2023-2024年人教A版2019选修第一册 专题练习2.5 直线与圆的最值问题 (学生版+教师版)

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直线与圆的最值问题1 最值模型(1) 三点共线模型(三角形三边的关系)(i)点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则AP+BPmin=AB'(当点A、P、B'共线时取到)，点B'是点B关于直线l的对称点.(ii)点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则|AP-BP|max=AB(当点A、P、B共线时取到).(iii)点A、B在直线l异侧，点P在直线l上，则|AP-BP|max=AB'(当点A、P、B共线时取到)，点B'是点B关于直线l的对称点.(2) 某点M到圆⊙O上点N的距离(i)若点M在圆内，则MNmin=MN1=r-OM，MNmax=MN2=r+OM；(ii)若点M在圆外，则MNmin=MN1=OM-r，MNmax=MN2=r+OM；(3) 圆上一点到圆外一定直线的距离最值若直线l与圆⊙O相离，圆上一点P到直线l的距离为PE，d为圆心O到直线l的距离，r为圆半径，则PEmin=P1F=d-r，PEmax=P2F=d+r.2 圆的参数方程圆的标准方程x-a2+y-b2=r2，圆心为(a , b)，半径为r，它对应的圆的参数方程：x=rcosθ+ay=rsinθ+b (θ是参数).理解：如图，易得rcosθ=有向线段HM=x-a⇒x=rcosθ+a，rsinθ=有向线段HP=y-b⇒y=rsinθ+b.Eg 圆x+12+y-22=9的参数方程为x=3cosθ-1y=3sinθ+2 .【题型一】几何法处理最值问题情况1 三点共线模型【典题1】P是直线L：3x-y-1=0上一点，求(1)P到A(4 , 1)和B(0 , 4)的距离之差的最大值；(2)P到A(4 , 1)和C(3 , 4)的距离之和的最小值．情况2 斜率型最值【典题1】如果实数x , y满足条件：x-22+y2=3，那么yx的最大值是 .情况3 两点距离型最值【典题1】已知点M(a , b)在直线l：3x+4y=25上，则a2+b2的最小值为　 　．【典题2】 已知点P， Q分别在直线l1：x+y+2=0与直线l2：x+y-1=0上，且PQ⊥l1，点A(-3 , -3)，B(32 , 12)，则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为 .情况4 圆外一定点到圆上点距离最值【典题1】已知x、y满足x-12+y2=1，则S=x2+y2+2x-2y+2的最小值是 .【典题2】已知点P(7 , 3)，圆M：x2+y2-2x-10y+25=0，点Q为在圆M上一点，点S在x轴上，则|SP|+|SQ|的最小值为 .情况5 圆上一点到圆外一定直线的距离最值【典题1】已知两点A(-1,0)、B(0,2)，若点P是圆x-12+y2=1上的动点，则△ABP面积的最大值和最小值之和为　　 ．巩固练习1 (★★) 已知x2+y2=1，则yx+2的取值范围是　 ． 2 (★★) 已知点P(x , y)在圆x2+y2=1上，则(x-1)2+(y-1)2的最大值为　 ． 3 (★★) 已知圆x2+y-22=1上一动点A，定点B(6 , 1)；x轴上一点W，则|AW|+|BW|的最小值等于　 　．4 (★★) 已知两个同心圆的半径分别为3和4，圆心为O．点P、Q分别是大圆、小圆上的任意一点，线段PQ的中垂线为l．若光线从点O射出，经直线l(入射光线与直线l的公共点为A)反射后经过点Q，则OA-|AQ|的取值范围是　 　．5 (★★)已知点A(-2 , 0) , B(0 , 2)，若点P在圆x-32+y+12=2上运动，则△ABP面积的最小值为　 　． 6 (★★) 过动点P作圆：x-32+y-42=1的切线PQ，其中Q为切点，若|PQ|=|PO|(O为坐标原点)，则|PQ|的最小值是　 ．7 (★★) 已知直线l：x-y+4=0与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是CD的中点，则|AM|的最小值为　 ．8 (★★) 已知圆x-a2+y-b2=1经过原点，则圆上的点到直线y=x+2距离的最大值为 　 ．9(★★★) 如图，设圆C1：x-52+y+22=4，圆C2：x-72+y+12=25，点A、B分别是圆C1，C2上的动点，P为直线y=x上的动点，则|PA|+|PB|的最小值为　 ．【题型二】代数法处理最值问题 【典题1】 已知圆C的圆心在直线x-2y=0上，且经过点M(0 , -1)，N(1 , 6)．(1)求圆C的方程；(2)已知点A(1 , 1)，B(7 , 4)，若P为圆C上的一动点，求PA2+PB2的取值范围． 【典题2】 已知直线l：y=x，圆C：x2+y2-4x+3=0，在l上任意取一点A，向圆C作切线，切点分别为M , N，则原点O到直线MN的距离d的最大值为　 ．【典题3】 已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0．(1)求y-x的最大值和最小值；(2)求x2+y2的最大值和最小值；(3)求yx+1的取值范围． 【典题4】 如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为4，E(0 , 1)，点F是正方形边OC上的一个动点，点O关于直线EF的对称点为G点，当|GA+3GB|取得最小值时，直线GF的方程为　 　.巩固练习1 (★★) 若实数x , y满足x2+y2+4x－2y－4=0，则x2+y2的最大值是(　　)A．5+3 B．65+14 C．-5+3 D．－65+14 2 (★★★) [多选题]若实数x , y满足条件x2+y2=1，则下列判断正确的是(　　)A．x+y的范围是[0 , 2] B．x2－4x+y2的范围是[－3 , 5] C．xy的最大值为1 D．y-2x+1的范围是(-∞ , -34]3 (★★★) [多选题]已知点P(2 , 4)，若过点Q(4 , 0)的直线l交圆C：x-62+y2=9于A , B两点，R是圆C上动点，则(　　)A．|AB|的最小值为25 B．P到l的距离的最大值为25 C．PQ∙PR的最小值为12－25 D．|PR|的最大值为42+34 (★★) 已知点A(1 , 1) , B(2 , 2)，点P在直线y=12x上，求PA2+PB2取得最小值时P点的坐标． 5 (★★★) 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x-22+y2=1，M为圆C的圆心，过原点O的直线l与圆C相交于A , B两点(A , B两点均不在x轴上)．求△ABM面积的最大值．6 (★★★) 已知直线l过定点P(-2 , 1)，且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B，点O为坐标原点．(1)若△AOB的面积为4，求直线l的方程；(2)求|OA|+|OB|的最小值，并求此时直线l的方程；(3)求|PA|⋅|PB|的最小值，并求此时直线l的方程．7 (★★★) 在平面直角坐标系xOy中．已知圆C经过A(0 , 2)， O(0 , 0) ， D(t , 0)(t>0)三点，M是线段AD上的动点，l1 , l2是过点B(1 , 0)且互相垂直的两条直线，其中l1交y轴于点E，l2交圆C于P , Q两点．(1)若t=PQ=6，求直线l2的方程； (2)若t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，求△EPQ的面积的最小值．