm2C．2πm2D．3.24πm2
【解答】B
【解析】构造几何模型如图：
依题意知DE＝1.2米，FG＝1米，AG＝3米，
由△DAE∽△BAC得，即，
得BC＝1.8，
故S圆＝（BC）2•π＝（）2•π＝0.81π，
故选B．
巩固练习
一．选择题
1．一个三角形木架三边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm和120cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（ ）
A．一种B．两种C．三种D．四种
【解答】B
【解析】长120cm的木条与三角形木架的最长边相等，要满足两边之和大于第三边，则长120cm的木条不能作为一边，
设从120cm的木条上截下两段长分别为xcm，ycm（x+y≤120），
由于长60cm的木条不能与75cm的一边对应，否则x+y＞120cm，
当长60cm的木条与100cm的一边对应，则x75=y120=60100，
解得：x＝45，y＝72；
当长60cm的木条与120cm的一边对应，则x75=y100=60120，
解得：x＝37.5，y＝50．
∴有两种不同的截法：把120cm的木条截成45cm、72cm两段或把120cm的木条截成37.5cm、50cm两段．
故选B．
2．如图，在一块斜边长60cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若CD：CB＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（ ）
A．202.5cm2B．320cm2C．400cm2D．405cm2
【解答】C
【解析】
∵四边形CDEF为正方形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵CD：CB＝1：3，
∴EFBC=AEAB=AFAC=13，
设AF＝x，则AC＝3x，EF＝CF＝2x，
∴BC＝6x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即602＝（3x）2+（6x）2，
解得，x＝45，
∴AC＝125，BC＝245，
∴剩余部分的面积=12×245×125-85×85=400（cm2），
故选C．
3．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其有题译文如下：“有一根竹竿在太阳下的影子长15尺．同时立一根1.5尺的小标杆，它的影长是0.5尺．如图所示，则可求得这根竹竿的长度为（ ）尺．
A．50B．45C．5D．4.5
【解答】B
【解析】设竹竿的长度为x尺，由题意得：
x15=1.50.5，
解得：x＝45，
答：竹竿的长度为45尺，
故选B．
4．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝3.5m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度GA为（ ）
A．1.2mB．1.3mC．1.4mD．1.5m
【解答】A
【解析】由题意可得：FC∥DE，
则△BFC∽BED，
故BCBD=FCDE，
即BCBC+4=1.53.5，
解得：BC＝3，
则AB＝5.4﹣3＝2.4（m），
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴∠FBC＝∠GBA，
又∵∠FCB＝∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，
∴AGAB=FCBC，
∴AG2.4=1.53，
解得：AG＝1.2（m），
故选A．
5．如图，有一块三角形余料ABC，它的面积为36cm2，边BC＝12cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则加工成的正方形零件的边长为（ ）cm．
A．8B．6C．4D．3
【解答】C
【解析】作BC边上的高AM交EF于点N，
∵面积为36cm2，边BC＝12cm，
∴AM＝6cm，
设正方形的边长为xmm，则EF＝FP＝NM＝x，
∴AN＝AM﹣MN＝6﹣x，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴EFBC=ANAM，即x12=6-x6，
解得x＝4．
故选C．
6．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB是（ ）
A．4米B．4.5米C．5米D．5.5米
【解答】D
【解析】在△DEF和△DBC中，∠D=∠D∠DEF=∠DCB，
∴△DEF∽△DBC，
∴DEEF=CDBC，
即4020=8BC，
解得：BC＝4，
∵AC＝1.5m，
∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5m，
即树高5.5m．
故选D．
