初中数学第5章 一次函数综合与测试单元测试练习

这是一份初中数学第5章 一次函数综合与测试单元测试练习，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(每小题2分，共20分)


1．有下列函数表达式：①y＝kx(k是常数，且k≠0)；②y＝eq \f(2,3)x；③y＝2x2－(x－1)(x＋3)；④y＝52－x.其中是一次函数的有(B)


A．4个 B．3个 C．2个 D．1个


2．关于直线y＝－2x，下列结论正确的是(C)


A. 图象必过点(1，2)


B. 图象经过第一、三象限


C. 与y＝－2x＋1平行


D. y随x的增大而增大


3．已知函数y＝－eq \f(1,2)x＋2，当－1＜x≤1时，y的取值范围是(C)


A. －eq \f(5,2)＜y≤eq \f(3,2) B. eq \f(3,2)＜y＜eq \f(5,2)


C. eq \f(3,2)≤y＜eq \f(5,2) D. eq \f(3,2)＜y≤eq \f(5,2)


4．若式子eq \r(k－1)＋(k－1)0有意义，则一次函数y＝(k－1)x＋1－k的图象可能是(A)








【解】 ∵式子eq \r(k－1)＋(k－1)0有意义，


∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k－1≥0，,k－1≠0，))解得k＞1，


∴k－1＞0，1－k＜0，


∴一次函数y＝(k－1)x＋1－k的图象经过第一、三、四象限．


5．用图象法解二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象如图所示，则所得的二元一次方程组是(D)





(第5题)


A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－2＝0，,3y－2y－1＝0))


B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y－1＝0，,3x－2y－1＝0))


C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y－1＝0，,3x＋2y－5＝0))


D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－2＝0，,2x－y－1＝0))


【解】 观察图象可知，两直线分别过点(0，2)，(1，1)和点(0，－1)，(1，1)，故选D.


6．在平面直角坐标系中，过点(－2，3)的直线l经过第一、二、三象限，若点(0，a)，(－1，b)，(c，－1)都在直线l上，则下列判断正确的是(D)


A. a

C. b<3 D. c<－2


【解】 ∵过点(－2，3)的直线l经过第一、二、三象限，


∴该直线的纵坐标随横坐标的增大而增大，


∴c<－2，3




(第7题)





7．将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内．现用一注水管沿大容器内壁匀速注水(如图所示)，则小玻璃杯内水面的高度h(cm)与注水时间t(min)的函数图象大致为(B)





【解】 将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A，D错误；用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间内h不变；当大杯中的水面与小杯杯口一致时，开始向小杯中流水，h随t的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h不再变化，故排除C，选B.


8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝eq \r(3)x经过点A，过点A作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD.若点B的坐标为(2，0)，则点C的坐标为(A)


A. (－1，eq \r(3)) B. (－2，eq \r(3))


C. (－eq \r(3)，1) D. (－eq \r(3)，2)


(第8题)


(第8题解)








【解】 如解图，过点C作CH⊥x轴于点H.


∵点B的坐标为(2，0)，AB⊥x轴于点B，


∴OB＝2，点A的横坐标为2.


∵当x＝2时，y＝eq \r(3)x＝2 eq \r(3)，


∴点A(2，2 eq \r(3))，BA＝2eq \r(,3).


∵△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，


∴BC＝BA＝2 eq \r(3)，∠ABC＝60°，∴∠CBH＝30°，


∴在Rt△CBH中，CH＝eq \f(1,2)BC＝eq \r(3).


∴BH＝eq \r(BC2－CH2)＝3.


∴OH＝BH－OB＝3－2＝1.


∴点C(－1，eq \r(3))．





(第9题)


9．如图，购买一种苹果所付金额y(元)与购买量x(kg)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3 kg这种苹果比分三次每次购买1 kg这种苹果可节省(B)


A. 1元 B. 2元 C. 3元 D. 4元


【解】 观察图象可知，当0＜x＜2时，y＝10x，


即当x＝1时，y＝10.


