初中数学苏科版九年级下册6.6 图形的位似精品课时练习

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如果两个多边形不仅相似，而且对应边互相平行（或在同一直线），对应顶点所在直线相交于一点，那么这两个多边形叫做位似多边形，其交点称为位似中心.
如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.
1.位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形，位似图形是相似图形的特例.
2.位似中心可以在图形的内部、外部或图形上，但位似中心只能有一个.
3.各对应顶点到位似中心的距离的比等于相似比
例：如图，△ABC与△DEF位似，其位似中心为点O，且OD＝AD，则△ABC与△DEF的位似比是（ ）
A．2：1B．4：1C．D．
【解答】A
【解析】∵△ABC与△DEF位似，
∴DF∥AC，
∴△ODF∽△OAC，
∴＝2，
∴△ABC与△DEF的位似比是2：1，
故选A．
知识点二、将图形放大或缩小
1.用位似的方法将一个图形放大或缩小的步骤如下：
（1）在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
（2）作位似中心与各关键点连线；
（3）在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
（4）顺次连接各对应点，得到放大或缩小的图形.
2.位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法：
例：在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形放大为原来的2倍，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标为（ ）
A．（﹣4，8）B．（4，﹣8）
C．（﹣4，8）或（4，﹣8）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
【解答】C
【解析】∵△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0），以原点为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍，得到△CDO，
∴点A的对应点C的坐标为：（﹣4，8）或（4，﹣8）．
故选C．
巩固练习
一．选择题
1．等边三角形OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知△OAB边长为6，且△OAB与△OA′B′关点O成位似图形，且位似比为1：2，则点A′的坐标可能是（ ）
A．（﹣6，63）B．（6，63）C．（﹣3，﹣33）D．（6，﹣63）
2．如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的周长之比为1：2，点C的坐标为（﹣2，0），若点A的坐标为（﹣4，3），则点E的坐标为（ ）
A．（52，﹣6）B．（4，﹣6）C．（2，﹣6）D．(32，-6)
3．如图，已知△ABC和△A1B1C1是位似图形，其中点P为位似中心，且AP：A1P＝3：2，则BC：B1C1等于（ ）
A．2：3B．3：2C．5：3D．2：5
4．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，若OA＝2AA′，S△ABC＝4，则S△A′B′C′等于（ ）
A．6B．8C．9D．12
5．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O，OEEA=23，则S四边形EFGHS四边形ABCD=（ ）
A．49B．425C．23D．25
6．下列说法错误的是（ ）
A．如果把一个三角形的各边扩大为原来的5倍，那么它的周长也扩大为原来的5倍
B．相似三角形对应高的比等于对应中线的比
C．如果把一个多边形的面积扩大为原来的5倍，那么它的各边也扩大为原来的5倍
D．相似多边形的面积比等于周长比的平方
7．在平面直角坐标系中，A（1，2），B（4，6），若把线段AB扩大2倍得线段A'B'，若A′（2，4），则B′的坐标可以是（ ）
A．（2，3）B．（3，2）C．（8，12）D．（12，8）
8．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ）
A．（4，4）B．（3，3）C．（3，1）D．（4，1）
9．在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P对应点的坐标为（ ）
A．（2，﹣4）B．（2，﹣4）或（﹣2，4）
C．（12，﹣1）D．（12，﹣1）或（-12，1）
10．如图，△ABC外任取一点O，连接AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF．下列说法正确的个数是（ ）
①△ABC与△DEF是位似图形；
②△ABC与△DEF是相似图形；
③△ABC与△DEF周长之比为2：1；
④△ABC与△DEF的面积之比为9：1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．如图，已知△ABO与△DCO位似，且△ABO与△DCO的面积之比为1：4，点B的坐标为（﹣3，2），则点C的坐标为（ ）
A．（3，﹣2）B．（6，﹣4）C．（4，﹣6）D．（6，4）
12．如图，△DEF和△ABC是位似图形点O是位似中心，点D，E，F，分别是OA，OB，OC的中点，若△ABC的面积是8，△DEF的面积是（ ）
A．2B．4C．6D．8
二．填空题
13．如图，正六边形OABCDE与正六边形OA'B'C'D'E'是关于原点O的位似图形，相似比为2：1，且点A'，E'分别在OA，OE上，点C，C'在x轴正半轴上．已知AB＝4，则点C'的坐标为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将ΔABO扩大到原来的2倍，得到ΔA'B'O．若点A的坐标是（1，2），则点A'的坐标是 ．
15．如图，已知▱ABCD，以B为位似中心，作▱ABCD的位似图形▱EBFG，位似图形与原图形的位似比为23，连结AG，DG．若▱ABCD的面积为24，则△ADG的面积为 ．
16．如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴上方，点C为（﹣1，0），以点C为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍，得△A′B′C．设点B的横坐标是a，则点B′的横坐标是 ．
17．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（6，8），B（7，0），C（7，8）以原点O为位似中心，相似比为12，把△ABC缩小，得到△A1B1C1，则点A的对应点A1的坐标为 ．
18．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣2，1），以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为A′．若点A'恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数解析式为 ．
19．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，且OA＝8，OC＝6，点B在第二象限，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14．那么点B′的坐标是 ．
20．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的14，那么点B'的坐标是 ．
21．如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且BC：EF＝3：2，则S△ABC：S△DEF＝ ．
22．如图，已知矩形ABCD和矩形BEFG是位似图形，点O是位似中心，若点D的坐标为（1，2），点F的坐标为（4，4），则点G的坐标是 ．
23．已知：如图A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′：A′A＝4：3，则△ABC与 是位似图形，位似比为 ．
24．如图，A是反比例函数y=kx（x＞0）图象上的一点，点B、D在y轴正半轴上，△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似比是1：3，△ABD的面积为1，则k的值为 ．
三．解答题
25．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形ABCD（顶点为网格线的交点）．
（1）画出四边形ABCD关于x轴成轴对称的四边形A1B1C1D1；
（2）以O为位似中心，在第三象限画出四边形ABCD的位似四边形A2B2C2D2，且位似比为1；
（3）在第一象限内找出格点P，使∠DCP＝∠CDP，并写出点P的坐标（写出一个即可）．
26．如图，BD，AC相交于点P，连结AB，BC，CD，DA，∠DAP＝∠CBP．
（1）求证：△ADP∽△BCP；
（2）直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形？
（3）若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．
27．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（4，4），C（6，0）．
（1）△ABC的面积是 ．
（2）请以原点O为位似中心，画出△A'B'C'，使它与△ABC的相似比为1：2，变换后点A、B的对应点分别为点A'、B'，点B'在第一象限；
（3）若P（a，b）为线段BC上的任一点，则变换后点P的对应点P'的坐标为 ．
28．如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0），以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为12．
29．如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上．
（1）若点F的坐标为（4.5，3），直接写出点C和点A的坐标；
（2）若正方形BEFG的边长为6，求点C的坐标．
30．小明同学在研究如何在△ABC内做一个面积最大的正方形时，想到了可以利用位似知识解决这个问题，他的做法是：（如图1）先在△ABC内作一个小正方形DEFG，使得顶点D落在边AB上，顶点E、F落在边BC上，然后连接BG并延长交AC边于点H，作HK⊥BC，HI∥BC，再作IJ⊥BC于J，则正方形HIJK就是所作的面积最大的正方形．
（1）若△ABC中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，请求出小明所作的面积最大的正方形的边长．
（2）拓展运用：
如图2，已知∠BAC，在角的内部有一点P，请画一个⊙M，使得⊙M经过点P，且与AB、AC都相切．
（注：并简要说明画法）