7．如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”（作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等），A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD、BC交于点O．若线段AB＝4cm，则线段CD长为（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．8cm
【解答】C
【解析】如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则OE、OF分别是△AOB、△DOC的高线，
∵练习本中的横格线都平行，
∴△AOB∽△DOC，
∴ABCD=OEOF，即4CD=23，
∴CD＝6cm．
故选C．
8．根据中国人民政治协商会议第一届全体会议主席团1949年9月27日公布的国旗制法说明，我国五种规格的国旗旗面为相似矩形，已知一号国旗的标准尺寸是长288cm，高192cm，则如图国旗尺寸不符合标准的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】B
【解析】288：192＝3：2．
A、由于240：160＝3：2，所以该国旗尺寸符合标准，故本选项不符合题意．
B、由于160：120＝4：3，所以该国旗尺寸不符合标准，故本选项符合题意．
C、由于144：96＝3：2，所以该国旗尺寸符合标准，故本选项不符合题意．
D、由于96：64＝3：2，所以该国旗尺寸符合标准，故本选项不符合题意．
故选B．
9．如图，A，B两点被一河隔开，为了测量A，B两点间的距离，小明过点B作BF⊥AB，在BF上取两点C，D，使BC＝2CD，过点D作DE⊥BF且使点A，C，E在同一条直线上，测得DE＝20m，则A，B两点间的距离是（ ）
A．60mB．50mC．40mD．30m
【解答】C
【解析】∵AB⊥BF，ED⊥BF，
∴AB∥DE，
∴△ABC∽△EDC，
∴ABDE=BCCD，
即AB20=21，
解得：AB＝40，
故选C．
10．如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC＝90°，G，D分别是AB，AC边上的一点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E，F在BC上，若BF＝4.5cm，CE＝2cm，则GF的长为（ ）
A．3cmB．22cmC．2.5cmD．3.5cm
【解答】A
【解析】∵∠BAC＝90°，
∴∠AGD+∠ADC＝90°，
∵四边形GFDE是矩形，
∴∠GDE＝90°，∠GFB＝∠DEC＝90°，GD∥BC，GF＝DE，
∴∠ADG+∠EDC＝90°，∠AGD＝∠B，
∴∠AGD＝∠EDC，
∴∠B＝∠EDC，
∴△BFG∽△DEC，
∴DE：BF＝CE：GF，
∵BF＝4.5cm，CE＝2cm，
∴GF：4.5＝2：GF，
∴GF＝3cm，
故选A．
11．如图，已知，M，N分别为锐角∠AOB的边OA，OB上的点，ON＝6，把△OMN沿MN折叠，点O落在点C处，MC与OB交于点P，若MN＝MP＝5，则PN＝（ ）
A．2B．3C．83D．103
【解答】D
【解析】∵MN＝MP，
∴∠MNP＝∠MPN，
∴∠CPN＝∠ONM，
由折叠可得，∠ONM＝∠CNM，CN＝ON＝6，
∴∠CPN＝∠CNM，
又∵∠C＝∠C，
∴△CPN∽△CNM，
CPCN=CNCM，即CN2＝CP×CM，
∴62＝CP×（CP+5），
解得CP＝4，
又∵PNNM=CPCN，
∴PN5=46，
∴PN=103，
故选D．
12．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③CF=13CD；④S△ABE＝4S△ECF．正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】B
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△BAE∽△CEF，
∴ABEC=BECF，
∵BE＝CE=12BC，
∴S△ABES△ECF=（ABEC）2＝4，
∴S△ABE＝4S△ECF，故④正确；
∴CF=12EC=14CD，故③错误；
∴tan∠BAE=CFAB=12，
∴∠BAE≠30°，故①错误；
设CF＝a，则BE＝CE＝2a，AB＝CD＝AD＝4a，DF＝3a，
∴AE＝25a，EF=5a，AF＝5a，
∴AEAF=25a5a=255，BEEF=2a5a=255，
∴AEAF=BEEF，
∴△ABE∽△AEF，故②正确．
∴②与④正确．
∴正确结论的个数有2个．
故选B．
二．填空题
13．如图，周一某校升国旗时，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子AD刚好在甲的影子AC里边，已知甲身高BC为1.6米，乙身高DE为1.4米，甲的影长AC是6米，则甲、乙同学相距 米．
