第5章 一次函数专题 一次函数的三种压轴应用问题（含解析）

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专题 一次函数的三种压轴应用问题类型一、分配方案问题例．某水果超市欲购进甲，乙两种水果进行销售．甲种水果每千克的价格为a元，如果一次购买超过40千克，超过部分的价格打八折，乙种水果的价格为26元/千克．设水果超市购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．(1)a＝____(2)求y与x之间的函数关系式；(3)若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共80千克，且甲种水果不少于30千克，但又不超过50千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额W（元）最少？【变式训练1】为了净化空气，美化校园环境，某学校计划种植A，B两种树木．已知购买20棵A种树木和15棵B种树木共花费2680元；购买10棵A种树木和20棵B种树木共花费2240元．(1)求A，B两种树木的单价分别为多少元．(2)如果购买A种树木有优惠，优惠方案是:购买A种树木超过20棵时，超出部分可以享受八折优惠．若该学校购买m（m＞0，且m为整数）棵A种树木花费w元，求w与m之间的函数关系式．(3)在（2）的条件下，该学校决定在A，B两种树木中购买其中一种，且数量超过20棵，请你帮助该学校判断选择购买哪种树木更省钱．【变式训练2】我校为了丰富校园活动，计划购买乒乓球拍和羽毛球拍共100副，其中乒乓球拍每副50元，羽毛球拍每副100元，(1)若购买两种球拍刚好用去8000元，则购买两种球拍各多少副？(2)若购买羽毛球拍的数量不少于乒乓球拍的数量，请设计一种购买方案使所需总费用最低，并求出该购买方案所需总费用．【变式训练3】某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14.5万元；每件乙种商品进价8万元，售价10万元，且它们的进价和售价始终不变．(1)现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元不高于200万元，该公司有哪几种进货方案？(2)在第（1）小题的条件下，该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润是多少？(3)利用第（2）小题中所求得的最大利润再次进货，请直接写出获得最大利润的进货方案．类型二、最大利润问题例．某书店计划同时购进A，B两类图书，已知购进3本A类图书和4本B类图书共需288元；购进6本A类图书和2本B类图书共需306元，(1)A，B两类图书每本的进价各是多少元？(2)该书店计划用4500元全部购进两类图书，设购进A类x本，B类y本．①求y关于x的关系式；②进货时，A类图书的购进数量不少于60本，已知A类图书每本的售价为38元，B类图书每本的售价为50元，若书店全部售完可获利W元，求W关于x的关系式，并说明应该如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？【变式训练1】为了防范疫情，顺利复学，某市教育局决定从甲、乙两地用汽车向、两校运送口罩，甲、乙两地分别可提供口罩40万个、10万个；、两校分别需要口罩30万个、20万个两地到、两校的路程如表（每万个口罩每千米运费为2元）．设甲地运往校万个口罩：(1)根据题意，在答题卡中填该表：(2)设总运费为元，求与的函数关系式；当甲地运往校多少万个口罩时总运费最少？最少的运费是多少元？【变式训练2】为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．(1)这两种消毒液的单价各是多少元？(2)学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且A型消毒液的数量不超过67瓶，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．【变式训练3】某扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行盆景的培植和销售，在第一期培植销售完成后，统计发现，若2盆A种盆景和1盆B种盆景共获利润340元；如果3盆A种盆景和2盆B种盆景共获利润560元．(1)每盆A种盆景、B种盆景的利润各是多少元？(2)为更好服务于农户，扶贫小组决定进行二期盆景培植，培植A种、B种盆景的总数量100盆，若要求第二期A种盆景的数量不超过B种盆景数量的3倍，当A种、B种盆景各多少盆时，总利润最高，最高利润是多少？类型三、几何问题例．如图，l1和l2分别是走私船和我公安快艇航行路程与时间的函数图象，请结合图象解决下列问题：(1)在刚出发时，我公安快艇距走私船 　 　海里；(2)求出l1和l2的解析式；(3)求公安快艇追上走私船的时间．【变式训练1】为发展旅游经济，某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客．设某旅游团路人数为x人，非节假日购票款为（元），节假日购票款为（元），、与x之间的函数图像如图所示．