【培优分阶练】高中数学(人教A版2019)选修第一册 选择性必修第一册综合测试卷（含解析）

综合试卷 班级____ 姓名_________ 考号__________单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．直线的倾斜角为（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为直线的倾斜角正切值为1，所以倾斜角为.故选：A.2．在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：因为点，则其关于平面对称的点为.故选：A.3．已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】依题意，，而为平面的一个法向量，所以点到平面的距离.故选：A4．直线被圆所截得的最短弦长等于（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：圆的圆心为，半径，又直线，直线恒过定点，当圆被直线截得的弦最短时，圆心与定点的连线垂直于弦，此时弦心距为．所截得的最短弦长：．故选：C．5．已知抛物线：，若上一点到准线的距离为3，则该点到原点的距离为（       ）A． B． C． D．4【答案】C【详解】由题得的准线方程为，设该点坐标为，则，解得，所以，所以该点到原点的距离为.故选:C.6．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】设直线AB方程为，联立椭圆方程整理可得：，设，则，，根据弦长公式有：=．故B，C，D错误.故选：A.7．如图，在三棱锥中，平面，是边长为的正三角形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（       ）A． B．C． D．【答案】D【详解】解法一：设E为BC的中点，连接FE，如图，∵E是BC的中点，∴∥，,,;在中，由余弦定理可知 ∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为，解法二：以A为坐标原点，AC，AM所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，易知，，，所以，， 则，∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为.故选：D8．已知双曲线的左、右焦点分别为，一条渐近线为，过点且与平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（       ）A． B．C． D．【答案】C【详解】设，则点位于第四象限，由双曲线定义知：，；设过点且与平行的直线的倾斜角为，则，，；在中，由余弦定理得：，即，整理可得：，.故选：C.多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，多选或错选不得分）9．已知，分别为直线l1，l2的方向向量（l1，l2不重合），，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中，正确的是（       ）A．⇔l1//l2 B．⊥⇔l1⊥l2C．⇔α//β D．⊥⇔α⊥β【答案】ABCD【详解】解：若两条直线不重合，则空间中直线与直线平行（或垂直）的充要条件是它们的方向向量平行（或垂直），故选项A，B正确；若两个平面不重合，则空间中面面平行（或垂直）的充要条件是它们的法向量平行（或垂直），故选项C，D正确．故选：ABCD．10．圆和圆的交点为A，B，则下列结论正确的是（       ）A．直线AB的方程为B．C．线段AB的垂直平分线方程为D．点P为圆上的一个动点，则点P到直线AB的距离的最大值为【答案】ACD【详解】；.对于A，由与，两式作差可得，即公共弦所在直线方程为，故A正确；对于B，圆心到直线的距离，半径为，则，故B错误；对于C，圆的圆心为，圆的圆心的中垂线的斜率为，可得的中垂线方程为，即，故C正确；对于D为圆上一动点，圆心到弦AB：的距离为，半径，则到直线的距离的最大值为，故D正确.故选：ACD.11．在曲线中，（       ）A．当时，则曲线C表示焦点在y轴的椭圆B．当时，则曲线C为椭圆C．曲线C关于直线对称D．当时，则曲线C的焦距为【答案】ABD【详解】解：将曲线化为，对于A，当时，则，所以曲线C表示焦点在y轴的椭圆，故A正确；对于B，当时，曲线C为椭圆，故B正确；对于C，当时，曲线C为椭圆，椭圆的对称轴为坐标轴，不关于直线对称，故C错误；对于D，当时，则曲线C为椭圆，则曲线C的焦距为，故D正确.故选：ABD.12．如图，直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，点P是经过点的半圆弧上的动点（不包括端点），点Q是经过点D的半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（       ）A．四面体PBCQ的体积是定值B．的取值范围是C．若与平面ABCD所成的角为，则D．若三棱锥的外接球表面积为S，则【答案】BCD【详解】直四棱柱中，点P到底面ABCD的距离为，设点Q到BC的距离为h，则 ，因为不是定值，故四面体PBCQ的体积不是定值，故A错误；在中， ，，因为 ，所以，则 ，故B正确；因为平面ABCD， 所以是与平面ABCD所成的角，则，因为 ，所以，故C正确； 以D为原点，分别以 为x，y，z轴，建立空间直角坐标系：则，线段BC的中点为 ，线段的中点为 ，设球心为 ， ，则 ，由得 ，化简得，即，易知 ，则 ， ，所以 外接球的表面积为，故D正确，故选：BCD三、填空题（每小题5分，共计20分）13．