【解答】0.75．
【解析】设两个同学相距x米，
∵△ADE∽△ACB，
∴DEBC=ADAC，
∴，
解得：CD＝0.75．
故答案为0.75．
14．如图，△ABC为一块铁板余料，BC＝10cm，高AD＝10cm，要用这块余料裁出一个矩形PQMN，使矩形的顶点P，N分别在边AB，AC上，顶点Q，M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为 cm2．
【解答】25
【解析】设QM＝xcm，则PN＝xcm，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴AEAD=PNBC，
即AE10=x10，
则AE＝x，
故DE＝10﹣x，
则矩形PQMN面积为：x（10﹣x）＝﹣x2+10x＝﹣（x﹣5）2+25，
∴矩形PQMN面积的最大值为25cm2．
故答案为25．
15．如图，为了测量操场上的树高，小明拿来一面小镜子，将它平放在离树底部10m的地面上，然后他沿着树底部和镜子所在直线后退，当他退了4m时，正好在镜中看见树的顶端，若小明目高为1.6m，则树的高度是 ．
【解答】4m
【解析】∵∠ABC＝∠DBE，∠ACB＝∠DEB＝90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴BC：BE＝AC：DE，
即4：10＝1.6：DE，
∴DE＝4m，
故答案为4m．
16．我军边防部队沿加勒万河谷巡逻时发现，对岸我方领土上有Y国军队在活动，为了估算其与我军距离，侦察员手臂向前伸，将食指竖直，通过前后移动，使食指恰好将对岸我方树立的旗杆遮住，如图所示．若此时眼睛到食指距离l约为63cm，食指AB长约为7cm，旗杆CD高度为28米，则对方与我军距离d约为 米．
【解答】252．
【解析】63cm＝0.63m，AB＝7cm＝0.07m，
∵AB∥CD，
∴△ABO∽△CDO，
∴ABCD=0.63d，
即0.0728=0.63d，
d＝252（m），
故答案为252．
17．如图，利用镜子M的反射（入射角等于反射角），来测量旗杆CD的长度，在镜子上作一个标记，观测者AB看着镜子来回移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记相重合，若观测者AB的身高为1.6m，量得BM：DM＝2：11，则旗杆的高度为 m．
【解答】8.8
【解析】根据题意得：△ABM∽△CDM，
∴AB：CD＝BM：DM，
∵AB＝1.6m，BM：DM＝2：11，
∴1.6：CD＝2：11，
解得：CD＝8.8m，
故答案为8.8．
18．在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图所示．若a1＝1米，a2＝10米，h＝1.5米，则这个学校教学楼的高度为 米．
【解答】15
【解析】由镜面反射原理可得，∠1＝∠2，
△ACB∽△ADE，
故ACAD=BCDE，
则110=1.5ED，
解得：ED＝15（m），
即这个学校教学楼的高度为15米．
故答案为15．
19．如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为6：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压 cm．
【解答】60．
【解析】如图；AM、BN都与水平线的垂直，M，N是垂足，则AM∥BN；
∵AM∥BN，
∴△ACM∽△BCN；
∴ACBC=AMBN，
∵AC与BC之比为6：1，
∴ACBC=AMBN=6，即AM＝6BN，
∴当BN≥10cm时，AM≥60cm，
故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压60cm．
故答案为60．
20．如图，小明在打网球时，他的击球高度AB＝2.4米，为使球恰好能过网（网高DC＝0.8米），且落在对方区域距网5米的位置P处，则他应站在离网 米处．
【解答】10
【解析】设他应站在离网的x米处，
根据题意得：+x，
解得：x＝10．
故答案为10．
21．为测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米．按此方法，请计算旗杆的高度为 米．
【解答】11.5
【解析】由题意得：∠DEF＝∠DCA＝90°，∠EDF＝∠CDA，
∴△DEF∽△DCA，
则DEDC=EFAC，即0.520=0.25AC，
解得：AC＝10，
故AB＝AC+BC＝10+1.5＝11.5（米），
即旗杆的高度为11.5米；
故答案为11.5．
22．如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD＝2cm，OA＝60cm，OB＝15cm，则火焰AC的长度为 ．
【解答】8cm
【解析】连接AC、BD，
∵CA⊥AB，DB⊥AB，
∴∠CAO＝∠DBO＝90°，
∵∠COA＝∠DOB，
