2022年高中数学新教材人教A版选择性必修第一册学案章末检测试卷(二)
展开一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)
1.直线x+y=0的倾斜角为( )
A.45° B.60° C.90° D.135°
答案 D
解析 因为直线的斜率为-1,所以tan α=-1,即倾斜角为135°.
2.过点(0,-2)且与直线x+2y-3=0垂直的直线方程为( )
A.2x-y+2=0 B.x+2y+2=0
C.2x-y-2=0 D.2x+y-2=0
答案 C
解析 设该直线方程为2x-y+m=0,
由于点(0,-2)在该直线上,
则2×0+2+m=0,即m=-2,
即该直线方程为2x-y-2=0.
3.直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程为( )
A.3x+4y+5=0 B.3x+4y-5=0
C.-3x+4y-5=0 D.-3x+4y+5=0
答案 A
解析 设所求直线上任意一点(x,y),
则此点关于x轴对称的点的坐标为(x,-y),
因为点(x,-y)在直线3x-4y+5=0上,
所以3x+4y+5=0.
4.直线x+y-1=0被圆(x+1)2+y2=3截得的弦长等于( )
A.eq \r(2) B.2 C.2eq \r(2) D.4
答案 B
解析 由题意,得圆心为(-1,0),半径r=eq \r(3),弦心距d=eq \f(|-1+0-1|,\r(12+12))=eq \r(2),
所以所求的弦长为2eq \r(r2-d2)=2.
5.若点P(1,1)为圆x2+y2-6x=0的弦MN的中点,则弦MN所在直线的方程为( )
A.2x+y-3=0 B.x-2y+1=0
C.x+2y-3=0 D.2x-y-1=0
答案 D
解析 由题意,知圆的标准方程为(x-3)2+y2=9,圆心A(3,0).
因为点P(1,1)为弦MN的中点,所以AP⊥MN.
又AP的斜率k=eq \f(1-0,1-3)=-eq \f(1,2),
所以直线MN的斜率为2,
所以弦MN所在直线的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
6.已知直线x-2y+m=0(m>0)与直线x+ny-3=0互相平行,且它们间的距离是eq \r(5),则m+n等于( )
A.0 B.1 C.-1 D.2
答案 A
解析 由题意,所给两条直线平行,所以n=-2.
由两条平行直线间的距离公式,得d=eq \f(|m+3|,\r(12+-22))=eq \f(|m+3|,\r(5))=eq \r(5),
解得m=2或m=-8(舍去),则m+n=0.
7.若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A.2eq \r(3) B.3eq \r(3) C.3eq \r(2) D.4eq \r(2)
答案 C
解析 由题意,知M点的轨迹为平行于直线l1,l2且到l1,l2距离相等的直线l,
故其方程为x+y-6=0,
所以M到原点的距离的最小值为d=eq \f(6,\r(2))=3eq \r(2).
8.已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( )
A.5eq \r(2)-4 B.eq \r(17)-1 C.6-2eq \r(2) D.eq \r(17)
答案 A
解析 由题意知,圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9的圆心分别为C1(2,3),C2(3,4),且|PM|+|PN|≥|PC1|+|PC2|-4,点C1(2,3)关于x轴的对称点为C(2,-3),所以|PC1|+|PC2|=|PC|+|PC2|≥|CC2|=5eq \r(2),即|PM|+|PN|≥|PC1|+|PC2|-4≥5eq \r(2)-4.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3),若点A(0,4),则点B的坐标可能是( )
A.(2,0) B.(6,4)
C.(4,6) D.(0,2)
答案 AC
解析 设B点坐标为(x,y),
根据题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kAC·kBC=-1,,|BC|=|AC|,))
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3-4,3-0)·\f(y-3,x-3)=-1,,\r(x-32+y-32)=\r(0-32+4-32),))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=2,,y=0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=4,,y=6.))
10.由点A(-3,3)发出的光线l经x轴反射,反射光线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,则l的方程为( )
A.4x-3y-3=0 B.4x+3y+3=0
C.3x+4y-3=0 D.3x-4y+3=0
答案 BC
解析 已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1,
它关于x轴对称的圆的方程是(x-2)2+(y+2)2=1,
设光线l所在直线的方程是y-3=k(x+3)(其中斜率k待定),即kx-y+3k+3=0,
由题设知对称圆的圆心C′(2,-2)到这条直线的距离等于1,
即d=eq \f(|5k+5|,\r(1+k2))=1.