(1)非节假日门票定价为______元/人．(2)求当时，与x之间的函数关系式。(3)导游小王于5月1日带A团，5月20日（非节假日）带B团都到该景区旅游，共付门票款1900元，A、B团队游客合计50人（两团游客人数超过10人），求A、B两个团队游客各有多少人？【变式训练2】一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶．设行驶的时间为x（时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系．(1)根据图中信息，求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离．(2)已知两车相遇时快车比慢车多行驶20千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t时，求t的值．(3)若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y关于x的函数的大致图象．【变式训练3】四名同学两两一队，从学校集合进行徒步活动，目的地是距学校10千米的前海公园．由于乙队一名同学迟到，因此甲队两名同学先出发．24分钟后，乙队两名同学出发．甲队出发后第30分钟，一名同学受伤，处理伤口，稍作休息后，甲队由一名同学骑单车载受伤的同学继续赶往目的地，若两队与学校的距离s（千米）与时间t（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象，解答下列问题：(1)甲队在队员受伤前的速度是　 　千米/时，甲队骑上自行车后的速度为　 　千米/时；(2)求乙队与学校的距离与t之间的函数关系式；(3)直接写出当t≥1时，什么时候甲乙两队相距1千米？课后训练1．周末老张和小胜相约从各自的家出发去体育馆打羽毛球，且老张家，小胜家，体育馆顺次在同一直线上，老张先从家出发4分钟后来到小胜家和小胜汇合，汇合时间忽略不计，两人以老张的速度一起走了4分钟后，小胜发现自己装备带错了需回家换装备，于是立即加速回家用了少许时间取了装备后又以加速后的速度赶往体育馆，老张仍以原速前行，结果小胜比老张提前1分钟到达体育馆．若老张与小胜两人和体育馆之间的距离（米）与小胜出发的时间（分钟）之间的函数图象如图所示．则以下说法错误的是（       ）．A．小胜加速后的速度为250米/分钟B．老张用了24分钟到达体育馆C．小胜回家后用了0.6分钟取装备D．小胜取了装备后追上老张时距离老张家3025米2．为增强师生体质，提高师生的运动积极性，某校举办了“缤纷越野跑”比赛，三百多名师生积极参与比赛．越野跑全程2.5千米，小陈同学与刘老师同时出发，刘老师全程保持匀速运动，小陈跑了一段时间后，因体力不支，以200米/分的速度跑了一段，最后以原速冲刺与刘老师同时到达．小陈和刘老师距终点的距离y（单位：米）与运动时间x（单位：分）之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（       ）A．刘老师的速度为250米/分 B．小陈的冲刺速度为5米/秒C．刘老师追上小陈花了7.5分钟 D．第9分钟时刘老师与小陈相距50米3．小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动．如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离（单位：千米）与时间（单位：小时）之间函数关系的图象．根据图中提供的信息，你认为正确的结论是（       ）①小帅的骑车速度为16千米/小时；②点的坐标为；③线段对应的函数表达式为；④当小帅到达乙地时，小泽距乙地还有4千米．A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③④4．据史书记载，漏刻是中国古代的一种计时工具，是古代人民对函数思想的创造性应用．研究发现水位 h（cm）与时间 t（min） 满足 h=0.4t+2，当 h 为 6cm时，时间 t 的值为（            ）A．4.4min B．10min C．15min D．20min5．如果购买荔枝所付金额y（元）与购买数量x（千克）之间的函数图像由线段OA与射线AB组成（如图所示），那么购买3千克荔枝需要付______元．6．某班为了丰富学生的课外活动，计划购买一批“名著经典”，河南省某市A、B两家书店分别推出了自己的优惠方案：A书店：每套“名著经典”标价120元，若购买超过20套，超过部分按每套标价的八折出售；B书店：每套“名著经典”标价120元，若购买超过15套，超过部分按每套标价的九折出售，然后每套再优惠10元．若用字母x表示购买“名著经典”的数量，字母y表示购买的价格，其函数图象如图所示．(1)分别写出选择购买A、B书店“名著经典”的总价y与数量x之间的函数关系式；(2)请求出图中点M的坐标，并简要说明点M表示的实际意义；(3)根据图象直接写出选择哪家书店购买“名著经典”更合算？7．某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售．甲店标价477元/克，按标价出售，不优惠．