∴△AOC∽△BOD，
∴ACDB=AOBO，
∵BD＝2cm，OA＝60cm，OB＝15cm，
∴AC2=6015，
解得：AC＝8cm，
答：火焰AC的长度为8cm．
故答案为8cm．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+n（n＞2）交x轴于点A，交y轴于点B，C为直线AB上一点，过点C作CD垂直x轴于点D，抛物线y＝ax2+bx过A，C两点，M为抛物线的顶点，过点M作ME垂直y轴于点E，若D的坐标为（1，0）．则当△BEM与△COD相似时，n的值为 ．
【解答】3或5+172
【解析】∵直线y＝﹣x+n（n＞2）交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（n，0），B（0，n），
∵CD⊥OA，D（1，0），
∴C（1，n﹣1），
∵抛物线经过O，A，
∴可以假设抛物线的解析式为y＝ax（x﹣n），
把C（1，n﹣1）代入y＝ax（x﹣n），得到a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+nx，
∴M（n2，n24），
∵△BEM与△COD相似，
∴有两种情形：当EMOD=BECD时，则有：n21=|n-n24|n-1，
解得n＝±2或0（都不符合题意舍弃），
当EMCD=BEOD时，则有：n2n-1=|n-n24|1，
解得n＝2（舍）或3或5+172或5-172（舍弃），
综上所述，满足条件的n的值为3或5+172．
故答案为3或5+172．
24．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BC＝1，E为直角边AB上任意一点，以线段CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，下列说法：①AC⊥ED；②∠BCE＝∠ACD；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD面积的最大值为38，其中正确的是 ．
【解答】②④⑤
【解析】∵△ABC，△ECD都为等腰直角三角形，
∴AB＝AC=22BC=22，CD＝DE=22CE，∠B＝∠ACB＝∠DCE＝∠DEC＝45°，
∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，故选项②正确；
当B，E重合时，A，D重合，此时DE⊥AC；
当B，E不重合时，A，D也不重合，由∠BAC与∠EDC都为直角，得到∠AFE与∠DFC必为锐角，故①错误；
④∵CDEC=ACBC=22，
∴CDAC=CEBC，
由①知∠ECB＝∠DCA，
∴△BEC∽△ADC；
∴∠DAC＝∠B＝45°；
∴∠DAC＝∠BCA＝45°，即AD∥BC，故④正确；
③∵由④知∠DAC＝45°，
∴∠EAD＝135°，∠BEC＝∠EAC+∠ECA＝90°+∠ECA；
∵∠ECA＜45°，
∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD；
∴△EAD与△BEC不相似，故③错误；
⑤∵△ABC的面积为定值，
∴若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；
∵△ACD中，AD边上的高为定值，
∴若△ACD的面积最大，则AD的长最大；
由④的△BEC∽△ADC知：当AD最长时，BE也最长；
故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时EC＝AC=22，AD=12；
故S梯形ABCD=12（1+12）×12=38，故⑤正确．
故答案为②④⑤．
三．解答题
25．如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度CD，用长为1m的竹竿AB作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点E，且点E，A，C在同一直线上．已知EA＝3m，AC＝9m，求这棵树的高度CD．
【解答】4m．
【解析】∵AB∥CD，
∴△EAB∽△ECD，
∴ABCD=EAEC=33+9=14，
∵AB＝1，
∴CD＝4．
答：这棵树的高度CD为4m．
26．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
【解答】48mm．
【解析】∵四边形EGHF为正方形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；
设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝xmm，AK＝（80﹣x）mm，
∵AD⊥BC，
∴EFBC=AKAD，
∴x120=80-x80，
解得：x＝48．
答：正方形零件的边长为48mm．
