2021年人教版高中数学选择性必修第一册课时学案模块综合试卷(含解析)

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册全册综合学案设计，共11页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

模块综合试卷
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．直线l过点(－3,0)，且与直线y＝2x－3垂直，则直线l的方程为(　　)
A．y＝－(x－3) B．y＝－(x＋3)
C．y＝(x－3) D．y＝(x＋3)
答案　B
解析　因为直线y＝2x－3的斜率为2，所以直线l的斜率为－.又直线l过点(－3,0)，故所求直线的方程为y＝－(x＋3)．
2．双曲线－＝1的焦距是(　　)
A．2 B．8 C．4 D．4
答案　B
解析　依题意知，a2＝m2＋12，b2＝4－m2，所以c＝＝＝4.所以焦距2c＝8.
3．过点P(－2,4)作圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与切线l平行，则切线l与直线m间的距离为(　　)
A．4 B．2 C. D.
答案　A
解析　根据题意，知点P在圆C上，∴切线l的斜率k＝－＝＝，
∴切线l的方程为y－4＝(x＋2)，即4x－3y＋20＝0.
又直线m与切线l平行，∴直线m的方程为4x－3y＝0.
故切线l与直线m间的距离d＝＝4.
4．若a＝(－1，λ，－2)，b＝(2，－1，1)，a与b的夹角为120°，则λ的值为(　　)
A．17或－1 B．－17
C．－1或－17 D．1
答案　A
解析　由已知a·b＝－2－λ－2＝－λ－4，
＝＝，＝＝，
∴cos 120°＝＝＝－，
解得λ＝17或λ＝－1.
5．若点P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，点A(－1,0)，B(1,0)为两个定点，则|PA|＋|PB|的最大值是(　　)
A．2 B．2 C．4 D．4
答案　B
解析　∵点P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，
且点A(－1,0)，B(1,0)为两个定点，
∴|PA|2＋|PB|2＝4，
∵(|PA|＋|PB|)2≤2(|PA|2＋|PB|2)＝8，
∴|PA|＋|PB|≤2，
当且仅当|PA|＝|PB|＝时“＝”成立，
故|PA|＋|PB|的最大值是2.
6．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为的直线交抛物线于A，B两点，则||FA|－|FB||的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　直线AB的方程为y＝(x－1)，由得3x2－10x＋3＝0，
故x1＝3，x2＝，所以||FA|－|FB||＝|x1－x2|＝，故选A.
7．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，

设BC＝2，则B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，
所以＝(1，－1,2)，＝(－1,0,2)，
故BM与AN所成角θ的余弦值cos θ＝＝＝.
8．已知点P是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)右支上一点，F1是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段PF1的中垂线，则该双曲线的离心率是(　　)
A. B. C．2 D.
答案　D
解析　如图所示，

由双曲线的渐近线方程为y＝±x，得直线PF1：y＝(x＋c)，
原点O到直线PF1的距离d＝＝a，因此|OM|＝a，
又|OF1|＝c，得|F1M|＝b，
则根据几何图形的性质可得|F1P|＝2b，|F2P|＝2a，
根据双曲线的定义得|F1P|－|F2P|＝2a＝2b－2a，
因此可得b＝2a，即b2＝4a2＝c2－a2，
所以e2＝＝5，即e＝，故选D.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．关于空间直角坐标系O－xyz中的一点P(1,2,3)，下列说法正确的是(　　)
A．OP的中点坐标为
B．点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)
C．点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)
D．点P关于xOy平面对称的点的坐标为(1,2，－3)
答案　AD
解析　A显然正确；点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故B错；点P关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故C错；D显然正确．
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题中真命题的是(　　)
A．(＋＋)2＝32
B.·(－)＝0
C.与的夹角为60°
D．正方体的体积为|··|
答案　AB
解析　(＋＋)2＝(＋＋)2＝2＝32，故A为真命题；
·(－)＝·＝0，故B为真命题；
与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，故与的夹角为120°，故C是假命题；
正方体的体积为||||||，故D为假命题．
11．已知ab≠0，O为坐标原点，点P(a，b)是圆x2＋y2＝r2外一点，过点P作直线l⊥OP，直线m的方程是ax＋by＝r2，则下列结论正确的是(　　)
A．m∥l B．m⊥l
C．m与圆相离 D．m与圆相交
答案　AD
解析　直线OP的斜率为，直线l的斜率为－，直线l的方程为ax＋by＝a2＋b2，
又P(a，b)在圆外，∴a2＋b2>r2，故m∥l，
圆心(0,0)到直线ax＋by＝r2的距离d＝<＝|r|，故m与圆相交．
12．已知斜率为的直线l经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线C交于点A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若＝8，则以下结论正确的是(　　)
A.＋＝1 B.＝6
C.＝2 D．F为AD中点
答案　BCD
解析　根据题意作出其图象，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1如图．