已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为_____。【答案】【详解】向量的夹角为钝角，，解得，且，实数的取值范围为．故答案为：.14．已知圆：及直线：，设直线与圆相交所得的最长弦长为，最短弦为，则四边形的面积为______．【答案】【详解】解：将圆方程整理为，得圆心，半径，将直线方程整理为，得直线恒过定点，且在圆内，最长弦为过的圆的直径，即，最短弦为过，且与最长弦垂直的弦，，，直线方程为，即，圆心到直线的距离为，，四边形的面积，故答案为：.15．设是抛物线上的一个动点为抛物线的焦点，记点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为若记的最小值为则____．【答案】##【详解】如图所示，过点作垂直于直线，垂足为点，由抛物线的定义可得，所以点到直线的距离为，所以当且仅当三点共线时，取到最小值，即．如图所示，过点作直线垂直于直线，垂足为点，由抛物线的定义可得点到直线的距离为，所以，当且仅当三点共线时，等号成立，即，因此．故答案为：16．如图所示的木质正四棱锥模型，过点作一个平面分别交，，于点E，F，G，若，，则的值为___________.【答案】【详解】在正四棱锥中，连接交于点，连接,则平面，以AC、BD交点O为坐标原点，射线OA、OB、OP为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，设，，，， (a、b>0)，则，，，，∴，，由题意四点共面，则有，其中，设，∴由方程组，即，解得，所以，故选：C.四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，17题10分，其余各题每题各12分）17．已知直线的方程为：．(1)求证：不论为何值，直线必过定点；(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．【解析】(1)证明：原方程整理得：．由，可得，不论为何值，直线必过定点(2)解：设直线的方程为．令令．．当且仅当，即时，三角形面积最小．则的方程为．18．已知圆经过点，，.(1)求圆的方程；(2)求直线截圆所得两段弧长之比.【答案】(1)；(2)【解析】(1)设圆的一般方程为，把三个点代入得，得 所以圆的方程为   即.(2)由于圆心在直线上，故直线截圆所得两段弧长之比为.19．已知抛物线上的点到的距离等于到直线的距离.(1)求抛物线的标准方程；(2)过点的直线与交于A、B两点，且，求直线的方程.【答案】(1)(2)或.【解析】(1)由题意抛物线的焦点，准线方程是，，， 的标准方程为.．(2)显然的斜率不为0，设，，，联立，得，，，又，所以，即，即，即，解得，所以直线的方程为，即或.20．已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求的方程；(2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.【答案】(1)(2)【解析】(1)解：双曲线的渐近线为，即，所以，又焦点到直线的距离，所以，又，所以，，所以双曲线方程为(2)解：设，，直线的斜率为，则，，所以，，两式相减得，即即，所以，解得，所以直线的方程为，即，经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，所以直线的方程为.21．已知P为椭圆（）上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，，且椭圆离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过的直线l交椭圆于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，求面积的最大值【答案】(1)(2)【解析】(1)由P为椭圆（）上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，，可得，，所以，又，则，所以，，故椭圆的标准方程为；(2)由题意可知过的直线l斜率存在且，可设其方程为，，，则，由得：，则，所以 ，当且仅当时，等号成立.所以，面积的最大值为.22．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PA，BC的中点．(1)证明：EF∥平面PCD(2)若PD⊥平面ABCD，，且，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值．【解析】(1)证明：取PD的中点G，连接CG，EG，因为E，F分别为PA，BC的中点，所以，又底面ABCD为菱形，所以，所以，所以四边形EGCF为平行四边形，所以又平面PCD．平面PCD，所以EF//平面PCD．(2)解：连接，因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，因为四边形ABCD为菱形，，所以为等边三角形，因为F为BC的中点，所以，因为∥，所以，所以两两垂直，所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz．因为，所以D（0，0，0），F(，0，0），A（0，2，0），E（0，1，2），则．设平面DEF的法向量，则，令，得．设直线AF与平面DEF所成的角为θ，则，所以直线AF与平面DEF所成角的正弦值为