整理得12k2+25k+12=0,
解得k=-eq \f(3,4),
或k=-eq \f(4,3).
故所求的直线方程是y-3=-eq \f(3,4)(x+3)或y-3=-eq \f(4,3)(x+3),
即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.
11.已知直线l:(a+1)x+ay+a=0(a∈R)与圆C:x2+y2-4x-5=0,则下列结论正确的是( )
A.存在a,使得l的倾斜角为90°
B.存在a,使得l的倾斜角为135°
C.存在a,使直线l与圆C相离
D.对任意的a,直线l与圆C相交,且a=1时相交弦最短
答案 AD
解析 选项A,当a=0时,直线方程为x=0,此时倾斜角为90°,A正确;
选项B,当倾斜角为135°时,直线斜率为-1,即-eq \f(a+1,a)=-1,解得a为空集,B错误;
选项C,圆C的圆心为C(2,0),半径r=3,若直线与圆相离,则圆心到直线的距离为eq \f(|a+1×2+a|,\r(a+12+a2))>3,整理得9a2+6a+5<0,不等式无解,C错误;
选项D,直线过定点M(0,-1),此点在圆内,所以直线与圆恒相交,当直线CM与直线l垂直时,直线CM和直线l的斜率之积等于-1,即-eq \f(a+1,a)×eq \f(0--1,2-0)=-1,解得a=1,此时弦长最短,D正确.
12.半径长为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程为( )
A.(x-4)2+(y-6)2=6 B.(x+4)2+(y-6)2=6
C.(x-4)2+(y-6)2=36 D.(x+4)2+(y-6)2=36
答案 CD
解析 ∵半径长为6的圆与x轴相切,设圆心坐标为(a,b),则b=6.再由eq \r(a2+32)=5,可以解得a=±4,故所求圆的方程为(x±4)2+(y-6)2=36.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知A(0,-1),点B在直线x-y+2=0上,若直线AB平行于直线x+2y-3=0,则B点坐标为________.
答案 (-2,0)
解析 因为直线AB平行于直线x+2y-3=0,
所以设直线AB的方程为x+2y+m=0,
又点A(0,-1)在直线AB上,
所以0+2×(-1)+m=0,解得m=2,
所以直线AB的方程为x+2y+2=0,
联立两直线方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x-y+2=0,,x+2y+2=0,))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-2,,y=0,))故B点坐标为(-2,0).
14.过点(1,2)可作圆x2+y2+2x-4y+k-2=0的两条切线,则实数k的取值范围是________.
答案 (3,7)
解析 把圆的方程化为标准方程得(x+1)2+(y-2)2=7-k,
∴圆心坐标为(-1,2),半径r=eq \r(7-k),
则点(1,2)到圆心的距离d=2.
由题意,可知点(1,2)在圆外,
∴d>r,即eq \r(7-k)<2,且7-k>0,
解得3
答案 eq \f(4,3)
解析 圆的方程即(x-1)2+(y-2)2=1,圆心坐标为(1,2),半径为1,代数式eq \f(b-1,a+1)表示圆上的点(a,b)与定点(-1,1)连线的斜率,设过点(-1,1)的直线方程为y-1=k(x+1),与圆的方程联立,可得(k2+1)x2+(2k2-2k-2)x+(k-1)2=0,考虑临界条件,令Δ=(2k2-2k-2)2-4(k2+1)(k-1)2=0,可得k1=0,k2=eq \f(4,3),则eq \f(b-1,a+1)的最大值为eq \f(4,3).
16.集合A={(x,y)|x2+y2=4},B={(x,y)|(x-3)2+(y-4)2=r2},其中r>0 ,若A∩B中有且仅有一个元素,则r的值是__________.
答案 3或7
解析 ∵A∩B中有且仅有一个元素,
∴圆x2+y2=4与圆(x-3)2+(y-4)2=r2相切.
当两圆内切时,由eq \r(32+42)=|2-r|,解得r=7;
当两圆外切时,由eq \r(32+42)=2+r,解得r=3.
∴r=3或7.
四、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)已知圆C的圆心为(2,1),若圆C与圆O:x2+y2-3x=0的公共弦所在直线过点(5,-2),求圆C的方程.
解 设圆C的半径长为r,则圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2,即x2+y2-4x-2y+5=r2,圆C与圆O的方程相减得公共弦所在直线的方程为x+2y-5+r2=0,因为该直线过点(5,-2),所以r2=4,则圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.
18.(12分)在x轴的正半轴上求一点P,使以A(1,2),B(3,3)及点P为顶点的△ABP的面积为5.