直线l的倾斜角为，即∠xFA＝60°，则∠FDA1＝30°，
设|BD|＝x，则Rt△DBB1，Rt△DAA1中，可得|BB1|＝ ，|AA1|＝4＋.
所以|BB1|＝|BF|＝ ，|AA1|＝|AF|＝4＋，
|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＋＝4＋x＝8，
解得x＝4.
所以|BF|＝2，|AF|＝6，所以B正确．
所以＋＝＋≠1，所以A不正确．
所以|BD|＝4，满足|BD|＝4＝2|BF|，所以C正确．
而|DF|＝|BD|＋|BF|＝4＋2＝6＝|AF|，所以D正确．
故选：BCD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知l1，l2是分别经过点A(1,1)，B(0，－1)的两条平行直线，则当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．
答案　x＋2y－3＝0
解析　当直线AB与l1，l2均垂直时，l1，l2间的距离最大．
∵A(1,1)，B(0，－1)，∴kAB＝＝2，
∴＝－.
∴直线l1的方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
14．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为__________．
答案　x2＋(y－1)2＝1
解析　由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，
所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
15．如图，P为△ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC＝1，∠APB＝∠BPC＝60°，∠APC＝90°，若G为△ABC的重心，则PG长为________，异面直线PA与BC所成角的余弦值为________．(本题第一空2分，第二空3分)

答案　　
解析　由题意得∠ABC＝90°，连接点P和线段AC的中点D，连接BD，如图：

易知BD＝PD＝，则∠PDB＝90°，又 G为△ABC的重心，∴GD＝BD＝，
∴PG＝＝.
∵·＝·＝·－·＝，
∴cos〈，〉＝＝，
∴异面直线PA与BC所成角的余弦值为.
16．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M，N两点，且满足∠MAN＝120°，则该双曲线的离心率为________．
答案　
解析　不妨设M在第一象限，N在第三象限，易知A(－a，0)，
由已知条件知圆的方程为x2＋y2＝c2，由得M(a，b)，N(－a，－b)，
∴＝(2a，b)，＝(0，－b)，
又∠MAN＝120°，∴cos〈，〉＝＝－，∴4a2＝3b2，∴4a2＝3(c2－a2)，
∴7a2＝3c2，∴＝，即双曲线的离心率为.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知直线l1的方程为x＋2y－4＝0，若l2在x轴上的截距为，且l1⊥l2.
(1)求直线l1与l2的交点坐标；
(2)已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求l3的方程．
解　(1)设l2的方程为2x－y＋m＝0，
因为l2在x轴上的截距为，
所以3－0＋m＝0，m＝－3，
即l2：2x－y－3＝0.
联立得
直线l1与l2的交点坐标为(2,1)．
(2)当l3过原点时，l3的方程为y＝x.
当l3不过原点时，设l3的方程为＋＝1(a≠0)，
又直线l3经过l1与l2的交点，
所以＋＝1，得a＝，
l3的方程为2x＋y－5＝0.
综上，l3的方程为x－2y＝0或2x＋y－5＝0.
18．(12分)已知抛物线y2＝2px(p>0)有一内接△OAB，O为坐标原点，若·＝0，直线OA的方程为y＝2x，且|AB|＝4，求抛物线方程．
解　由解得A，
又·＝0，
所以OA⊥OB，
故直线OB的方程为y＝－x.
由解得B(8p，－4p)．
因为|AB|＝4，所以2＋(p＋4p)2＝16×13，
所以p＝，
所以抛物线方程为y2＝x.
19．(12分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点．求证：