27．为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE∥BC．经测量BC＝25米，BD＝12米，DE＝40米，求河的宽度AB为多少米？
【解答】20米
【解析】∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴BCDE=ABAD，
即2540=ABAB+12，
∴AB＝20．
答：河的宽度AB为20米．
28．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，动点E在边BC上，与点B、C不重合，过点A作DE的垂线，交直线CD于点F．设DF＝x，EC＝y．
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）若点F在线段CD上，当CF＝3时，求EC的长；
（3）若直线AF与线段BC延长线交于点G，当△DEB∽△GFD时，求DF的长．
【解答】（1）y=12x（0＜x＜16）；（2）CE=12；（3）DF的长为83或82-8．
【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝4，∠ADC＝∠BCD＝90°．
又∵AF⊥DE，
∴∠ADF＝∠DCE＝90°，∠DAF＝∠EDC＝90°﹣∠DFA，
∴△ADF∽△DCE，即ADDC=DFCE，
∴84=xy，即y=12x．
∵点E在线段BC上，与点B、C不重合，
∴0＜y＜8；
∴0＜12x＜8，即0＜x＜16，
∴y=12x（0＜x＜16）；
（2）∵CF＝3，
∴DF＝x＝4﹣3＝1，此时CE＝y=12x=12；
（3）在Rt△ADF中，AF=AD2+DF2=64+x2，
在Rt△DCE中，DE=EC2+DC2=(12x)2+16，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴△ADF∽△GCF，即AFGF=DFCF，
则FG=CF⋅AFDF=4-xx64+x2，
∵∠DEC＝∠AFD＝90°﹣∠EDC，
∴∠BED＝∠DFG，
∴当△DBE与△DFG相似时，可分以下两种情况讨论：
①△DEB∽△GFD，如下图，
则有FDEB=FGFD，
∴ED•FD＝FG•EB，
即(12x)2+16•x=4-xx64+x2•（4-12x），
解得：x=83；
②若△DEB∽△DFG，如图2，
则ED•FG＝EB•FD，
∴(12x)2+16•4-xx64+x2=（4-12x）•x，
解得：x1＝﹣8±82（舍去负值）．
综上所述：DF的长为83或82-8．
29．新型冠状病毒感染引发“疫情就是命令，现场就是战场”．家住武汉火神山医院旁的小华，目睹这与时间赛跑的建设场面，在家里的小华从离窗台A水平距离2m的M点望去，通过窗台A处刚好俯瞰到远处医院箱式板房顶部远端E点，小华又向窗户方向前进0.8m到Q点，恰好通过窗台A处看到板房顶部近处D点，已知AB、CD、EF、MN都垂直于地面BC，N、F在直线BC上，MQ、DE都平行于地面BC，BC长300m，请你帮助小华计算DE的长度．
【解答】200m．
【解析】延长ED交AB于H，延长MQ交BA的延长线于T．
由题意MT＝2m，MQ＝0.8m，
∴QT＝MT﹣MQ＝2﹣0.8＝1.2（m），
∵四边形BCDH是矩形，
∴DH＝BC＝300（m），
∵QT∥DH，
∴TAAH=QTDH=1.2300=1250，
∵MT∥DE，
∴MTEH=ATAH，
∴2EH=1250，
∴EH＝500（m），
∴DE＝500﹣300＝200（m）
30．如图1，已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为线段AB上一动点（不与点A、B重合），现将矩形ABCD沿CE折叠，使点B落在点F处，CF交AD于点H．
（1）求证：△AEG∽△DHC；
（2）若折叠后，点B的对应点F落在矩形ABCD的对称轴MN上，请在图2中画出图形并求此时BE的长．
【解答】（1）见解析；（2）23
【解析】（1）∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，
∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，∠A＝∠B＝∠D＝90°，
∵将矩形ABCD沿CE折叠，使点B落在点F处，
∴∠F＝∠B＝90°，
∵∠AGE＝∠FGH，∠FHG＝∠DHC，
∵∠FGH+∠FHG＝90°，
∴∠AGE+∠DHC＝90°，
∵∠AEG+∠AGE＝90°，
∴∠AEG＝∠DHC，
∴△AEG∽△DHC．
（2）F在对称轴MN上时，如图2所示，此时AB∥MN∥CD，
∴∠BEC＝∠FOE，
∵∠BEC＝∠FEC，
∴∠FEC＝∠FOE，
∴EF＝OF，
由折叠的性质得，BE＝EF，∠EFC＝∠B＝90°，
∵BN＝CN，
∴OC＝OE，
∴FO＝OE，
∴△EFO是等边三角形，
∴∠FEC＝60°，
∴∠BEC＝60°，
∴BE=33BC＝23，
∴AE＝4﹣23．
综上所述，点B的对应F落在矩形ABCD的对称轴上，此时AE的长是4﹣23．