新教材人教A版步步高学习笔记【学案+同步课件】再练一课(范围：§1.1～§1.3)

再练一课(范围：§1.1～§1.3)

一、单项选择题

1．空间直角坐标系中，已知点P(3，－2，－5)，点Q与点P关于Ozx平面对称，则点Q的坐标是(　　)

A．(－3,2,5)   B．(3，－2,5)

C．(3,2，－5)   D．(－3，－2，－5)

答案　C

解析　空间直角坐标系中，点P(3，－2，－5)，

因为点Q与点P关于Ozx平面对称，

所以点Q的坐标是(3,2，－5)．

2．在四面体OABC中，空间的一点M满足＝＋＋λ，若M，A，B，C共面，则λ等于(　　)

A．  B．  C．  D．

答案　A

解析　因为M，A，B，C共面，所以＋＋λ＝1，

解得λ＝.

3．已知向量a＝(2,1,2)，b＝(－2，x,2)，c＝(4，－2,1)，若b⊥(a＋c)，则x的值为(　　)

A．－2  B．2  C．－6  D．6

答案　C

解析　由题意得a＋c＝(6，－1,3)，

又b⊥(a＋c)，

所以－12－x＋6＝0，解得x＝－6.

4．已知A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，点M为BC的中点，则△AMD是(　　)

A．钝角三角形

B．锐角三角形

C．直角三角形

D．以上三种情况都有可能

答案　C

解析　∵点M为BC的中点，∴＝(＋)，

∴·＝(＋)·＝·＋·＝0，

∴AM⊥AD，∴△AMD为直角三角形．

5．设x，y∈R，向量a＝(x,1,1)，b＝(1，y,1)，c＝(2，－4,2)，且a⊥b，b∥c，则|a＋b|等于(　　)

A．2  B.  C．3  D．4

答案　C

解析　 ∵b∥c，

∴2y＝－4×1，∴y＝－2，

∴b＝(1，－2,1)，

∵a⊥b，

∴a·b＝x＋1×(－2)＋1＝0，∴x＝1，

∴a＝(1,1,1)，

∴a＋b＝(2，－1,2)，

∴|a＋b|＝＝3.

6．在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，且AB＝BC＝1，点E是AC的中点，异面直线AD与BE所成角为θ，且cos θ＝，则该四面体的体积为(　　)

A．   B．

C．   D．

答案　A

解析　分别以BC，BA，BD所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设BD＝a，a>0，

则A(0,1,0)，B(0,0,0)，E，D(0,0，a) ，

＝(0，－1，a)，＝，

cos θ＝

＝

＝，

解得a＝2，

该四面体的体积为××1×1×2＝ .

二、多项选择题

7．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC1的中点为O，则下列互为相反向量的是(　　)

A.＋与＋

B.－与－

C.－与－

D.＋＋＋与＋＋＋

答案　ACD

解析　如图，

根据图形可看出，选项A，D的两向量互为相反向量；

－＝，－＝，＝，

∴选项B的两向量不是相反向量；

－＝，－＝，和互为相反向量，

∴选项C的两向量互为相反向量．

8．已知向量a＝(1,1,0)，则与a共线的单位向量e等于(　　)

A．   B．(0,1,0)

C．   D．(1,1,1)

答案　AC

解析　由于向量a＝(1,1,0)，

所以|a|＝＝，

根据单位向量的关系式e＝±，

可得e＝或e＝.

三、填空题

9．已知e1 ，e2是夹角为60°的两个单位向量，则向量e1＋e2在向量e1上的投影向量为________．

答案　e1

解析　(e1＋e2)·e1＝|e1|2＋e2·e1＝1＋1×1×＝，

向量e1＋e2在向量e1上的投影向量为e1＝e1.

10．如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则＝____________.

答案　－－＋

解析　由题意，连接AE(图略)，

则＝－＝＋－

＝＋(－)－×(＋)

＝－－＋.

11．若向量a＝(－1，x,5)与b＝(2x，－8，y)共线，且方向相同，则x＝________.

答案　－2

解析　因为向量a与b共线，且方向相同，所以a＝λb，且λ＞0，从而有(－1，x,5)＝λ(2x，－8，y)，

所以＝＝>0，解得x＝－2，经检验符合题意．

12．已知四面体P1－P2P3P4，则集合A＝{·|{i，j，k}⊆{1,2,3,4}}中至少有________个元素为正数，至多有________个元素为负数．

答案　1　4

解析　四面体由4个三角形组成，共12个角，每个三角形最多一个钝角或为直角三角形，所以最多四个钝角三角形，即最多有4组·<0，

所以当四面体P1－P2P3P4为正四面体时，易得集合A中至少有一个元素为正数．

四、解答题

13．如图，已知ABCD－A1B1C1D1是四棱柱，底面ABCD是正方形，AA1＝3，AB＝2，且∠C1CB＝∠C1CD＝60°，设＝a，＝b，＝c.

(1)试用a，b，c表示；

(2)已知O为对角线A1C的中点，求CO的长．

解　(1)＝＋＋＝－＋－

＝－－－＝－c－b－a＝－a－b－c.

(2)由题意知|a|＝2，|b|＝2，|c|＝3，

a·b＝0，a·c＝2×3×＝3，b·c＝2×3×＝3，

∵＝＝(a＋b＋c)，

∴||＝

＝

＝＝＝.

14．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．

(1)若点D在直线AC上，且⊥，求点D的坐标；

(2)求以BA，BC为邻边的平行四边形的面积．

解　(1)由题意知，＝(1，－3,2)，点D在直线AC上，

设＝λ＝λ(1，－3,2)＝(λ，－3λ，2λ)，

∴D(λ，2－3λ，2λ＋3)，

＝(λ，2－3λ，3＋2λ)－(－2,1,6)

＝(λ＋2,1－3λ，2λ－3)，

∵⊥，

∴·＝(1，－3,2)·(λ＋2,1－3λ，2λ－3)

＝λ＋2－3＋9λ＋4λ－6＝14λ－7＝0，

∴λ＝，

∴D.

(2)∵＝(2,1，－3)，＝(3，－2，－1)，

∴||＝＝，

||＝＝，

∴·＝2×3＋1×(－2)＋(－3)×(－1)＝7，

∴cos B＝cos〈，〉＝＝＝，

∴sin B＝，

设以BA，BC为邻边的平行四边形面积为S，

∴S＝××＝7，

∴以BA，BC为邻边的平行四边形的面积为7.

15．已知空间三点A(2,1,0)，B(2,2,1)，C(0,1,2)．

(1)求·的值；

(2)若(＋k)⊥(＋)，求k的值．

解　(1)因为A(2,1,0)，B(2,2,1)，

所以＝(0,1,1)．

又C(0,1,2)，

所以＝(－2,0,2)，

所以·＝0×(－2)＋1×0＋1×2＝2.

(2)由(1)可知＝(0,1,1)，＝(－2,0,2)，

所以＋k＝(－2k,1,2k＋1)，

＋＝(－2,1,3)．

因为(＋k)⊥(＋)，

所以4k＋1＋3(2k＋1)＝0，解得k＝－.