解 设点P的坐标为(a,0)(a>0),点P到直线AB的距离为d,
由已知,得S△ABP=eq \f(1,2)|AB|·d
=eq \f(1,2)eq \r(3-12+3-22)·d=5,解得d=2eq \r(5).
由已知易得,直线AB的方程为x-2y+3=0,
所以d=eq \f(|a+3|,\r(1+-22))=2eq \r(5),
解得a=7或a=-13(舍去),
所以点P的坐标为(7,0).
19.(12分)已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为-eq \f(3,4).
(1)求直线l的方程;
(2)若直线m与l平行,且点P到直线m的距离为3,求直线m的方程.
解 (1)由直线方程的点斜式,
得y-5=-eq \f(3,4)(x+2),
整理得所求直线方程为3x+4y-14=0.
(2)由直线m与直线l平行,可设直线m的方程为3x+4y+C=0,
由点到直线的距离公式得eq \f(|3×-2+4×5+C|,\r(32+42))=3,
即eq \f(|14+C|,5)=3,解得C=1或C=-29,
故所求直线方程为3x+4y+1=0或3x+4y-29=0.
20.(12分)红谷隧道是江西南昌穿越赣江的一条过江行车通道,总长2 997 m,在南昌大桥和新八一大桥之间,也是国内最大的水下立交系统.如图,已知隧道截面是一圆拱形(圆拱形是取某一圆周的一部分构成巷道拱部的形状),路面宽为4eq \r(5) m,高4 m.车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.5 m,高为3.5 m的货车能否驶入这个隧道?请说明理由.(参考数据:eq \r(14)≈3.74)
解 如图,建立平面直角坐标系,设圆心M(0,m),A(2eq \r(5),0),B(0,4),
由|MA|=|MB|得,m=-eq \f(1,2),
则圆的方程为x2+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y+\f(1,2)))2=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))2,
所以当x=2.5时,y=eq \r(14)-eq \f(1,2)≈3.24<3.5.
即一辆宽为2.5 m,高为3.5 m的货车不能驶入这个隧道.
21.(12分) 已知圆M过C(1,-1),D(-1,1)两点,且圆心M在x+y-2=0上.
(1)求圆M的方程;
(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆M的两条切线,A,B为切点,求四边形PAMB面积的最小值.
解 (1)设圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
根据题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1-a2+-1-b2=r2,,-1-a2+1-b2=r2,,a+b-2=0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=1,,b=1,,r=2))
故所求圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
(2)如图,
四边形PAMB的面积为S=S△PAM+S△PBM
即S=eq \f(1,2)(|AM||PA|+|BM||PB|),
又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,所以S=2|PA|,
而|PA|=eq \r(|PM|2-4),即S=2eq \r(|PM|2-4).
因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可,
|PM|的最小值即为点M到直线3x+4y+8=0的距离,
所以|PM|min=eq \f(3+4+8,5)=3,
四边形PAMB面积的最小值为2eq \r(|PM|2-4)=2eq \r(5).
22.(12分)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:
(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;
(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
(1)解 不能出现AC⊥BC的情况.理由如下:
设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足x2+mx-2=0,
所以x1x2=-2.
又点C的坐标为(0,1),
故AC的斜率与BC的斜率之积为eq \f(-1,x1)·eq \f(-1,x2)=-eq \f(1,2)≠-1,
所以不能出现AC⊥BC的情况.
(2)证明 BC的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,2),\f(1,2))),可得BC的中垂线方程为y-eq \f(1,2)=x2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(x2,2))).
由(1)可得x1+x2=-m,
所以AB的中垂线方程为x=-eq \f(m,2).
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-\f(m,2),,y-\f(1,2)=x2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(x2,2))),))
又xeq \\al(2,2)+mx2-2=0,
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-\f(m,2),,y=-\f(1,2).))
所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(m,2),-\f(1,2))),半径r=eq \f(\r(m2+9),2).
故圆在y轴上截得的弦长为2eq \r(r2-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)))2)=3,
即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
2022年高中数学新教材人教B版选择性必修第一册学案章末检测试卷(一): 这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册本册综合学案及答案,共12页。学案主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022年高中数学新教材人教B版选择性必修第一册学案章末检测试卷(二): 这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册本册综合学案及答案,共11页。学案主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022年高中数学新教材人教A版选择性必修第二册学案章末检测试卷一(第四章): 这是一份数学选择性必修 第二册全册综合导学案,共11页。学案主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。