设射线AB的函数表达式为y＝kx＋b(x≥2)．


把点(2，20)，(4，36)的坐标分别代入y＝kx＋b，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2k＋b＝20，,4k＋b＝36，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝8，,b＝4.))


∴y＝8x＋4，∴当x＝3时，y＝8×3＋4＝28.


当购买3 kg这种苹果分三次分别购买1 kg时，


所付金额为10×3＝30(元)，


故一次购买3 kg这种苹果比分三次每次购买1 kg这种苹果可节省30－28＝2(元)．


10．当－1≤x≤2时，函数y＝ax＋6满足y<10，则常数a的取值范围是(D)


A．－4

C．－4

【解】 当a>0时，y随x的增大而增大．


∵y＝ax＋6<10，－1≤x≤2，


∴2a＋6<10，∴a<2.∴0

当a＝0时，y＝6<10，满足题意．


当a<0时，y随x的增大而减小，


同理可得－a＋6<10，∴a>－4.


∴－4

综上所述，－4

二、填空题(每小题3分，共30分)


11．函数y＝eq \f(\r(1－2x),x)的自变量x的取值范围是x≤eq \f(1,2)且x≠0．


【解】 根据题意，得x≠0且1－2x≥0，


∴x≤eq \f(1,2)且x≠0.





(第12题)


12．已知函数y＝kx＋b(k≠0)的图象如图所示，则不等式kx＋b＜0的解为__x＜1__．


【解】 由图象可知，当x＜1时，直线在x轴的下方，


∴不等式kx＋b＜0的解为x＜1.


13．若一次函数y＝(k－1)x＋|k|－1的图象经过坐标原点，则k＝－1．


【解】 ∵该一次函数y＝(k－1)x＋|k|－1的图象经过坐标原点，


∴|k|－1＝0，且k－1≠0，∴k＝－1.


14．若一次函数y＝(m－1)x＋m＋3(m为常数)的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是－3

【解】 ∵该一次函数的图象经过第一、二、四象限，


∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－1<0，,m＋3>0，))解得－3




(第15题)





15．如图，直线AB与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B(0，－2)．若直线上一点C在第一象限，且S△BOC＝2，则点C的坐标为(2，2)．


【解】 设直线AB的函数表达式为y＝kx＋b.


∵点A(1，0)，B(0，－2)在直线AB上，


∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＋b＝0，,b＝－2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝2，,b＝－2.))


∴直线AB的函数表达式为y＝2x－2.


设点C的坐标为(m，n)，m>0，n>0.


∵S△BOC＝eq \f(1,2)OB·m＝2，OB＝2，∴m＝2.


∵点C在直线y＝2x－2上，


∴n＝2×2－2＝2，


∴点C的坐标为(2，2)．





(第16题)


16．如图，在平面直角坐标系中，当三角尺的直角顶点P的坐标为(3，3)时，设一直角边与x轴的正半轴交于点A，另一直角边与y轴交于点B，在三角尺绕点P旋转的过程中，使得△POA为等腰三角形．请写出所有满足条件的点B的坐标：(0，3)或(0，6－3eq \r(,2))或(0，0)．


【解】 易得∠POA＝45°.


①当OA＝PA时，PA⊥x轴，则PB⊥y轴，∴点B(0，3)；


②当OP＝PA时，∠OPA＝90°，∴点B(0，0)；


③当OP＝OA时，过点P分别作PC⊥x轴于点C，作PD⊥y轴于点D，易证得△PBD≌△PAC(ASA)，∴BD＝AC.