乙店标价530元/克，但若买的铂金饰品重量超过3克，则超出部分可打八折出售．(1)分别写出到甲、乙商店购买该种铂金饰品所需费用y（元）和重量x（克）之间的函数关系式；(2)李阿姨要买一条重量不少于4克且不超过10克的此种铂金饰品，到哪个商店购买最合算？8．目前，全国各地都在积极开展新冠肺炎疫苗接种工作，某生物公司接到批量生产疫苗任务，要求5天内加工完成22万支疫苗，该公司安排甲，乙两车间共同完成加工任务，乙车间加工过程中停工一段时间维修设备，然后提高效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止，设甲，乙两车间各自生产疫苗y（万支）与甲车间加工时间x（天）之间的关系如图1所示；两车间未生产疫苗w（万支）与甲车间加工时间x（天）之间的关系如图2所示，请结合图象回答下列问题：(1)甲车间每天生产疫苗 万支，第一天甲、乙两车间共生产疫苗 万支， ；(2)当时，求甲、乙车间生产的疫苗数（万支）之差；(3)若5.5万支疫苗恰好装满一辆货车，那么加工多长时间装满第一辆货车？再加工多长时间恰好装满第三辆货车？9．甲、乙两车从M地到480千米的N地，甲车比乙车晚出发2小时，乙车途中因故停车检修，图中线段DE、折线OABC分别表示甲、乙两车所行路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解决如下问题：(1)求两车在途中第二次相遇时，它们距目的地的路程；(2)甲车出发多长时间，两车在途中第一次相遇？10．一天早晨，佳佳从家出发匀速步行去学校，妈妈发现佳佳忘带数学书了，于是立即下楼骑车沿佳佳行进路线匀速追赶，妈妈追上佳佳后，立即按原路线返回家中，由于路人渐多，妈妈返回时的速度只是去时的，佳佳则以原速度的1．5倍赶往学校妈妈与佳佳之间的路程y（米）与佳佳从家出发后步行的时间x（分）之间的关系如图所示（佳佳与妈妈交接学习用品耽搁的时间忽略不计），结合图象信息解答下列问题：(1)佳佳步行速度是______，妈妈追佳佳时的速度是______；(2)求图象中线段DE所表示的y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)直接写出佳佳出发多长时间，佳佳与妈妈相距300米的时间．11．为鼓励居民节约用水，某市决定对居民用水收费实行“阶梯价”，即当每月用水量不超过15吨时，采用基本价收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分每吨采用市场价收费．小兰家四、五月份的用水量及收费情况如下表：(1)求该市每吨水的基本价和市场价．(2)设每月用水量为n吨，应缴水费为m元，请写出m与n之间的函数关系式．(3)小兰家6月份的用水量为26吨，则她家要缴水费多少元？(4)若小兰家7月份的水费为165元，则她家7月份用水多少吨？12．疫情期间，热心的慧慧驾车向某地捐赠一批防疫物资．汽车出发前油箱里有油50升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示．请根据图象回答下列问题：(1)加油前该车平均一小时耗油　　升，汽车行驶　　小时后加油　　升；(2)请写出加油前油箱剩余油量y与行驶时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；(3)已知加油前后汽车都以70千米/时的速度匀速行驶，且平均每小时耗油量相同，加油站距目的地230千米．要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由．专题 一次函数的三种压轴应用问题类型一、分配方案问题例．某水果超市欲购进甲，乙两种水果进行销售．甲种水果每千克的价格为a元，如果一次购买超过40千克，超过部分的价格打八折，乙种水果的价格为26元/千克．设水果超市购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．(1)a＝____(2)求y与x之间的函数关系式；(3)若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共80千克，且甲种水果不少于30千克，但又不超过50千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额W（元）最少？【答案】(1)30；(2)；(3)甲购进30千克，乙购进50千克时付款总额最少【解析】(1)解：由题意得：，故答案为：30；(2)解：当时，，当时，，∴；(3)解：设购买甲种水果m千克，则购买乙种水果千克，由题意得： ，当时，∵，∴W随m的增大而增大，∴当m=30时，W有最小值2200元，当时，∵，∴W随m的增大而减小，∴当m=50时，W有最小值2220元，∵220015时，yB=120×15+(x﹣15)×(120×0.9﹣10)=98x+330，∴yB与数量x之间的函数关系式为；(2)解：由96x+480=98x+330，得x=75，此时y=96×75+480=7680，∴点M的坐标为(75,7680)，点M表示的实际意义为当买75套“名著经典”，在A、B两家书店所付的钱数相同，均为7680元；(3)解：观察图象可知：当0≤x≤15或x=75时，在A、B两家书店所付的钱数相同；当15