(1)BD1⊥平面AB1C；
(2)平面EAC⊥平面AB1C.
证明　(1)以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，

设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则E(0，0，1)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)，
所以＝(－2，2，0)，＝(－2，0，1)，＝(0，2，2)，＝(－2，－2，2)，
设平面AB1C的法向量m＝(x，y，z)，
则
取x＝1，得m＝(1，1，－1).
因为＝－2m，所以∥m，所以BD1⊥平面AB1C.
(2)设平面AEC的法向量n＝(x′，y′，z′)，
则取x′＝1，得n＝(1，1，2)，
∵m·n＝1＋1－2＝0，
∴平面EAC⊥平面AB1C.
20．(12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且a2＝2b.
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在实数m，使直线l：x－y＋m＝0与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
解　(1)由题意得　解得
故椭圆的方程为x2＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．
联立直线与椭圆的方程得
即3x2＋2mx＋m2－2＝0，
所以Δ＝(2m)2－4×3×(m2－2)>0，即m2<3，
且x0＝＝－，y0＝x0＋m＝，
即M，又因为M点在圆x2＋y2＝5上，
所以2＋2＝5，解得m＝±3，与m2<3矛盾，故实数m不存在．
21．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC＝2AB＝2AD＝4BE，平面PAB⊥平面ABCD.

(1)求证：平面PED⊥平面PAC；
(2)若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求平面PCA和平面PCD夹角的余弦值．
(1)证明　∵平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD＝AB，AB⊥PA，PA⊂平面PAB，
∴PA⊥平面ABCD，
又∵AB⊥AD，故可建立空间直角坐标系Axyz如图所示，

不妨设BC＝4，AP＝λ(λ>0)，
则有D(0,2,0)，E(2,1,0)，C(2,4,0)，P(0,0，λ)，
∴＝(2,4,0)，＝(0,0，λ)，＝(2，－1,0)，
∴·＝4－4＋0＝0，·＝0，
∴DE⊥AC，DE⊥AP，又AC∩AP＝A，
∴DE⊥平面PAC.
又DE⊂平面PED，
∴平面PED⊥平面PAC.
(2)解　由(1)知，平面PAC的一个法向量是＝(2，－1,0)，＝(2,1，－λ)，
设直线PE与平面PAC所成的角为θ，
∴sin θ＝|cos〈，〉|
＝＝，
解得λ＝±2.
∵λ>0，∴λ＝2，即P(0,0,2)，
设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，＝(2,2,0)，＝(0，－2,2)，
由n⊥，n⊥，
∴不妨令x＝1，则n＝(1，－1，－1)．
∴cos〈n，〉＝＝，
∴平面PCA和平面PCD夹角的余弦值为.
22．(12分)已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.
(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由．
(1)证明　设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．
∴由得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，
∴xM＝＝－，yM＝kxM＋b＝，
∴直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－9.
即直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值－9.
(2)解　四边形OAPB能为平行四边形．
∵直线l过点，
∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0，k≠3.
由(1)得OM的方程为y＝－x.
设点P的横坐标为xP.
∴由得x＝，
xP＝，
将点的坐标代入直线l的方程得b＝，xM＝.
四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM，
∴＝2×，
解得k1＝4－，k2＝4＋.
∵ki>0，ki≠3，i＝1,2，
∴当l的斜率为4－或4＋时，四边形OAPB为平行四边形．