∵OA＝OP＝eq \r(PC2＋OC2)＝3eq \r(,2)，


∴AC＝OA－OC＝3eq \r(,2)－3，


∴OB＝OD－BD＝6－3eq \r(,2)，∴点B(0，6－3eq \r(,2))．





(第17题)


17．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形ABC的顶点A在直线l：y＝－x＋4上滑动，边BC始终保持水平状态，当点C在坐标轴上时，点B的坐标是(3－eq \r(3)，0)或(－2，5－eq \r(3))．


【解】 设点A的坐标为(x0，y0)，则点C的坐标为(x0＋1，y0－eq \r(3))，点B的坐标为(x0－1，y0－eq \r(3))．


当点C落在y轴上时，则x0＋1＝0，∴x0＝－1，∴y0＝－x0＋4＝5，


∴点B(－2，5－eq \r(3))．


当点C落在x轴上时，则y0－eq \r(3)＝0，∴y0＝eq \r(3).∵y0＝－x0＋4，∴x0＝4－y0＝4－eq \r(3)，


∴点B(3－eq \r(3)，0)．


18．在平面直角坐标系中，直线y＝x＋1与y轴交于点A1，与x轴交于点D，按如图所示的方式作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，正方形A3B3C3C2，…，点A1，A2，A3，…都在直线y＝x＋1上，点C1，C2，C3，…都在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则Sn的值为__22n－3__(用含n的代数式表示，n为正整数)．





(第18题)


【解】 在直线y＝x＋1上，


当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝－1，


∴OA1＝1，OD＝1，


∴∠ODA1＝45°，


∴∠A2A1B1＝45°，


∴A2B1＝A1B1＝1，


∴S1＝eq \f(1,2)×1×1＝eq \f(1,2).


同理，S2＝eq \f(1,2)×(21)2＝21，


S3＝eq \f(1,2)×(22)2＝23……


∴Sn＝eq \f(1,2)×(2n－1)2＝22n－3.





(第19题)


19．如图，一次函数y＝x＋5的图象经过点P(a，b)和点Q(c，d)，则ac－ad－bc＋bd的值为__25__．


【解】 ∵y＝x＋5的图象过点P(a，b)，Q(c，d)，


∴b＝a＋5，d＝c＋5，


∴a－b＝－5，c－d＝－5，


∴ac－ad－bc＋bd＝a(c－d)－b(c－d)＝(a－b)(c－d)＝(－5)×(－5)＝25.


20．已知整数x满足－3≤x≤3，y1＝x＋1，y2＝－2x＋4对任意一个x，m都取y1，y2中的较小值，则m的最大值为__2__．


【解】 画出直线y1＝x＋1，y2＝－2x＋4的图象如解图所示．





(第20题解)





根据图象可得在点B的左侧，y1

因此m取y1的值，即AB上的点的纵坐标；


在点B的右侧，y2

因此m取y2的值，即BC上的点的纵坐标．


∴m的取值为折线A－B－C上的点的纵坐标．


∴m的最大值为点B的纵坐标．


联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y1＝x＋1，,y2＝－2x＋4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2.))


∴m的最大值为2.


三、解答题(共50分)


21．(6分)已知直线y＝kx＋b经过点(－1，4)和(2，1)．


(1)求该直线的函数表达式．


(2)求该直线与x轴，y轴的交点坐标．


【解】 (1)将点(－1，4)，(2，1)的坐标分别代入y＝kx＋b，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－k＋b＝4，,2k＋b＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－1，,b＝3.))


∴所求直线的函数表达式为y＝－x＋3.


(2)当y＝0时，x＝3；当x＝0时，y＝3.


∴直线与x轴的交点坐标为(3，0)，与y轴的交点坐标为(0，3)．





(第22题)





22．(6分)如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B的坐标为(3，0)，OA＝2，∠AOB＝60°.


(1)求点A的坐标．


(2)若直线AB交y轴于点C，求△AOC的面积．


【解】 (1)过点A作AM⊥OB于点M.


∵∠AOM＝60°，∴∠OAM＝30°，


∴OM＝eq \f(1,2)OA＝eq \f(1,2)×2＝1.


∴AM＝eq \r(OA2－OM2)＝eq \r(22－12)＝eq \r(3).


∴点A的坐标为(1，eq \r(3))．


(2)设直线AB的函数表达式为y＝kx＋b.把点A(1，eq \r(3))，B(3，0)的坐标分别代入y＝kx＋b，


得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＋b＝\r(3)，,3k＋b＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－\f(\r(3),2)，,b＝\f(3\r(,3),2).))


∴y＝－eq \f(\r(3),2)x＋eq \f(3\r(,3),2).


当x＝0时，y＝eq \f(3\r(,3),2)，


∴点C的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3\r(,3),2))).


∴S△AOC＝eq \f(1,2)×1×eq \f(3\r(,3),2)＝eq \f(3\r(,3),4).





(第23题)


23．(6分)如图，在平面直角坐标系中，点A(0，4)，B(3，0)，连结AB，将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，求直线BC的函数表达式．


【解】 ∵点A(0，4)，B(3，0)，


∴OA＝4，OB＝3.


∴AB＝eq \r(OA2＋OB2)＝5.


∵△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，


∴BA′＝BA＝5，CA′＝CA，


∴OA′＝BA′－OB＝5－3＝2.


设OC＝t，则CA′＝CA＝4－t.


在Rt△OA′C中，∵OC2＋OA′2＝CA′2，


∴t2＋22＝(4－t)2，解得t＝eq \f(3,2).


∴点C的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2))).


设直线BC的函数表达式为y＝kx＋b.


把点B(3，0)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))的坐标分别代入，得


eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3k＋b＝0，,b＝\f(3,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－\f(1,2)，,b＝\f(3,2).))


∴直线BC的函数表达式为y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(3,2).





(第24题)


24．(6分)某部队甲、乙两个班参加植树活动，乙班先植树30棵，然后甲班才开始与乙班一起植树．设甲班植树的总量为y甲棵，乙班植树的总量为y乙棵，两班一起植树所用的时间(从甲班开始植树计时)为x(h)，y甲，y乙关于x的部分函数图象如图所示．


(1)当0≤x≤6时，分别求y甲，y乙与x之间的函数表达式：y甲＝20x，y乙＝10x＋30．


(2)如果6 h后，甲班保持前6 h的工作效率，乙班通过增加人数，提高了工作效率，这样继续植树2 h，活动结束．若当x＝8时，两班之间植树的总量相差20棵，则乙班增加人数后平均每小时植树多少棵？


【解】 (1)设y甲＝k1x.将点(6，120)的坐标代入，得120＝6k1，解得k1＝20.


∴y甲＝20x.


设y乙＝k2x＋b2.将点(0，30)，(6，90)的坐标分别代入，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(30＝b2，,90＝6k2＋b2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k2＝10，,b2＝30.))∴y乙＝10x＋30.


(2)设乙班增加人数后平均每小时植树m棵．


①若甲班比乙班多植树20棵，


∵当x＝6时，y甲＝120，y乙＝90，


∴当x＝8时，y甲＝160，y乙＝140，


∴m＝eq \f(140－90,2)＝25(棵)．


②若乙班比甲班多植树20棵，


∵当x＝6时，y甲＝120，y乙＝90，


∴当x＝8时，y甲＝160，y乙＝180，


∴m＝eq \f(180－90,2)＝45(棵)．


∴乙班增加人数后平均每小时植树25棵或45棵．





(第25题)





25．(8分)如图，直线y＝－eq \f(1,2)x＋3与坐标轴分别交于点A，B，与直线y＝x交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个单位的速度从点O出发向点A作匀速运动，设运动时间为t(s)，连结CQ.


(1)求点C的坐标．


(2)若△OQC是等腰直角三角形，则t的值为2或4．


(3)若CQ平分△OAC的面积，求直线CQ的函数表达式．


【解】 (1)联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－\f(1,2)x＋3，,y＝x，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2.))


∴点C(2，2)．


(2)当∠CQO＝90°，CQ＝OQ时，


∵点C(2，2)，


∴OQ＝CQ＝2，∴t＝2.





(第25题解)





当∠OCQ＝90°，OC＝CQ时，如解图，过点C作CM⊥OA于点M.


∵点C(2，2)，


∴CM＝OM＝2，


∴QM＝OM＝2，


∴t＝2＋2＝4.


综上所述，当t的值为2或4时，△OQC是等腰直角三角形．


(3)对于直线y＝－eq \f(1,2)x＋3，令y＝0，得x＝6.


∴点A(6，0)．


∵CQ平分△OAC的面积，


∴Q为OA的中点，∴点Q(3，0)．


设直线CQ的函数表达式为y＝kx＋b.


把点C(2，2)，Q(3，0)的坐标分别代入，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2k＋b＝2，,3k＋b＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－2，,b＝6.))


∴直线CQ的函数表达式为y＝－2x＋6.





(第26题)


26．(8分)如图，已知点A(3，0)，B(0，1)，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，且点P(2，a)为平面直角坐标系中一动点．


(1)请说明不论当a取何值时，△BOP的面积始终是一个常数．


(2)要使得△ABC的面积和△ABP的面积相等，求a的值．


【解】 (1)∵点P(2，a)，


∴点P到y轴的距离为2.


∵点B(0，1)，∴OB＝1.


∴S△BOP＝eq \f(1,2)×1×2＝1，为常数．


(2)当点P在直线AB上方时，a>0.


过点P′作P′E⊥x轴于点E，连结BP′，AP′.


∵S梯形OBP′E＋S△P′AE＝S△AOB＋S△ABP′，


∴S△ABP′＝eq \f(1,2)(1＋a)×2＋eq \f(1,2)(3－2)a－eq \f(1,2)×1×3.


易得AB＝eq \r(12＋32)＝eq \r(10)，


∴S△ABP′＝S△ABC＝eq \f(1,2)×eq \r(10)×eq \r(10)＝5.


∴eq \f(1,2)(1＋a)×2＋eq \f(1,2)(3－2)a－eq \f(1,2)×1×3＝5，


解得a＝eq \f(11,3).


当点P在直线AB下方时，a<0.


同理可得S△ABP＋S△BOP＝S△AOB＋S△AOP，


∴S△ABP＝eq \f(1,2)×1×3＋eq \f(1,2)×3(－a)－eq \f(1,2)×2×1.


∴eq \f(3,2)－eq \f(3,2)a－1＝5，解得a＝－3.


综上所述，当a＝eq \f(11,3)或a＝－3时，S△ABC＝S△ABP.


27．(10分)甲、乙两人匀速从同一地点到1500 m处的图书馆看书，甲出发5 min后，乙以50 m/min的速度沿同一路线行走．设甲、乙两人相距s(m)，甲行走的时间为t(min)，s关于t的函数图象的一部分如图所示．





(第27题)





(1)求甲行走的速度．


(2)在平面直角坐标系中补画s关于t的函数图象的其余部分．


(3)问：甲、乙两人何时相距360 m?


【解】 (1)甲行走的速度为150÷5＝30(m/min)．


(2)当t＝35时，甲行走的路程为30×35＝1050(m)，乙行走的路程为(35－5)×50＝1500(m)，


∴当t＝35时，乙已经到达图书馆，甲距图书馆的路程还有1500－1050＝450(m)，


∴甲到达图书馆还需450÷30＝15(min)．


∵35＋15＝50(min)，


∴当s＝0时，横轴上对应的时间为50.


补画的图象如解图①所示．





(第27题解①)





(3)如解图②.





(第27题解②)





设乙出发后经过x(min)和甲第一次相遇．


根据题意，得150＋30x＝50x，解得x＝7.5.


∵7.5＋5＝12.5(min)，


∴点B的坐标为(12.5，0)．


当12.5≤t≤35时，设线段BC的函数表达式为s＝kt＋b.


把点C(35，450)，B(12.5，0)的坐标分别代入，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(35k＋b＝450，,12.5k＋b＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝20，,b＝－250.))


∴s＝20t－250.


把s＝360代入，得t＝30.5.


当35＜t≤50时，设线段CD的函数表达式为y＝k1x＋b1.


把点D(50，0)，C(35，450)的坐标分别代入，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(50k1＋b1＝0，,35k1＋b＝450，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k1＝－30，,b1＝1500.))


∴s＝－30t＋1500.


把s＝360代入，得t＝38.


综上所述，当甲行走30.5 min或38 min时，甲、乙两人相距360 m.